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山东省临沂市平邑县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份山东省临沂市平邑县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题白要求的，将唯一正确著案的序号字母选出，然后用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．下列运算中正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣）＝•＝
C．＝±2 D．|﹣|＝﹣
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．9，16，25 B．，，2 C．6，8，10 D．5，12，13
3．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、中位数
4．下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A．36，3 B．36，4 C．35，3 D．35，2
5．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线垂直且相等的四边形
10．弹簧的受力和伸长量成正比．某次实验中，小军组的同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如下表（部分）所示，下列说法中正确的是（ ）
x （kg）
0
1
2
3
4
…
y （cm）
10.5
11
11.5
12
…
A．x，y都是变量，y是x的正比例函数
B．当所挂物体的质量为 15kg时，弹簧长度是19cm
C．物体质量由 5kg增加到10kg，弹簧的长度增加1.5cm
D．弹簧不挂物体时的长度是10cm
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（ ）个．
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13．计算：＝ ．
14．已知关于x的方程ax+b＝2的解为x＝﹣5，则一次函数y＝ax+b﹣2的图象与x轴交点的坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°．已知AB＝4，EF＝1，则BC的长是 ．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 ．
17．、如图，图①中是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，S7代表△A7OA8的面积，则+++…+的值为 ．
18．如图，在一张长为5，宽为4的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 ．
三、解答下列各题。（满分60分）
19．计算：
（1）﹣4×+；
（2）（）（）+（+2）2．
20．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为，2，；
（2）请你判断所画的三角形的形状： ；
（3）求此三角形的面积及最长边上的高．
21．2022年3月23日，神舟十三号3名航天员在中国空间站为青少年们讲授了“天宫课堂”第二课，点燃了无数青少年心中的科学梦想．海豚学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩（单位：分）．
收集数据：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95，95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
1
6
a
b
分析数据：
平均数
中位数
众数
82
c
d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）活动组委会决定，给成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级1000人中约有多少人将获得“小宇航员”称号；
（3）样本20名参赛学生中的小蕾同学成绩为83分，请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何？
22．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
2
12
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 h．
（3）当4.5≤x≤5.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．已知长方形ABCD（对边平行且相等，四个角都是直角）中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
（1）如图1，当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
（2）如图2，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B'C，求△PCB′周长的最小值．
参考答案
一、选择题。（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题白要求的，将唯一正确著案的序号字母选出，然后用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．下列运算中正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣）＝•＝
C．＝±2 D．|﹣|＝﹣
【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘法运算，然后选择正确选项．
解：A、+＝2+3＝5，原式计算错误，故本选项错误；
B、（﹣）＝4﹣2＝2，原式计算错误，故本选项错误；
C、＝2，原式计算错误，故本选项错误；
D、|﹣|＝﹣，计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的加减运算和乘法运算以及二次根式的化简，掌握运算法则是解答本题的关键．
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．9，16，25 B．，，2 C．6，8，10 D．5，12，13
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
解：A．∵92+162≠252，
∴以9，16，25为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵（）2+（）2＝22，
∴以，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、中位数
【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数．
解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴90分是这组数据的中位数，
∵大部分的学生都考在85分到90分之间，
∴众数在此范围内．
故选：B．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
4．下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A．36，3 B．36，4 C．35，3 D．35，2
【分析】根据平均数可得第一个被遮盖的数，根据方差计算公式可得第二个被遮盖的数．
解：∵平均成绩为37分，
∴第一个被遮盖的数据为37×5﹣（38+34+37+40）＝36（分），
第二个被遮盖的数据为×[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查方差和平均数，熟练掌握方差的计算公式和平均数的定义是解题的关键．
5．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：∵一次函数y＝﹣2x﹣3，
