七年级上学期月考数学试题

这是一份七年级上学期月考数学试题，共25页。
第一学期1月月考
七 年 级 数 学
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 下列运算中结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数据是
A. 864×102 B. 86.4×103
C. 8.64×104 D. 0.864×105
3. 下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若关于x的方程的解是，则a的值等于　　
A. 2 B. C. 6 D.
5. 下列图形都是由同样大小小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个 空 心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心 小圆圈，第③个图形中一共有13个空 心 小圆圈，…， 按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )

A 78 B. 76 C. 63 D. 61
6. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m﹣1；②；③；④40m+10=43m+1，其中正确的是（　　）
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
7. 若关于x的方程mx＋2＝2(m－x)的解满足|x-|－1＝0，则m的值是( 　)
A. 10或 B. 10或－ C. －10或 D. －10或－
8. 下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，.....按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为（ ）

A 116 B. 144 C. 145 D. 150
9. 已知非负数a,b,c满足条件a+b=7，c-a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m-n的值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 按下面的程序计算：当输入 时，输出结果是 ；当输入 时，输出结果是 ；如果输入 的值是正整数，输出结果是 ，那么满足条件的 的值最多有（　　）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个因数的差的绝对值最小的一种分解可称为正整数a的最佳分解，并记作 ．如：，则 ．则在以下结论：
①；②；
③若a是一个完全平方数，则；
④若a是一个完全立方数，即（x是正整数），
则．则正确的结论有________（填序号）
12. 计算： ___________．
13. 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则﹣2a+3cd﹣2b＝_____．
14. 已知代数式 值是 ，则代数式 的值是___________．
15. 二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图中C型黑白一样）按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的A型大黑白相间正方形，中间右下有一个的B型黑白相间正方形（(A，B型均由C型黑白两色小正方形组成)，除这4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，则该格式的二维码中除去A、B型后，有__块C型白色小正方形，整个二维码中共有__块C型白色小正方形

16. 如图所示，在日历上，用一个“”的矩形框住任意 个日期，并按从小到大的顺序用字母 来表示它们，请观察它们的规律并用一个含字母 的等式来表示这 个字母之间的等量关系：___________
日
一
二
三
四
五
六






1
2
3
4
5
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29
30







17. 某蔬菜经营户用元钱从蔬菜批发市场购进西红柿和豆角共千克到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/千克）


零售价（单位：元/千克）


则他当天卖完这些西红柿和豆角能赚___________元．
三、解答题：本大题共8小题，第18、19、20小题6分，第21、22、23小题8分，第24、25小题10分．
18. 计算．
19. 计算：
（1）．
（2）．
20. 已知多项式，当时，该式的值为．
（1）求的值；
（2）若当时，该式的值为，试求的值；
（3）若当时，该式的值为，试求当时该式的值．
21. 有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若请推算□内的符号；
（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
22. 我市教育局倡导中小学开展艺体普及活动，某校学生会为了了解全校同学对各项目的喜爱情况，随机调查了 名同学（每位同学仅选一项最喜爱的项目），根据调查结果制作了频数分布表：
最喜爱的项目
频数（人数）
所占百分比
篮球


排球
24

乒乓球
48

健美操


武术操
22

跑步
20

合计
200


（1）请补全频数分布表；
（2）在这次抽样调查中，喜爱哪个体育项目的同学最多？喜爱哪个体育项目的同学最少？
23. 某超市先后以每千克12元和每千克14元的价格两次共购进大葱800千克，且第二次付款是第一次付款的1.5倍．
（1）求两次各购进大葱多少千克?
（2）该超市以每千克18元的标价销售这批大葱，售出500千克后，受市场影响，把剩下的大葱标价每千克22元，并打折全部售出.已知销售这批大葱共获得利润4440元，求超市对剩下的大葱是打几折销售的?（总利润=销售总额-总成本）
24. 【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律：
例如，若数轴上A点、B点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点M表示的数为．
【问题情境】
在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为25，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动，已知运动到3秒钟时，P、Q两点相遇，且动点P、Q运动的速度之比是3：2（速度单位：单位长度/秒）．

【综合运用】
（1）点P的运动速度为 单位长度/秒，点Q的运动速度为 单位长度/秒；
（2）当4PQ = AB时，求运动时间；
（3）若点P、Q在相遇后继续以原来速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现：随着动点P、Q的运动，线段PQ的中点M也随着运动．问点M能否与点重合？若能，直接写出从P、Q相遇起经过的运动时间；若不能，请说明理由．
25. 如图 ，点 是正方形 的对角线 上一动点，连接 ，过 作 交 于点 ．

