2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，不是3x+2y=10的解的是(    )
A. x=2y=2 B. x=−2y=8 C. x=2y=3 D. x=3y=12
2. 下列等式成立的是(    )
A. 22×23=25 B. 22×23=26 C. 22×23=28 D. 22×23=29
3. 多项式ax−x因式分解的结果是(    )
A. a(x−1) B. x(a−1) C. a D. x(a−x)
4. 分式x+1(x−1)(x2−4)有意义，x可取(    )
A. −1 B. 1 C. −2 D. 2
5. 要对大批量生产的商品进行检验，下列做法比较合适的是(    )
A. 把所有商品逐件进行检验
B. 从中抽取1件进行检验
C. 从中挑选几件进行检验
D. 从中按抽样规则抽取一定数量的商品进行检验
6. 一个长方体，它的底面是边长为2a3b的正方形，高为3ab，它的体积是(    )
A. 6a6b3 B. 12a6b3 C. 6a7b3 D. 12a7b3
7. 设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克10元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克(    )
A. a+102元 B. 2+b2元 C. 2a+10b2+b元 D. 2a+10ba+10元
8. 分式x2+2x2+1的值，可以等于(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
9. 若∠1，∠2，∠3，∠4的位置如图，则(    )
A. ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
B. ∠1+∠2=∠3+∠4
C. ∠1−∠2=∠3−∠4
D. ∠1+∠3=∠2+∠4


10. 设a，b为实数，多项式(x+a)(2x+b)展开后x的一次项系数为p，多项式(2x+a)(x+b)展开后x的一次项系数为q：若p+q=6，且p，q均为正整数，则(    )
A. ab与ab的最大值相等，ab与ab的最小值也相等
B. ab与ab的最大值相等，ab与ab的最小值不相等
C. ab与ab的最大值不相等，ab与ab的最小值相等
D. ab与ab的最大值不相等，ab与ab的最小值也不相等
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：2a⋅3a=______．
12. 要了解某中学七年级(1)班学生的视力情况，比较合适的调查方法是______ .(填“全面调查”或“抽样调查”中的一个)．
13. 若不论x为何值，(x+1)(x+a)=x2+kx+6，则k= ______ ．
14. 设y=ax(a为常数)，若分式x+yx的值为3，则a= ______ ．
15. 已知多项式P，Q的乘积为4a2−b2，若P=b−2a，则Q= ______ ．
16. 如图，AB/​/CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N，若∠F=∠FND=3∠EMB，则∠F的度数是______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程组：x=2y+32x+y=1，并求分式2y+31−2x的值．
18. (本小题8.0分)
计算：
(1)a(a−2b)；
(2)(−2x)3+2x3；
(3)1p−1−1p(p−1)．
19. (本小题8.0分)
杭州市教育局为了推动杭州教育领域“共同富裕”探索实践.开展了杭州市中小学“共享优课”赛课活动.拱墅区中学数学教师踊跃参加，上传了初中数学八年级上册30节优课.并按优课时长分成4组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)．
上传的八年级上册30节优课时长的频数表
组别(分)
频数
6.5−7.5
3
7.5−8.5
9
8.5−9.5
a
9.5−10.5
3
(1)求a的值，并把频数分布直方图补充完整；
(2)若要播放完这30节优课(按正常速度完整播放，不考虑衔接的时间)，试通过计算说明：总播放时长超过4小时．


20. (本小题10.0分)
如图，AB/​/CD，EF分别交AB，CD于点G，H．
(1)若∠EGB=70°，求∠DHF的度数；
(2)若∠BGH和∠DHG的角平分线交于点I，探索∠HGI和∠GHI之间满足的等量关系，说明理由．

21. (本小题10.0分)
已知多项式①x2−2xy，②x2−4y2，③x2−4xy+4y2．
(1)把这三个多项式因式分解；
(2)老师问：“三个等式①+②=③；①+③=②；②+③=①能否同时成立？”圆圆同学说：“只有当x=y=0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立.”你认为圆圆同学的说法正确吗？为什么？
22. (本小题12.0分)
在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．
(1)如图，大正方形的边长为(a+b)，直接写出下到结果．
①中间小正方形的边长；
②用含a，b的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍．
(2)当x+y=6，x−y=−4.求x⋅y的值．
(3)若当x−2y=P，xy=Q时，(x+2y)2的值唯一确定，用含P、Q的代数式表示．