∴该函数y随x的增大而减小，故选项A错误；
与y轴交于点（0，﹣3），故选项B错误；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C正确；
与x轴交于点（﹣，0），故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．
解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
8．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
【分析】根据矩形的判定定理即可得到结论．
解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线垂直且相等的四边形
【分析】此题要根据正方形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，故原四边形的对角线必互相垂直且相等，由此得解．
【解答】已知：如右图，四边形EFGH是正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
10．弹簧的受力和伸长量成正比．某次实验中，小军组的同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如下表（部分）所示，下列说法中正确的是（ ）
x （kg）
0
1
2
3
4
…
y （cm）
10.5
11
11.5
12
…
A．x，y都是变量，y是x的正比例函数
B．当所挂物体的质量为 15kg时，弹簧长度是19cm
C．物体质量由 5kg增加到10kg，弹簧的长度增加1.5cm
D．弹簧不挂物体时的长度是10cm
【分析】现根据表格中数据求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式，再分别判断各选项即可．
解：上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量．
设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b，
将x＝1，y＝10.5；x＝2，y＝11代入得：，
解得：，
∴y＝0.5x+10，
∴y是x的一次函数，
故A错误；
当x＝15时，y＝7.5+10＝17.5，
∴弹簧长度是17.5cm，
故B错误；
当x＝5时，y＝2.5+10＝12.5，
∴弹簧长度是12.5cm，
当x＝10时，y＝5+10＝15，
∴物体重物由5kg增加到10kg时，弹簧长度增加了15﹣12.5＝2.5（cm），
故C错误；
当x＝0时，y＝10，
∴当弹簧不挂重物时的长度为10cm，
故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO＝BO＝3，
∴DO＝＝3，
∴点C坐标（6，3），
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
12．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（ ）个．
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确；
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误；
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误．
故其中不正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13．计算：＝ 5 ．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
14．已知关于x的方程ax+b＝2的解为x＝﹣5，则一次函数y＝ax+b﹣2的图象与x轴交点的坐标为 （﹣5，0） ．
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可．
解：∵关于x的方程ax+b＝2的解为x＝﹣5，
∴一次函数y＝ax+b﹣2的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0），
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°．已知AB＝4，EF＝1，则BC的长是 6． ．
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，
在Rt△AFB中，点D是边AB的中点，AB＝4，
∴DF＝AB＝2，
∴DE＝DF+EF＝2+1＝3，
∴BC＝2DE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 4 ．
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD＝，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝4，
∴OH＝AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
17．、如图，图①中是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，S7代表△A7OA8的面积，则+++…+的值为 7 ．
【分析】利用勾股定理依次计算出OA2＝，OA3＝，OA4＝2，...OAn＝，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△OAn﹣1An的面积即可得到结论．
解：OA2＝＝，OA3＝＝，OA4＝＝＝2，
…OA6＝
∴OAn＝．
S1＝×1×1＝；
S2＝×1×＝；
S3＝×1＝；
…
△OAn﹣1An的面积＝．
∴+++…+＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．如图，在一张长为5，宽为4的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 或2或 ．
【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
解：分三种情况计算：
（1）当AE＝AF＝3时，如图：
∴S△AEF＝AE•AF＝×3×3＝；
（2）当AE＝EF＝3时，如图：
则BE＝4﹣3＝1，
BF＝＝＝2，
∴S△AEF＝•AE•BF＝×3×2＝3；
（3）当AE＝EF＝3时，如图：
则DE＝5﹣3＝2，
DF＝＝＝，
∴S△AEF＝AE•DF＝3×＝，
故答案为：或3或．
【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
三、解答下列各题。（满分60分）
19．计算：
（1）﹣4×+；
（2）（）（）+（+2）2．
【分析】（1）先算乘除，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式及完全平方公式计算出各数，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
解：（1）﹣4×+
＝3﹣4×
＝3
＝3；
（2）（）（）+（+2）2
＝5﹣3+3+4+4
＝4+9．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为，2，；
（2）请你判断所画的三角形的形状： 等腰直角三角形 ；
（3）求此三角形的面积及最长边上的高．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）利用面积法求解即可．
解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）∵AB＝AC＝，BC＝2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（3）设BC边上的高为h．
∵S△ABC＝××＝5＝×2×h，
∴h＝．