（1）求证：；小明给出的思路为：过点 作 的平行线，分别交 于 ，请完善小明的证明过程；
（2）若正方形 的边长为 ，当 时，求 的长度；
（3）探索，如图 ，在平面直角坐标系中，点 坐标 ，点 坐标 ，在平面直角坐标系中找一点 ，使得 为等腰直角三角形，且 ，直接写出点 的坐标．






第一学期1月月考
七 年 级 数 学
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 下列运算中结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】①所含字母相同，并且相同字母的指数相同，像这样的项是同类项；②合并同类项，系数相加字母不变；③、④合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；据此作答即可．
【详解】解：A、算式中所含字母不同，所以不能合并，故A错误；
B、，合并同类项，系数相加字母不变，故B错误；
C、，合并同类项，系数相加减，故C错误；
D、，合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，正确的计算是解题的关键．“同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并”这是本题特别应该注意的地方．
2. 一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数据是
A. 864×102 B. 86.4×103
C. 8.64×104 D. 0.864×105
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：86400=8.64×104．
故选C．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：A．不是正方体的平面展开图；
B．是正方体的平面展开图；
C．不是正方体的平面展开图；
D．不是正方体的平面展开图．
故选B．
考点：几何体的展开图．
4. 若关于x的方程的解是，则a的值等于　　
A. 2 B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】把代入方程得：，解得：，故选A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个 空 心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心 小圆圈，第③个图形中一共有13个空 心 小圆圈，…， 按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )

A. 78 B. 76 C. 63 D. 61
【答案】D
【解析】
【分析】由已知图形中空心小圆圈个数，知第n个图形中空心小圆圈个数为4n-（n+2）+n（n-1），据此可得答案．
【详解】解：∵第①个图形中空心小圆圈个数：4×1-3+1×0=1个；
第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2-4+2×1=6个；
第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3-5+3×2=13个；
…
∴第n个图形中空心小圆圈个数:4n-（n+2）+n（n-1）个;
∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为：4×7-9+7×6=61个；
故选D．
【点睛】本题考查了规律型-图形变化类：先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
6. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m﹣1；②；③；④40m+10=43m+1，其中正确的是（　　）
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
【详解】解：根据总人数列方程，应是40m+10=43m+1，①错误，④正确；
根据客车数列方程，应该为，②错误，③正确；
所以正确的是③④．
故选：D．
【点睛】考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
7. 若关于x的方程mx＋2＝2(m－x)的解满足|x-|－1＝0，则m的值是( 　)
A. 10或 B. 10或－ C. －10或 D. －10或－
【答案】A
【解析】
【详解】解方程|x-|－1＝0，|x-|＝1，x-=±1，x=或-，将x=代入方程mx＋2＝2(m－x)中，得到：m＋2＝2(m－)，m＋2＝2m－3，m＝5，m=10；将x=-代入方程mx＋2＝2(m－x)中，得到：-m＋2＝2(m+)，-m＋2＝2m+1，m＝1，m=．故选A．
点睛：解带有绝对值符号的方程先将方程化为|ax+b|=c的形式，然后去绝对值变为ax+b =±c的形式解出x即可．
8. 下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，.....按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为（ ）

A. 116 B. 144 C. 145 D. 150
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵4=1×2+2，11=2×3+2+3
21=3×4+2+3+4
第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．
故选B．
考点：规律型：图形变化类．
9. 已知非负数a,b,c满足条件a+b=7，c-a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m-n的值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c-a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c-a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
【详解】解：∵a，b，c为非负数；
∴S=a+b+c≥0；
又∵c-a=5；
∴c=a+5；
∴c≥5；
∵a+b=7；
∴S=a+b+c=7+c；
又∵c≥5；
∴c=5时S最小，即S最小=12，即n=12；
∵a+b=7；
∴a≤7；
∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a；
∴a=7时S最大，即S最大=19，即m=19；
∴m-n=19-12=7．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出S的最大值及最小值，难度较大．
10. 按下面的程序计算：当输入 时，输出结果是 ；当输入 时，输出结果是 ；如果输入 的值是正整数，输出结果是 ，那么满足条件的 的值最多有（　　）