23. (本小题12.0分)
如图，直线CD，EF分别交直线AB于点G，H，射线GI，HJ分别在∠CGB和∠EHB的内部，且∠CGB=2∠EHB．
(1)若∠CGB和∠EHB互补．
①求∠EHB的度数；
②当∠CGI=2∠IGB，且GI//HJ时，求∠EHJ的度数；
(2)设∠CGI=m∠IGB，∠EHJ=n∠JHB.若GI//HJ，求m，n满足的等量关系．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.当x=2y=2时，方程左边=3×2+2×2=10，方程右边=10，
∴方程左边=方程右边，
∴x=2y=2是二元一次方程3x+2y=10的解，选项A不符合题意；
B.当x=−2y=8时，方程左边=3×(−2)+2×8=10，方程右边=10，
∴方程左边=方程右边，
∴x=−2y=8是二元一次方程3x+2y=10的解，选项B不符合题意；
C.当x=2y=3时，方程左边=3×2+2×3=12，方程右边=10，12≠10，
∴方程左边≠方程右边，
∴x=2y=3不是二元一次方程3x+2y=10的解，选项C符合题意；
D.当x=3y=12时，方程左边=3×3+2×12=10，方程右边=10，
∴方程左边=方程右边，
∴x=3y=12是二元一次方程3x+2y=10的解，选项D不符合题意．
故选：C．
将各选项中的x，y值代入原方程，找出使得方程左边≠方程右边的选项，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：22×23=22+3=25，
故选：A．
将22×23进行运算后判断即可．
本题考查有理数的乘方，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3.【答案】B 
【解析】解：原式=x(a−1)．
故选：B．
直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∵分式x+1(x−1)(x2−4)有意义，
∴(x−1)(x2−4)≠0，
∴x−1≠0x+2≠0x−2≠0，
解得x≠1x≠−2x≠2，
∴x可取−1．
故选：A．
直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．

5.【答案】D 
【解析】
解：A.把所有商品逐件进行检验，调查对象过多，故本选项错误；
B.从中抽取1件进行检验，数量太少，故本选项错误；
C.从中挑选几件进行检验，数量太少且不具代表性，故本选项错误；
D.从中按抽样规则抽取一定数量的商品进行检验，具有代表性，故本选项正确，
故选D．
【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，了解样本的代表性及合理性是本题的解题关键．
采取抽样调查时，应能够保证被抽中的调查样本在总体中的合理、均匀分布，调查出现倾向性偏差的可能性是极小的，样本对总体的代表性很强．据此可得答案．  
6.【答案】D 
【解析】解：长方体的体积为：(2a3b)2×3ab
=4a6b2×3ab
=12a7b3．
故选：D．
利用长方体的体积公式，结合积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

7.【答案】C 
【解析】解：2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克2a+10b2+b元．
故选：C．
根据混合糖果的单价=总钱数÷总质量列式即可．
本题考查了加权平均数，列代数式，理解混合糖果的单价的表示方法是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：x2+2x2+1=1+1x2+1>1，
当x=0时，原式=2，
故选：D．
先把分式化简，再判断求解．
本题考查了分式的值，掌握分式的化简是截图的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：如图，延长AB、DC交于点E，
∵∠2=∠ADC，∠4=∠BCE，∠1是△ADE的外角，∠3是△BCE的外角，
∴∠1=∠ADE+∠E=∠2+∠E，
∠3=∠BCE+∠E=∠4+∠E，
∴∠1−∠3=∠2−∠4，
即∠1−∠2=∠3−∠4，
故选：C．
根据三角形外角的性质以及对顶角相等得出结论．
本题考查三角形外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”以及对顶角相等是解决问题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：(x+a)(2x+b)
=2x2+bx+2ax+ab
=2x2+(b+2a)x+ab，
(2x+a)(x+b)
=2x2+2bx+ax+ab
=2x2+(2b+a)x+ab，
∵多项式(x+a)(2x+b)展开后x的一次项系数为p，多项式(2x+a)(x+b)展开后x的一次项系数为q，
∴p=b+2a，q=2b+a，
∵p+q=6，且p，q均为正整数，
∴b+2a+2b+a=6，
整理得：a+b=2．
又p=b+2a，q=2b+a，
∴p=a+2，q=b+2．
∴a=p−2，b=q−2．
∴ab=(p−2)(q−2)=pq−2(p+q)+4=p(6−p)−2×6+4=−p2+6p−8=−(p−3)2+1．
∵p，q均为正整数，
∴p的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为−3．
∵a=p−2，b=q−2，
∴ab=p−2q−2=6−q−2q−2=4−qq−2=−q+2−2+4q−2=−1+2q−2(q≠2)．
∵p，q均为正整数，
∴q的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为−3．
故选项A正确，符合题意．
故选：A．
先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出p，q，再分析即可．
本题主要考查了整式的变形，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决．