∴此三角形的面积为5，最长边上的高为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．2022年3月23日，神舟十三号3名航天员在中国空间站为青少年们讲授了“天宫课堂”第二课，点燃了无数青少年心中的科学梦想．海豚学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩（单位：分）．
收集数据：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95，95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
1
6
a
b
分析数据：
平均数
中位数
众数
82
c
d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）活动组委会决定，给成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级1000人中约有多少人将获得“小宇航员”称号；
（3）样本20名参赛学生中的小蕾同学成绩为83分，请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何？
【分析】（1）将题干数据从小到大重新排列，可得a、b的值，再根据中位数和众数的定义可得c、d的值；
（2）用总人数乘以样本中90分及以上的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义解答即可．
解：（1）将以上数据重新排列为67，70，70，75，75，75，75，80，80，80，82，84，85，85，90，90，92，95，95，95，
所以a＝7、b＝6，中位数c＝＝81，众数d＝75；
（2）1000×＝300（人），
答：该校八年级约有300人将获得“小宇航员”称号；
（3）中位数为（分），
83＞81，
所以小蕾同学成绩在八年级属于中上水平．
【点评】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用．
22．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形
【分析】根据平行线的性质和菱形的判定证明即可．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD交DE于点C，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AF∥DE，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
∵DB平分∠ADC交AF于点B，
∴∠ADB＝∠BDC，
同理可得：AD＝AB，
∴DC＝AB，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形和菱形的判定解答．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
2
10
12
12
20
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 8 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 3 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 28 km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 0.2或 h．
（3）当4.5≤x≤5.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（1）由图象知，x＝0.5h时，y＝0.5×20＝10（km）；x＝0.8时，y＝12（km），x＝3时，y＝20（km）；
（2）①书店到陈列馆的距离为20﹣12＝8（km），
②李华在陈列馆参观学习的时间为4.5﹣1.5＝3（h），
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28（km/h），
④当李华从学校出发去书店时，4÷20＝0.2（h）；当从陈列馆回学校时，5+＝（h），
（3）分两钟情况：当4.5≤x≤5时，可得y＝﹣28x+146；当4.5＜x≤5.5时，可得y＝﹣12x+66．
解：（1）由图象可知：李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店，途中速度是12÷0.6＝20（km/h），
∴x＝0.5h时，y＝0.5×20＝10（km）；
由图象知，x＝0.8时，y＝12（km），
x＝3时，y＝20（km），
故答案为：10，12，20；
（2）①书店到陈列馆的距离为20﹣12＝8（km），
故答案为：8；
②李华在陈列馆参观学习的时间为4.5﹣1.5＝3（h），
故答案为：3；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28（km/h），
故答案为：28；
④当李华从学校出发去书店时，4÷20＝0.2（h）；
当从陈列馆回学校时，5+＝（h），
故答案为：0.2或；
（3）当4.5≤x≤5时，设y＝kx+b，
将（4.5，20），（5，6）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣28x+146；
当4.5＜x≤5.5时，设y＝k'x+b'，
将（5，6），（5.5，0）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣12x+66，
综上所述，y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
24．已知长方形ABCD（对边平行且相等，四个角都是直角）中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
（1）如图1，当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
（2）如图2，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B'C，求△PCB′周长的最小值．
【分析】（1）根据矩形的性质得AB∥CD，可得∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，利用AAS即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出∠FAP＝∠APF，等角对等边即可得FA＝FP，设FA＝x，则FP＝x，FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得x＝，即AF＝；
②可得△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝10，则CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，即可得△PCB'周长的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝CP，
∴△ABP≌△ECP（AAS）；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠FAP，
由折叠得∠APB＝∠APF，
∴∠FAP＝∠APF，
∴FA＝FP，
矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝CP＝4，
由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，
设FA＝x，则FP＝x，
∴FB′＝x﹣4，
在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，
∴x2＝（x﹣4）2+62，
解得x＝，
即AF＝；
②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，
∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，
连接B'C，AC，
∵AB′+B′C＞AC，
∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，
∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
2022-2023学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题白要求的，将唯一正确著案的序号字母选出，然后用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．下列运算中正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣）＝•＝
C．＝±2 D．|﹣|＝﹣
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．9，16，25 B．，，2 C．6，8，10 D．5，12，13
3．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、中位数
4．下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A．36，3 B．36，4 C．35，3 D．35，2
5．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线垂直且相等的四边形
10．弹簧的受力和伸长量成正比．某次实验中，小军组的同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如下表（部分）所示，下列说法中正确的是（ ）
x （kg）
0
1
2
3
4
…
y （cm）
10.5
11
11.5
12
…
A．x，y都是变量，y是x的正比例函数
B．当所挂物体的质量为 15kg时，弹簧长度是19cm
C．物体质量由 5kg增加到10kg，弹簧的长度增加1.5cm
D．弹簧不挂物体时的长度是10cm
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（ ）个．
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13．计算：＝ ．
14．已知关于x的方程ax+b＝2的解为x＝﹣5，则一次函数y＝ax+b﹣2的图象与x轴交点的坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°．已知AB＝4，EF＝1，则BC的长是 ．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 ．
17．、如图，图①中是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，S7代表△A7OA8的面积，则+++…+的值为 ．
18．如图，在一张长为5，宽为4的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 ．
三、解答下列各题。（满分60分）
19．计算：
（1）﹣4×+；
（2）（）（）+（+2）2．
20．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为，2，；
（2）请你判断所画的三角形的形状： ；
（3）求此三角形的面积及最长边上的高．
21．2022年3月23日，神舟十三号3名航天员在中国空间站为青少年们讲授了“天宫课堂”第二课，点燃了无数青少年心中的科学梦想．海豚学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩（单位：分）．
收集数据：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95，95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
1
6
a
b
分析数据：
平均数
中位数
众数
82
c
d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）活动组委会决定，给成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级1000人中约有多少人将获得“小宇航员”称号；
（3）样本20名参赛学生中的小蕾同学成绩为83分，请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何？
22．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
2
12
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 h．
（3）当4.5≤x≤5.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．已知长方形ABCD（对边平行且相等，四个角都是直角）中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
（1）如图1，当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
（2）如图2，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B'C，求△PCB′周长的最小值．
参考答案
一、选择题。（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题白要求的，将唯一正确著案的序号字母选出，然后用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．下列运算中正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣）＝•＝
C．＝±2 D．|﹣|＝﹣
【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘法运算，然后选择正确选项．
解：A、+＝2+3＝5，原式计算错误，故本选项错误；
B、（﹣）＝4﹣2＝2，原式计算错误，故本选项错误；
C、＝2，原式计算错误，故本选项错误；
D、|﹣|＝﹣，计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的加减运算和乘法运算以及二次根式的化简，掌握运算法则是解答本题的关键．
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．9，16，25 B．，，2 C．6，8，10 D．5，12，13
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
解：A．∵92+162≠252，
∴以9，16，25为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵（）2+（）2＝22，
∴以，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、中位数
【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数．
解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴90分是这组数据的中位数，
∵大部分的学生都考在85分到90分之间，
∴众数在此范围内．
故选：B．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
4．下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
A．36，3 B．36，4 C．35，3 D．35，2
【分析】根据平均数可得第一个被遮盖的数，根据方差计算公式可得第二个被遮盖的数．
解：∵平均成绩为37分，
∴第一个被遮盖的数据为37×5﹣（38+34+37+40）＝36（分），
第二个被遮盖的数据为×[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查方差和平均数，熟练掌握方差的计算公式和平均数的定义是解题的关键．
5．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：∵一次函数y＝﹣2x﹣3，
∴该函数y随x的增大而减小，故选项A错误；
与y轴交于点（0，﹣3），故选项B错误；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C正确；