A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】D
【解析】
分析】利用逆向思维来做，分析第一次计算直接输出284，可得方程，解方程即可求得结果，再求得第二次计算输出284，以此类推即可求得所有答案．
【详解】解：第一次计算数就直接输出284：，
解得：；
第二次计算输出284：，
解得：；
第三次计算输出284：，
解得：；
第四次计算输出284：，
解得：；
第五计算输出，
解得：（不合题意舍去）．
故满足条件的x的值最多有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用．解答本题时注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个因数的差的绝对值最小的一种分解可称为正整数a的最佳分解，并记作 ．如：，则 ．则在以下结论：
①；②；
③若a是一个完全平方数，则；
④若a是一个完全立方数，即（x是正整数），
则．则正确的结论有________（填序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】根据正整数a的最佳分解的定义，对选项逐个判断即可求解．
【详解】解：①，
∴①正确；
②，
∴②错误；
③，，
∴③正确；
④当时，，
∵， ，
∴④错误．
故答案为①③．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是逐条分析四条结论，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目是，找出各数的最佳分解是关键．
12. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的减法．熟练掌握减去一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
13. 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则﹣2a+3cd﹣2b＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，以及m的值，代入原式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝3或﹣3，
则原式 ＝ ﹣0+3＝3 .
故答案为3 .
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14. 已知代数式 的值是 ，则代数式 的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】将变形为，再把 的值代入计算即可．
【详解】解：∵ 的值是 ，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了求代数式的值，解题的关键是利用整体代入的思想，即可解决问题．
15. 二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图中C型黑白一样）按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的A型大黑白相间正方形，中间右下有一个的B型黑白相间正方形（(A，B型均由C型黑白两色小正方形组成)，除这4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，则该格式的二维码中除去A、B型后，有__块C型白色小正方形，整个二维码中共有__块C型白色小正方形

【答案】 ①. 100 ②. 156
【解析】
【分析】（1）根据除去4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，可得等式，求解即可；
（2）分别求出A,B中的白色C型小正方形的个数，再加上（1）中的值得到结果．
【详解】（1）二维码中除去A、B型后还剩个C型小正方形，
设剩余的白色C型小正方形为x个，
则，
解得，
故答案为：100；
（2）A型小正方形中有白色C型小正方形16个，B型小正方形中有白色C型小正方形8个，则白色C型小正方形共有个，
故答案为：156．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键．
16. 如图所示，在日历上，用一个“”的矩形框住任意 个日期，并按从小到大的顺序用字母 来表示它们，请观察它们的规律并用一个含字母 的等式来表示这 个字母之间的等量关系：___________
日
一
二
三
四
五
六






1
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21
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25
26
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30







【答案】
【解析】
【分析】根据日历上一个数字的正下方的数字比这个数字大7，即可得出结论．
【详解】解：观察日历可知，一个数字的正下方的数字比这个数字大7，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是得到日历上一个数字的正下方的数字比这个数字大7．
17. 某蔬菜经营户用元钱从蔬菜批发市场购进西红柿和豆角共千克到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/千克）


零售价（单位：元/千克）


则他当天卖完这些西红柿和豆角能赚___________元．
【答案】
【解析】
【分析】设该蔬菜经营户购进西红柿，则购进豆角，根据购进两种蔬菜一共花了元列出方程求出该蔬菜经营户购进西红柿和购进豆角的重量，再根据利润（零售价批发价）重量进行求解即可．
【详解】解：设该蔬菜经营户购进西红柿，则购进豆角，
由题意得，，
解得，
∴，
∴该蔬菜经营户购进西红柿，则购进豆角，
∴他当天卖完这些西红柿和豆角能赚元，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，第18、19、20小题6分，第21、22、23小题8分，第24、25小题10分．
18. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数混合运算的顺序计算即可．
【详解】解：




【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．
19. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）28
【解析】
【分析】（1）根据有理数加减混合运算的顺序计算即可；
（2）先计算算术平方根，括号里，乘方，再算加减即可．
【小问1详解】




【小问2详解】




【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 已知多项式，当时，该式的值为．
（1）求的值；
（2）若当时，该式的值为，试求的值；
（3）若当时，该式的值为，试求当时该式的值．
【答案】（1）c=-1；（2）a+b+c=-4；（3）8．
【解析】
【分析】（1）把x=0代入代数式求出c的值即可；
（2）把x=1代入代数式即可求出a+b+c的值；
（3）把x=3，c=-1代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）把x=0代入代数式，得到c=-1；
（2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=-1，
∴a+b+c=-4；
（3）把x=3，c=-1代入代数式，得到35a+33b+9+c=-10，即35a+33b=-10+1-9=-18．
当x=-3时，原式=-35a-33b-9-1=-（35a+33b）-9-1=18-9-1=8．
【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若请推算□内的符号；
（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据有理数的加减法法则解答即可；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【详解】（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；
（2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
22. 我市教育局倡导中小学开展艺体普及活动，某校学生会为了了解全校同学对各项目的喜爱情况，随机调查了 名同学（每位同学仅选一项最喜爱的项目），根据调查结果制作了频数分布表：
最喜爱的项目
频数（人数）
所占百分比
篮球


