2022-2023学年广东省汕头市潮南区两英镇八年级（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省汕头市潮南区两英镇八年级（下）期末数学试卷（A卷）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省汕头市潮南区两英镇八年级（下）期末数学试卷（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数y=2022x中，自变量x的取值范围是(    )
A. x>0 B. x<0 C. x≠0 D. 全体实数
2. 如果 x−3是最简二次根式，则x的值可能是(    )
A. 11 B. 13 C. 21 D. 27
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，其对角线AC，BD相交于点O，下列理论一定成立的是(    )
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=AD
4. 对于一组数据−1，−1，4，2，下列结论不正确的是(    )
A. 平均数是1 B. 众数是−1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5
5. 当x= 23−1时，代数式x2+2x+2的值是(    )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为(    )


A. 9 B. 12 C. 6 3 D. 15
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为(    )
A. 6
B. 18
C. 24
D. 32
8. 在长方形ABCD中，AB=5，CB=12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为(    )

A. 103 B. 113 C. 3 D. 4
9. 如图，一次函数y=43x−4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为(    )
A. y=13x−1
B. y=23x−2
C. y=x−3
D. y=x−2


10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是(    )

A. 2 B. 125 C. 3 D. 245
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 化简： (3−π)2=          ．
12. 有一组数据如下：−4，−2，1，3，5，则这组数据的中位数是______ ．
13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AO=2，BC=5，则AE的长为        ．

14. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为______ ．


15. 在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、AnBnBn−1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点B1、B2、B3、…、Bn均在x轴上．若点B1的坐标为(1,0)，点B2的坐标为(3,0)，则点A2022的坐标为______．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：−12+6 13−( 2−1)0+|1− 3|．
17. (本小题8.0分)
如果最简二次根式 4a−5与 13−2a能进行合并.且a≤x≤2a，化简：|x−2|+ x2−12x+36．
18. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB．
(1)尺规作图：作DC边的垂直平分线，分别交AD、CD边于点E、F(要求：保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接EC，若∠BAD=130°，求∠AEC的度数．

19. (本小题9.0分)
近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表．
使用次数
1
2
3
4
5
人数
8
13
11
12
6
(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是______ ，众数是______ ；
(2)这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
20. (本小题9.0分)
如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A地沿AB到达B地，AB为10米，第二条路是从A地沿折线AC→CB到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A地沿折线AD→DB到达B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：∠C=90°；
(2)求AD和BD的长．

21. (本小题9.0分)
如图，在▱ABCD中，E为BC边的中点，连接DE，并延长DE交AB的延长线于点F．
(1)求证：四边形DBFC是平行四边形．
(2)若BC=DF，AD=8，∠A=60°，求BD的长．




22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+5的图象与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，且OBOA=12．
(1)求一次函数y=kx+5的表达式；
(2)若点P为该一次函数图象上一点，且S△POB=32S△AOB，求点P的坐标．

