2022-2023学年四川省南充市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省南充市高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省南充市高一（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面内，−2023+2025i对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. cos45°cos15°+sin45°sin15°=(    )
A. − 32 B. −12 C. 12 D. 32
3. 有一组数据为：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，则该组数据的极差与中位数的和为(    )
A. 105 B. 110 C. 115 D. 无法确定
4. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，设事件A为“取出的数至少有一个是奇数”，事件B为“取出的数至少有一个是偶数”，则事件A与事件B是(    )
A. 互斥且对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不互斥事件 D. 独立事件
5. 已知向量a，b满足|a|=4，|b|=6，|a+b|=8，则a⋅b=(    )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6. 如图所示，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东30°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其正东方，在B处观察灯塔在其北偏东45°，则B，C两点间的距离是(    )

A. 10 6海里 B. 20 6海里 C. 10 3海里 D. 20 3海里
7. 已知向量OP=( 32,12)，将向量OP绕原点O沿逆时针方向旋转π3到OP′的位置，则点P′的横坐标为(    )
A. −1 B. −12 C. 0 D. 1
8. 若△ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则MB⋅MH的取值范围是(    )
A. [−18,+∞) B. [−18,14] C. [−1164,+∞) D. [−1164,14]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 为了得到y=cos(2x+π6)的图象，可以把y=cosx上的所有的点(    )
A. 向左平移π12个单位长度；再把横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
B. 向左平移π6个单位长度；再把横坐标都短到原来的12，纵坐标不变
C. 横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；再向左平移π12个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；再向左平移π6个单位长度
10. 为了解某校学生的数学学科素养测试情况(满分100分)，随机抽取100名学生的测试成绩，按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，得到如图所示的样本频率分布直方图，根据频率分布直方图(其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的有(    )
A. 该校学生测试成绩的第50百分位数的估计值为82.5
B. 该校学生测试成绩的众数的估计值为80至90之间的任意数
C. 该校学生测试成绩的平均数x−的估计值为82
D. 该校学生测试成绩位于[64,100]之外的人数约为4人
11. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|0)的相邻两对称轴间的距离为π．
(1)求ω的值；
(2)证明：f(3x)=3f(x)−4f3(x)；
(3)令g(x)=f(4x−π3)，记方程g(x)=m，m∈(0, 32)在x∈[π6,4π3]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若t=x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn，试求t的值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−2023+2025i对应的点是(−2023,2025)，位于第二象限．
故选：B．
根据复数的几何意义判断即可．
本题考查了复数的代数表示和几何意义，是基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos(45°−15°)=cos30°= 32．
故选：D．
直接利用两角和的余弦公式求解．
本题主要考查了两角和的余弦公式，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：已知数据为10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，
该组数据的极差a=70−10=60，中位数b=40+502=45，
则该组数据的极差与中位数的和为a+b=60+45=105．
故选：A．
由题意，根据极差和中位数的定义列出等式求解即可．
本题考查极差和中位数的定义，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解法一：从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，
设事件A为“取出的数至少有一个是奇数”，事件B为“取出的数至少有一个是偶数”，
事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故AB均错误，C正确，
P(A)=C32+C31C21C52=0.9，
P(B)=C22+C31C21C52=0.7，
P(AB)=C31C21C52=0.6，
P(AB)≠P(A)P(B)，∴事件A与事件B不是独立事件，故D错误．
解法二：从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，
基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，
设事件A为“取出的数至少有一个是奇数”，事件B为“取出的数至少有一个是偶数”，
事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故AB均错误，C正确，
事件A包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共9个，
∴P(A)=910，
事件B包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共7个，
∴P(B)=710，
事件A，B同时发生包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共6个，
∴P(AB)=610，
P(AB)≠P(A)P(B)，∴事件A与事件B不是独立事件，故D错误．
故选：C．
法一：利用互斥事件、相互独立事件的定义、古典概型直接求解；
法二：利用互斥事件、相互独立事件的定义、列举法直接求解．
本题考查互斥事件、相互独立事件的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：∵|a|=4，|b|=6，|a+b|=8，
∴|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=16+2a⋅b+36=64，
∴a⋅b=6．
故选：B．
由平面向量模的知识将|a+b|=8两边同时平方后即可求得．
本题考查平面向量的模与数量积，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：如图，由已知可得，∠CAB=60°，∠ABC=75°，AB=20，
从而∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=45°．
在△ABC中，由正弦定理 ABsin∠ACB=BCsin∠CAB，可得BC=AB⋅sin∠CABsin∠ACB=20× 32 22=10 6海里．
故选：A．
先根据题意画出图象确定∠CAB、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，最后根据正弦定理可得到BC的值．
本题主要考查正弦定理的应用，考查对基础知识的掌握程度，属于中档题．

7.【答案】C 
【解析】解：已知向量OP=( 32,12)，
向量OP与x轴的正切tanα= 33，
即向量OP与x轴正方形的夹角为π6，
将向量OP绕原点O沿逆时针方向旋转π3到OP′的位置，
可得OP′与x轴正方向的夹角为π2，
此时点P′在y轴上，
则点P′的横坐标为0．
故选：C．
由题意，得到向量OP与x轴正方形的夹角为π6，再结合旋转的性质进行求解即可．
本题考查旋转的性质，属于基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：已知△ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，
不妨以点G为原点，以BC为x轴，GA为y轴建立平面直角坐标系，