与x轴交于点（﹣，0），故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．
解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
8．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
【分析】根据矩形的判定定理即可得到结论．
解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线垂直且相等的四边形
【分析】此题要根据正方形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，故原四边形的对角线必互相垂直且相等，由此得解．
【解答】已知：如右图，四边形EFGH是正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
10．弹簧的受力和伸长量成正比．某次实验中，小军组的同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如下表（部分）所示，下列说法中正确的是（ ）
x （kg）
0
1
2
3
4
…
y （cm）
10.5
11
11.5
12
…
A．x，y都是变量，y是x的正比例函数
B．当所挂物体的质量为 15kg时，弹簧长度是19cm
C．物体质量由 5kg增加到10kg，弹簧的长度增加1.5cm
D．弹簧不挂物体时的长度是10cm
【分析】现根据表格中数据求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式，再分别判断各选项即可．
解：上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量．
设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b，
将x＝1，y＝10.5；x＝2，y＝11代入得：，
解得：，
∴y＝0.5x+10，
∴y是x的一次函数，
故A错误；
当x＝15时，y＝7.5+10＝17.5，
∴弹簧长度是17.5cm，
故B错误；
当x＝5时，y＝2.5+10＝12.5，
∴弹簧长度是12.5cm，
当x＝10时，y＝5+10＝15，
∴物体重物由5kg增加到10kg时，弹簧长度增加了15﹣12.5＝2.5（cm），
故C错误；
当x＝0时，y＝10，
∴当弹簧不挂重物时的长度为10cm，
故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO＝BO＝3，
∴DO＝＝3，
∴点C坐标（6，3），
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
12．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（ ）个．
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确；
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误；
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误．
故其中不正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13．计算：＝ 5 ．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
14．已知关于x的方程ax+b＝2的解为x＝﹣5，则一次函数y＝ax+b﹣2的图象与x轴交点的坐标为 （﹣5，0） ．
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可．
解：∵关于x的方程ax+b＝2的解为x＝﹣5，
∴一次函数y＝ax+b﹣2的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0），
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°．已知AB＝4，EF＝1，则BC的长是 6． ．
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，
在Rt△AFB中，点D是边AB的中点，AB＝4，
∴DF＝AB＝2，
∴DE＝DF+EF＝2+1＝3，
∴BC＝2DE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 4 ．
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD＝，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝4，
∴OH＝AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
17．、如图，图①中是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，S7代表△A7OA8的面积，则+++…+的值为 7 ．
【分析】利用勾股定理依次计算出OA2＝，OA3＝，OA4＝2，...OAn＝，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△OAn﹣1An的面积即可得到结论．
解：OA2＝＝，OA3＝＝，OA4＝＝＝2，
…OA6＝
∴OAn＝．
S1＝×1×1＝；
S2＝×1×＝；
S3＝×1＝；
…
△OAn﹣1An的面积＝．
∴+++…+＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．如图，在一张长为5，宽为4的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 或2或 ．
【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
解：分三种情况计算：
（1）当AE＝AF＝3时，如图：
∴S△AEF＝AE•AF＝×3×3＝；
（2）当AE＝EF＝3时，如图：
则BE＝4﹣3＝1，
BF＝＝＝2，
∴S△AEF＝•AE•BF＝×3×2＝3；
（3）当AE＝EF＝3时，如图：
则DE＝5﹣3＝2，
DF＝＝＝，
∴S△AEF＝AE•DF＝3×＝，
故答案为：或3或．
【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
三、解答下列各题。（满分60分）
19．计算：
（1）﹣4×+；
（2）（）（）+（+2）2．
【分析】（1）先算乘除，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式及完全平方公式计算出各数，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
解：（1）﹣4×+
＝3﹣4×
＝3
＝3；
（2）（）（）+（+2）2
＝5﹣3+3+4+4
＝4+9．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为，2，；
（2）请你判断所画的三角形的形状： 等腰直角三角形 ；
（3）求此三角形的面积及最长边上的高．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）利用面积法求解即可．
解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）∵AB＝AC＝，BC＝2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（3）设BC边上的高为h．
∵S△ABC＝××＝5＝×2×h，
∴h＝．
∴此三角形的面积为5，最长边上的高为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．2022年3月23日，神舟十三号3名航天员在中国空间站为青少年们讲授了“天宫课堂”第二课，点燃了无数青少年心中的科学梦想．海豚学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩（单位：分）．