23. (本小题12.0分)
如图所示，在菱形ABCD中，AB=8，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF．
(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：函数y=2022x中，自变量x的取值范围是x≠0．
故选：C．
根据反比例函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数的自变量取值范围，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：∵ x−3是二次根式，∴x−3≥0，解得x≥3，
A、当x=11时， x−3= 8=2 2，确定 8不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当x=13时， x−3= 10，确定 10是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当x=21时， x−3= 18=3 2，确定 18不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当x=27时， x−3= 24=2 6，确定 24不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．
本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，AD=BC，AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
故只有选项C符合题意．
故选：C．
根据平行四边形的性质判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】
解：这组数据的平均数是：(−1−1+4+2)÷4=1；
−1出现了2次，出现的次数最多，则众数是−1；
把这组数据从小到大排列为：−1，−1，2，4，则中位数是−1+22=0.5；
这组数据的方差是：14[(−1−1)2+(−1−1)2+(4−1)2+(2−1)2]=4.5；
故选D．  
5.【答案】B 
【解析】
【分析】
将x的值代入原式=x2+2x+1+1=(x+1)2+1计算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及完全平方公式．
【解答】
解：当x= 23−1时，
原式=x2+2x+1+1
=(x+1)2+1
=( 23−1+1)2+1
=( 23)2+1
=23+1
=24，
故选：B．  
6.【答案】D 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得，AB= 32+42=5，
∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，
∴AB=AD=BD=5，
∴△ABD的周长为3×5=15，
故选：D．
首先利用勾股定理得AB=5，再根据AB=AD=BD=5可得答案．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=CD=3，
∴S△ABC=S△BCD+S△ABD
=12BC⋅CD+12AB⋅DE
=12(BC+AB)×3，
∵BC+AB=16，
∴△ABC的面积=12×16×3=24．
故选：C．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据S△ABC=S△BCD+S△ABD列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE=∠CFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB=5，CB=12，
∴∠B=90°，
∴EB⊥AB，AC= AB2+CB2= 52+122=13，
∵AE平分∠BAC，
∴FE=BE，
在Rt△AFE和Rt△ABE中，
AE=AEFE=BE，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE(HL)，
∴AF=AB=5，
∵FE2+CF2=CE2，且CF=13−5=8，CE=12−BE，
∴BE2+82=(12−BE)2，
∴BE=103，
故选：A．
作EF⊥AC于点F，由∠B=90°，AB=5，CB=12，根据勾股定理求得AC=13，由角平分线的性质得FE=BE，再证明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF=AB=5，则CF=8，再由勾股定理得BE2+82=(12−BE)2，即可求得BE=103．
此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC=AB+BC，
当x=0时，y=−4，
∴B坐标为(0,−4)，
∴OB=4，
当y=0时，43x−4=0，解得x=3，则A(3,0)，
∴OA=3，
∴AB= OA2+OB2=5，
∵AO+OC=AB+BC，
∴3+OC=5+4−OC，解得OC=3，
∴C(0,−3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(3,0)，C(0,−3)代入得3k+b=0b=−3，
解得k=1b=−3，
∴直线AC的解析式为y=x−3．
故选：C．
如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC=AB+BC，利用直线AB的解析式求出B(0,−4)，A(3,0)，则AB=5，则利用AO+OC=AB+BC可求出OC=3，所以C(0,−3)，然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，求得点C的坐标是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小(垂线段最短)，此时DE有最小值，

理由是：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴12AC⋅BC=12AB⋅CM，
∴12×6×8=12×10×CM，
∴CM=245，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE=12CM=12×245=125，
即DE的最小值是125，
故选：B．
连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小(垂线段最短)，此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE=12CM即可．
本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．

11.【答案】π−3 
【解析】解： (3−π)2= (π−3)2=π−3．
故答案是：π−3．
二次根式的性质： a2=a(a≥0)，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．

12.【答案】1 
【解析】解：将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是1，因此中位数是1，
故答案为：1．
根据中位数的意义求解即可．
本题考查中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13.【答案】125 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AO=2，
∴AC=2AO=4
∵AB=3，BC=5，
∴AB2+AC2=AB2，
∴∠BAC=90°，
∵S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴12×4×3=12×5×AE，
∴AE=125，
故答案为：125．
首先由勾股定理的逆定理判定△BAC是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求出AE的长度．
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．

14.【答案】2 3+2 2−5 
【解析】解：由题意可得，
大正方形ABCD的边长为2，中间正方形边长为 3，小的正方形边长为 2，
∴图中阴影部分的面积为：2× 3−3+2× 2−2=2 3+2 2−5，
故答案为：2 3+2 2−5．
根据图形可以求得图中三个小正方形的边长，本题得以解决．
本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】(22021−1,22021) 
【解析】解：如图，∵点B1的坐标为(1,0)，点B2的坐标为(3,0)，
∴OB1=1，OB2=3，则B1B2=2．
∵△A1B1O是等腰直角三角形，∠A1OB1=90°，
∴OA1=OB1=1．
∴点A1的坐标是(0,1)．
同理，在等腰直角△A2B2B1中，∠A2B1B2=90°，A2B1=B1B2=2，则A2(1,2)．
∵点A1、A2均在一次函数y=kx+b的图象上，
∴k+b=2 b=1，解得，k=1b=1，
∴该直线方程是y=x+1．
∵点A3，B2的横坐标相同，都是3，
∴当x=3时，y=4，即A3(3,4)，则A3B2=4，
∴B3(7,0)．
…
Bn(2n−1,0)，
∴当x=2n−1−1时，y=2n−1−1+1=2n−1，
即点An的坐标为(2n−1−1,2n−1).
∴A2022的坐标为(22021−1,22021).
故答案为：(22021−1,22021).
首先，根据等腰直角三角形的性质求得点A1、A2的坐标；然后，将点A1、A2的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点Bn−1的坐标，即可求得点B4的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点Bn的坐标的规律．

16.【答案】解：−12+6 13−( 2−1)0+|1− 3|
=−1+2 3−1+ 3−1
=3 3−3． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】解：由题意可知：4a−5=13−2a，
解得：a=3，
∴3≤x≤6，
∴x−2>0，x−6≤0，
∴原式=|x−2|+ (x−6)2
=(x−2)−(x−6)
=x−2−x+6
=4． 
【解析】根据题意可知求出a的值以及x的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．