此时A(0, 32)，B(−12,0)，C(12,0)，H(14, 34)，
不妨设M(0,m)，0≤m≤ 32，
可得MB=(−12−m)，MH=(14, 34−m)，
所以MB⋅MH=−12×14−m( 34−m)=(m− 38)2−1164，
易知函数f(m)=(m− 38)2−1164是开口向上的二次函数，对称轴m= 38，
且当0≤m< 38时，f(m)单调递减；
当 38≤m≤ 32时，f(m)单调递增，
所以当m= 38时，f(m)取得极小值也是最小值，最小值f( 38)=−1164；
当m= 32时，f(m)取得极大值也是最大值，最大值f( 32)=14，
综上，MB⋅MH的取值范围为[−1164,14].
故选：D．
由题意，以点G为原点，以BC为x轴，GA为y轴建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，将MB和MH表示出来，代入MB⋅MH中，结合平面向量数量积的运算以及二次函数的性质进行求解即可．
本题考查平面向量数量积的应用，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．

9.【答案】BC 
【解析】解：y=cos(2x+π6)=cos2(x+π12)，
把y=cosx上的所有的点向左平移π6个单位长度，得到y=cos(x+π6)，再把横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y=cos(2x+π6)，故B正确，A错误．
y=cosx上的所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y=cos2x，再向左平移π12个单位长度，得到y=cos2(x+π12)=cos(2x+π6)，故C正确，D错误．
故选：BC．
根据三角函数的图象变换关系分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，是基础题．

10.【答案】AC 
【解析】解：已知10(0.01+0.03)=0.40.5，
所以第50百分位数位于区间[80,90)内，设其为x，
此时10×0.01+10×0.03+(x−80)×0.04=0.5，
解得x=82.5，
所以该校学生测试成绩的第50百分位数的估计值为82.5，故选项A正确；
易知该校学生测试成绩的众数所在区间为[80,90)，
此时众数的估计值不为80至90之间的任意数，故选项B错误；
易知成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数依次为10，30，40，20，
因为同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，
所以x−65×10+75×30+85×40+95×20100=82，故选项C正确；
易知测试成绩位于[60,70)共有10人，无法确定成绩位于[60,64)内的有4人，故选项D错误．
故选：AC．
由题意，根据频率分布直方图所给信息，结合百分位数、众数和平均数的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查频率分布直方图以及百分位数、平均数和众数的定义，考查了逻辑推理、数据分析和运算能力．

11.【答案】BD 
【解析】解：由图可知，A=2，
又T4=π3−π12，故T=π，
因为T=2πω，所以ω=2，
此时f(x)=2sin(2x+φ)，
又f(π12)=2sin(2×π12+φ)=2，
即sin(π6+φ)=1，即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π3+2kπ,k∈Z，
又|φ|0，∴tanBtanC>1，
且tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC−1⋅tanBtanC，
令tanBtanC−1=m，则m>0，tanBtanC=1+m，
则tanA+tanB+tanC=tanB+tanCtanBtanC−1⋅tanBtanC=1+mm⋅2tanBtanC=1+mm×2(1+m)=2(1+m)2m=2+4m+2m2m=2m+2m+4≥4+2 2m⋅2m=4+4=8，
当且仅当2m=2m，即m=1时取等号，此时tanBtanC=1+m=1+1=2，
即tanA+tanB+tanc的最小值是8．
故答案为：8．
利用两角和差的正切公式进行转化，利用换元法进行转化，然后利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查三角最值的求解，利用两角和差的正切公式进行转化，利用基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

17.【答案】解：(1)已知A(1,1)，B(2,3)，C(m,5)，则AB=(1,2)，BC=(m−2,2)，
当AB⊥BC时，即m−2+4=0，解得m=−2．
即m=−2时，AB⊥BC；
(2)由于m=43，故A(1,1)，B(2,3)，C(43,5)，
所以AB=(1,2)，BC=(−23,2)；
故cosθ=AB⋅BC|AB||BC|= 22，
由于θ∈[0,π]，故θ=π4． 
【解析】(1)首先求出各个向量的坐标，进一步利用向量垂直的充要条件求出m的值；
(2)首先求出AB与BC的坐标，进一步利用向量的夹角公式求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，向量的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

18.【答案】解：(1)易知第一组的频率为5×0.01=0.05，
若第一组有5人，
则x=50.05=100；
(2)易知第四组和第五组的频率分别为5×0.04=0.2，5×0.02=0.1，
所以第四组和第五组人数之比为2：1，
若分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，
则第四组抽取4人，第五组抽取2人，
记第四组的4人分别为a，b，c，d，第五组的2人分别为m，n，
则共有ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn这15种情况，
而这2人幸运答题者恰有1人来自第五组只有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn这8种情况，
所以这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率P=815． 
【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图所给信息得到第一组的频率，利用第一组有5人，列出等式即可求出x的值；
(2)易知第四组和第五组人数之比为2：1，利用分层抽样的方法可知第四组抽取4人，第五组抽取2人，得到总样本点，再求出2人幸运答题者恰有1人来自第五组的样本点，进而即可求出答案．
本题考查频率分布直方图和古典概型，考查了运算能力和数据分析．