收集数据：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95，95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
1
6
a
b
分析数据：
平均数
中位数
众数
82
c
d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）活动组委会决定，给成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级1000人中约有多少人将获得“小宇航员”称号；
（3）样本20名参赛学生中的小蕾同学成绩为83分，请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何？
【分析】（1）将题干数据从小到大重新排列，可得a、b的值，再根据中位数和众数的定义可得c、d的值；
（2）用总人数乘以样本中90分及以上的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义解答即可．
解：（1）将以上数据重新排列为67，70，70，75，75，75，75，80，80，80，82，84，85，85，90，90，92，95，95，95，
所以a＝7、b＝6，中位数c＝＝81，众数d＝75；
（2）1000×＝300（人），
答：该校八年级约有300人将获得“小宇航员”称号；
（3）中位数为（分），
83＞81，
所以小蕾同学成绩在八年级属于中上水平．
【点评】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用．
22．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形
【分析】根据平行线的性质和菱形的判定证明即可．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD交DE于点C，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AF∥DE，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
∵DB平分∠ADC交AF于点B，
∴∠ADB＝∠BDC，
同理可得：AD＝AB，
∴DC＝AB，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形和菱形的判定解答．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
2
10
12
12
20
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 8 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 3 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 28 km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 0.2或 h．
（3）当4.5≤x≤5.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（1）由图象知，x＝0.5h时，y＝0.5×20＝10（km）；x＝0.8时，y＝12（km），x＝3时，y＝20（km）；
（2）①书店到陈列馆的距离为20﹣12＝8（km），
②李华在陈列馆参观学习的时间为4.5﹣1.5＝3（h），
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28（km/h），
④当李华从学校出发去书店时，4÷20＝0.2（h）；当从陈列馆回学校时，5+＝（h），
（3）分两钟情况：当4.5≤x≤5时，可得y＝﹣28x+146；当4.5＜x≤5.5时，可得y＝﹣12x+66．
解：（1）由图象可知：李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店，途中速度是12÷0.6＝20（km/h），
∴x＝0.5h时，y＝0.5×20＝10（km）；
由图象知，x＝0.8时，y＝12（km），
x＝3时，y＝20（km），
故答案为：10，12，20；
（2）①书店到陈列馆的距离为20﹣12＝8（km），
故答案为：8；
②李华在陈列馆参观学习的时间为4.5﹣1.5＝3（h），
故答案为：3；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28（km/h），
故答案为：28；
④当李华从学校出发去书店时，4÷20＝0.2（h）；
当从陈列馆回学校时，5+＝（h），
故答案为：0.2或；
（3）当4.5≤x≤5时，设y＝kx+b，
将（4.5，20），（5，6）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣28x+146；
当4.5＜x≤5.5时，设y＝k'x+b'，
将（5，6），（5.5，0）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣12x+66，
综上所述，y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
24．已知长方形ABCD（对边平行且相等，四个角都是直角）中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
（1）如图1，当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
（2）如图2，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B'C，求△PCB′周长的最小值．
【分析】（1）根据矩形的性质得AB∥CD，可得∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，利用AAS即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出∠FAP＝∠APF，等角对等边即可得FA＝FP，设FA＝x，则FP＝x，FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得x＝，即AF＝；
②可得△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝10，则CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，即可得△PCB'周长的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝CP，
∴△ABP≌△ECP（AAS）；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠FAP，
由折叠得∠APB＝∠APF，
∴∠FAP＝∠APF，
∴FA＝FP，
矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝CP＝4，
由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，
设FA＝x，则FP＝x，
∴FB′＝x﹣4，
在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，
∴x2＝（x﹣4）2+62，
解得x＝，
即AF＝；
②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，
∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，
连接B'C，AC，
∵AB′+B′C＞AC，
∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，
∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
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