11.【答案】6a2 
【解析】解：2a⋅3a=2×3a1+1=6a2．
故填6a2．
根据单项式的乘法法则，同底数幂的乘法性质，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
注意：单独一个字母的次数是1．

12.【答案】全面调查 
【解析】解：要了解某中学七年级(1)班学生的视力情况，比较合适的调查方法是全面调查．
故答案为：全面调查．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

13.【答案】7 
【解析】解：由题意得，x2+(a+1)x+a=x2+kx+6，
∴a+1=k，a=6．
∴k=6+1=7．
故答案为：7．
依据题意，已知条件等式左边=x2+(a+1)x+a，结合等式右边，可得a=6，a+1=k，故可得解．
本题主要考查了多项式乘以多项式，解题时要熟练掌握并灵活运用变形．

14.【答案】2 
【解析】解：根据题意得：x+yx=3，
去分母得：x+y=3x，即y=2x，
把y=ax代入得：ax=2x，即(a−2)x=0，
解得：a=2．
故答案为：2．
根据题意列出分式方程，把y=2x代入计算即可求出a的值．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

15.【答案】−2a−b 
【解析】解：根据题意得：P⋅Q=4a2−b2，
即P⋅Q=(2a+b)(2a−b)，
∵P=b−2a，
∴(b−2a)⋅Q=(2a+b)(2a−b)，
即−(2a−b)⋅Q=(2a+b)(2a−b)，
∴Q=−(2a+b)=−2a−b，
故答案为：−2a−b．
先根据平方差公式分解因式，然后代入计算即可求出多项式Q．
本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

16.【答案】108° 
【解析】解：如图，过点F作FH/​/AB，

∵AB/​/CD，
∴AB//FH//CD，
∴∠EMB=∠EFH，∠HFN+∠FND=180°，
∵∠EFN=∠FND=3∠EMB，
∴∠EFH=13∠EFN，
∴∠HFN=23∠EFN，
∴23∠EFN+∠EFN=180°，
∴∠EFN=108°，
故答案为：108°．
过点F作FH/​/AB，根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

17.【答案】解：x=2y+3①2x+y=1②，
将①代入②得：2(2y+3)+y=1，
去括号得：4y+6+y=1，
解得：y=−1，
将y=−1代入①得：x=−2+3=1，
则方程组的解为x=1y=−1，
那么2y+31−2x
=2×(−1)+31−2×1
=−2+31−2
=−1． 
【解析】先解方程组求得x，y的值，然后将其代入2y+31−2x中计算即可．
本题考查解二元一次方程组及求代数式的值，正确解方程组求得x，y的值是解题的关键．

18.【答案】解：(1)a(a−2b)=a2−2ab；
(2)(−2x)3+2x3
=−8x3+2x3
=−6x3；
(3)1p−1−1p(p−1)
=pp(p−1)−1p(p−1)
=p−1p(p−1)
=1p． 
【解析】(1)根据单项式乘多项式的法则计算即可；
(2)根据整式的加减法则计算即可；
(3)根据分式的加减法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，整式的加减，分式的加减，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．

19.【答案】解：(1)a=30−3−9−3=15，补全频数分布直方图如下：

(2)∵(3×7+9×8+15×9+3×10)÷60=4.3(小时)，
∴总播放时长超过4小时． 
【解析】(1)用30减去其它组的频数即可求出a的值，即可补全频数分布直方图；
(2)利用组中值计算即可判断．
本题考查了频数(率)分布直方图，频数(率)分布表，解题的关键是理解题意，学会利用图象信息解决问题．

20.【答案】解：(1)∵∠EGB=70°，
∴∠BGF=180°−70°=110°．
∵AB/​/CD，
∴∠DHF=∠BGF=110°；
(2)∠HGI+∠GHI=90°．
理由：∵AB/​/CD，
∴∠BGH+∠DHG=180°，
∵∠BGH和∠DHG的角平分线交于点I，
∴∠HGI=12∠BGH，∠GHI=12∠DHG，
∴∠HGI+∠GHI=12(∠BGH+∠DHG)=12×180°=90°． 
【解析】(1)先根据补角的定义求出∠BGF的度数，再由平行线的性质即可得出结论；
(2)先根据平行线的性质得出∠BGH+∠DHG=180°，再由角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．