19.【答案】解：(1)∵(2+i)z=3−i，
∴z=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=6−5i−15=1−i，
∴|z|= 12+(−1)2= 2；
(2)由(1)得：z=1−i，z−=1+i，
若z(z+a)=z−−b(a,b∈R)，
则(1−i)(1−i+a)=1+i−b，
故1−i+a−i−1−ai=1+i−b，
故a−(a+2)i=1−b+i，
故a=1−ba+2=−1，解得：a=−3b=−4． 
【解析】(1)根据复数的运算求出z，从而求出|z|即可；
(2)代入z，z−，根据对应关系得到关于a，b的方程组，解出即可．
本题考查了复数的运算，考查共轭复数，复数求模，是基础题．

20.【答案】解：(1)记A₁=“甲通过笔试考核”，A2=“甲通过面试考核”，B₁=“乙通过笔试考核”，B2=“乙通过面试考核”，
所以P(A1)=P(A2)=12，P(B1)=P(B2)=23，
且事件A1、A2、B1、B2相互独立，
所以在笔试考核中，甲、乙两名应聘者恰有1名通过的概率：
P=P(A1B1−+A1−B1)=P(A1B1−)+P(A1−B1)=12×(1−23)+(1−12)×23=12；
(2 甲应聘者被录用的概率P1=P(A1A2)=12×12=14，
乙应聘者被录用的概率P2=P(B1B2)=23×23=49，
则甲、乙应聘者均被录用的概率为P3=P1P2=14×49=19，
所以甲、乙两名应聘者至多有1名被录用的概率为1−P3=1−19=89． 
【解析】(1)根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
(2)首先求出甲、乙被录用的概率，在根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．

21.【答案】解：(1)因为bcosC+ccosB= 2acosA，
所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB= 2sinAcosA，
所以sin(B+C)=sinA= 2sinAcosA，
又A∈(0,π)，sinA≠0，
所以cosA= 22，
所以A=π4；
(2)若选条件①：在△ABC中，cosB=12，B∈(0,π)，
所以B=π3，
因为A+B+C=π，
所以sinC=sin(π4+π3)=sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3= 2+ 64，
设BC边上高线的长为h，
则h=bsinC=2× 2+ 64= 2+ 62；
若选条件②：因为S△ABC= 3+1=12bcsinA=csinπ4= 22c，
所以c= 2+ 6，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=4+( 2+ 6)2−2×2×( 2+ 6)× 22=8，
所以a=2 2．
设BC边上高线的长为h，
则h=2S△ABCa=2( 3+1)2 2= 2+ 62；
若选条件③：因为sinB= 32，A=π4，
所以B∈(0,3π4)，
所以B=π3或2π3，
则此时三角形ABC不唯一，不符合条件． 
【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得cosA的值，进而可求A的值．
(2)若选条件①：由题意可求B=π3，进而可求sinC的值，设BC边上高线的长为h，即可求解h=bsinC；
若选条件②：利用三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求a的值，设BC边上高线的长为h，利用三角形的面积公式即可求解；
若选条件③：由题意可求B=π3或2π3，可得此时三角形ABC不唯一，不符合条件．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：因为f(x)= 32sin(ωx+π6)+12−cos2(ωx2+π12)
= 32sin(ωx+π6)−12[2cos2(ωx2+π12)−1]
= 32sin(ωx+π6)−12cos(ωx+π6)
=sin(ωx+π6−π6)
=sinωx，ω>0，
(1)因为f(x)的相邻两对称轴间的距离为π，
所以T2=π，T=2π，
即2πω=2π，
解得ω=1；
(2)证明：由(1)得：f(x)=sinx，则f(3x)=sin3x，
因为sin3x=sin(x+2x)=sinxcos2x+cosxsin2x=sinx(1−2sin2x)+2sinxcos2x=sinx−2sin3x+2sinx(1−sin2x)=3sinx−4sin3x，
所以f(3x)=3f(x)−4f3(x)；
(3)由(1)得：g(x)=sin(4x−π3)，
当x∈[π6,4π3]时，4x−π3∈[π3,8π3]，
g(x)=m，m∈(0, 32)的根等价于g(x)与y=m交点的横坐标，
作出g(x)图象如下图所示，

由图象可知：方程g(x)=m，m∈(0, 32)在x∈[π6,4π3]上的根从小到大依次为x1，x2，
由对称性得：x1+x2=11π12，
所以t=x1+x2=11π12． 
【解析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简f(x)，由f(x)最小正周期可求得ω的值；
(2)利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简证明即可；
(3)将问题转化为g(x)与y=m交点的横坐标的求解，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性可求得结果．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质及数形结合思想，求解方程根之和的关键是将问题转化为两函数交点横坐标之和的求解问题，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性来进行求解，属于中档题．