18.【答案】解：(1)如图，直线EF即为所求；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=130°，
∴∠D=50°．
∵MN垂直平分线段CD，
∴ED=EC，
∴∠D=∠ECD=50°，
∴∠AEC=∠D+∠ECD=100°．
 
【解析】(1)根据题意作图即可；
(2)由AB/​/CD可得∠D=50°，由MN垂直平分线段CD可得∠D=∠ECD=50°，即可求解．
本题主要考查线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．

19.【答案】6  2 
【解析】解：(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是3+32=3(次)，众数为2，
故答案为：1，2；
(2)这50名出行学生平均每人使用共享单车150×(1×8+2×13+3×11+4×12+5×6)=2.9(次)．
(1)根据中位数的概念求解可得；
(2)利用加权平均数的概念列式计算可得；
本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．

20.【答案】(1)证明：∵AC=8米，BC=6米，AB=10米，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；
(2)解：设AD=x米，则BD=(26−x)米，
∴CD=BC+BD=6+26−x=(32−x)(米)，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：82+( 32−x)2=x2，
解得：x=17，
则26−x=26−17=9．
答：AD的长为17米，BD的长为9米． 
【解析】(1)由勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)设AD=x米，则BD=(26−x)米，CD=BC+BD=(32−x)米，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠DCE=∠FBE，
∵点E为BC边的中点，
∴BE=CE，
∵在△DCE和△FBE中，
∠DCE=∠FBECE=BE∠DEC=∠FEB，
∴△DCE≌△FBE(ASA)；
∴CE=BE，DE=FE，
∴四边形DBFC是平行四边形．
(2)∵四边形DBFC是平行四边形，BC=DF，
∴四边形DBFC是矩形，
∴∠DBF=90°，
∵▱ABCD中，AD=8，∠A=60°，
∴BC=8，∠DCB=60°，
∴∠DBC=30°，
∴DC=12BC=4，
∴BD= BC2−DC2= 82−42=4 3． 
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，可得AB/​/CD，又由点E为BC边的中点，证得△DCE≌△FBE，可得CE=BE，DE=FE，证得四边形DBFC是平行四边形；
(2)证出四边形DBFC是矩形，由矩形的性质得出∠DBF=90°，求出∠DBC=30°，则DC=12BC=4，由勾股定理可求出答案．
此题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，证明△DCE≌△FBE是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+5的图象与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴B(0,5)，
∴OB=5，
∵OBOA=12，
∴OA=10，
∴A(10,0)，
代入y=kx+5得，10k+5=0，
∴k=−12，
∴一次函数的表达式为y=−12x+5；
(2)∵OA=10，OB=5，
∴S△AOB=12×10×5=25，
∵S△POB=32S△AOB，
∴12×5×|xP|=32×25，
解得xP=±15，
把x=15代入y=−12x+5得y=−52，
把x=−15代入y=−12x+5得y=252，
∴点P的坐标是(15,−52)或(−15,252). 
【解析】(1)先求得B点的坐标，然后根据题意求得A点的坐标，代入y=kx+5，即可求得k的值；
(2)根据题意得到12×5×|xP|=32×25，求得P的横坐标，代入y=−12x+5，即可求得纵坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接AC，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD/​/BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠ACF=60°，AC=AB，
在△ABE和△ACF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABC=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF(ASA)．
∴BE=CF．
(2)解：四边形AECF的面积不变．
理由：由(1)得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△
AEC+S△ABE=S△ABC，是定值；
作AH⊥BC于H点，如图所示：

∵∠AHB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAH=90°−60°=30°，
∴BH=12AB=4，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AH= AB2−BH2= 82−42=4 3，
∴S四边形AECF=S△ABC=12⋅BC⋅AH=16 3．
∵S△CEF=S四边形AECF−S△AEF=12S菱形ABCD−S△AEF，
∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，
∵△AEF为等边三角形，
∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，
∵当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE的最小值为AH的长4 3，
过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：

∵△AEF为等边三角形，
∴AF=EF=AE=4 3，∠AEF=60°，
∴EM=MF=12EF=2 3，
∴AM= AE2−EM2= (4 3)2−(2 3)2=6，
∴S△AEF=12×4 3×6=12 3，
∴S△CEF=S四边形AECF−S△AEF=16 3−12 3=4 3，
即△CEF的面积的最大值为4 3． 
【解析】(1)先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
(2)根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF−S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，垂线段的性质，勾股定理，直角三角形的性质，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．