21.【答案】解：(1)①x2−2xy=x(x−2y)，
②x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，
③x2−4xy+4y2=(x−2y)2；
(2)不正确，理由如下：
∵①+③=②，
∴x(x−2y)+(x−2y)2=(x+2y)(x−2y)，
即x(x−2y)+(x−2y)2−(x+2y)(x−2y)=0，
因式分解得：(x−2y)(x+4y)=0，
∵①+②=③，
∴x(x−2y)+(x+2y)(x−2y)=(x−2y)2，
即x(x−2y)+(x+2y)(x−2y)−(x−2y)2=0，
因式分解得：(x−2y)(x−4y)=0，
∵②+③=①，
∴(x+2y)(x−2y)+(x−2y)2=x(x−2y)，
即(x+2y)(x−2y)+(x−2y)2−x(x−2y)=0，
因式分解得：x(x−2y)=0，
∵上述三个式子同时成立，
∴x−2y=0或x+4y=x−4y=x，
则x=2y或y=0，
故圆圆同学说法不正确． 
【解析】(1)利用提公因式法，完全平方公式，平方差公式进行分解即可；
(2)由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合三个等式同时成立分情况讨论后进行判断即可．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

22.【答案】解：(1)①由拼图可知，中间小正方形的边长为a−b；
②大正方形的面积为(a+b)2，小正方形的面积为(a−b)2，每个小长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，
所以(a+b)2−(a−b)2=4ab，
即大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍；
(2)当x+y=6，x−y=−4时，
∵(x+y)2−(x−y)2=4xy，
即36−16=4xy，
∴xy=5；
(3)由(1)可知，(x+2y)2−(x−2y)2=8xy，
∴(x+2y)2−P2=8Q，
即(x+2y)2=P2+8Q． 
【解析】(1)①由拼图可直接得出答案；
②用图形中面积之间的关系可得出结论；
(2)利用(1)中的结论可得(x+y)2−(x−y)2=4xy，代入计算即可；
(3)用(x+2y)2−(x−2y)2=8xy，代入即可得出结论．
本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．

23.【答案】解：(1)①∵∠CGB和∠EHB互补．
∴∠CGB+∠EHB=180°，
又∠CGB=2∠EHB，
∴2∠EHB+∠EHB=180°，
∴∠EHB=60°．
②由①知：∠EHB=60°，
∴∠CGB=2∠EHB=120°，
∴∠CGI+∠IGB=120°，
又∵∠CGI=2∠IGB，
∴2∠IGB+∠IGB=120°，
∴∠IGB=40°，
∵GI//HJ，
∴∠JHB=∠IGB=40°，
∴∠EHJ=∠EHB−∠JHB=60°−40°=20°，
(2)∵GI//HJ，
∴∠IGB=∠JHB，
设∠IGB=α，则∠JHB=α，
∴∠CGI=m∠IGB=mα，∠EHJ=n∠JHB=nα，
∴∠CGB=∠CGI+∠IGB=mα+α=(m+1)α，∠EHB=∠EHJ+∠JHB=nα+α=(n+1)α，
又∵∠CGB=2∠EHB，
∴(m+1)α=2(n+1)α，
∴m=2n+1，
即m，n满足的等量关系是：m=2n+1． 
【解析】(1)①由∠CGB和∠EHB互补，∠CGB=2∠EHB可得出2∠EHB+∠EHB=180°，据此可求出∠EHB的度数；
②先求出∠IGB=40°，由GI//HJ得∠JHB=∠IGB=40°，结合图形根据①的结论可得∠EHJ的度数；
(2)由GI//HJ得∠IGB=∠JHB，再设∠IGB=α，则∠JHB=α，∠CGI=m∠IGB=mα，∠EHJ=n∠JHB=nα，进而可得出∠CGB=∠CGI+∠IGB=(m+1)α，∠EHB=∠EHJ+∠JHB=(n+1)α，然后再根据∠CGB=2∠EHB即可得出m，n满足的等量关系．
此题主要考查了平行线的性质，互补角的关系，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解如果两个角互补，则这两个角的和等于180°．