排球
24

乒乓球
48

健美操


武术操
22

跑步
20

合计
200


（1）请补全频数分布表；
（2）在这次抽样调查中，喜爱哪个体育项目的同学最多？喜爱哪个体育项目的同学最少？
【答案】（1）
（2）喜爱篮球的最多，喜爱跑步的最少
【解析】
【分析】（1）根据频数=总数×频率可求出喜爱排球的人数；用总人数减去已知各项目的人数可求出喜爱健美操的人数，进而求出其频率；
（2）根据频数分布表即可解答．
【小问1详解】
解：喜爱篮球的人数为：人，
喜爱健美操的人数为：人，
喜爱健美操的人数的频率为：．
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴喜爱篮球的最多，喜爱跑步的最少．
【点睛】本题考查了频数分布表，熟练掌握频数=总数×频率是解答本题的关键．
23. 某超市先后以每千克12元和每千克14元的价格两次共购进大葱800千克，且第二次付款是第一次付款的1.5倍．
（1）求两次各购进大葱多少千克?
（2）该超市以每千克18元的标价销售这批大葱，售出500千克后，受市场影响，把剩下的大葱标价每千克22元，并打折全部售出.已知销售这批大葱共获得利润4440元，求超市对剩下的大葱是打几折销售的?（总利润=销售总额-总成本）
【答案】（1）第一次购进350千克，第二次购进450千克；（2）九折
【解析】
【分析】（1）设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进800-x千克，从而根据“第二次付款是第一次付款的1.5倍”列方程求解即可；
（2）用销售总额减去总成本等于总利润建立方程求解即可．
【详解】（1）设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进800-x千克，

解得：
，
∴第一次购进350千克，第二次购进450千克；
（2）设折扣为y折，根据题意列方程为：

解得：
∴超市对剩下的大葱是打九折销售的．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，仔细审题，找准等量关系是解题关键．
24. 【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律：
例如，若数轴上A点、B点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点M表示的数为．
【问题情境】
在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为25，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动，已知运动到3秒钟时，P、Q两点相遇，且动点P、Q运动的速度之比是3：2（速度单位：单位长度/秒）．

【综合运用】
（1）点P的运动速度为 单位长度/秒，点Q的运动速度为 单位长度/秒；
（2）当4PQ = AB时，求运动时间；
（3）若点P、Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现：随着动点P、Q的运动，线段PQ的中点M也随着运动．问点M能否与点重合？若能，直接写出从P、Q相遇起经过的运动时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）12；8
（2）运动时间秒或秒
（3）能．点M和重合时运动时间为秒或1秒
【解析】
【分析】（1）设P点运动速度为3x单位长度/秒，Q点运动速度为2x单位长度/秒，根据P，Q的运动的路程等于AB两点间的距离可列方程，解方程即可求解；
（2）易求P点表示的数为-35+12t，P点表示的数为25-8t，根据AB两点间的距离可列方程，解方程即可求解；
（3）易求相遇点的位置，再分4种情况列方程，解方程可求解．
【小问1详解】
设P点运动速度为3x单位长度/秒，Q点运动速度为2x单位长度/秒，
由题意得3（3x+2x）=|-35-25|，
解得x=4，
∴3x=12单位长度/秒；2x=8单位长度/秒，
即P点运动速度为12单位长度/秒，Q点运动速度为8单位长度/秒，
故答案为12；8；
【小问2详解】
由（1）得：P点表示的数为-35+12t，Q点表示的数为25-8t，
由题意得4|（-35+12t-（25-8t）|=60，
解得或，
所以运动时间秒或秒；
【小问3详解】
能．
由题意得-35+12t=25-8t，
解得t=3，
相遇点为-35+12×3=1，
∴P点为1±12t，Q点为1±8t．
①P，Q均向左，
M点为＝−1，
解得t=；
②P，Q均向右，
M点为＝−1，
解得t=-（不合题意，舍去）；
③P向左，Q向右，
M点为＝−1，
解得t=1；
④P向右，Q向左，
M点为＝−1，
解得t=-1（不合题意舍去），
综上，点M和-1重合时运动时间为秒或1秒．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间的距离，注意分类讨论．
25. 如图 ，点 是正方形 的对角线 上一动点，连接 ，过 作 交 于点 ．

（1）求证：；小明给出的思路为：过点 作 的平行线，分别交 于 ，请完善小明的证明过程；
（2）若正方形 的边长为 ，当 时，求 的长度；
（3）探索，如图 ，在平面直角坐标系中，点 坐标 ，点 坐标 ，在平面直角坐标系中找一点 ，使得 为等腰直角三角形，且 ，直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，可得，等量代换得，再证明即可；
（2）连接 ，先证明连接 ，由三线合一得，从而，再证明 是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解；
（3）分两种情况画出图形求解即可．
【小问1详解】
四边形 是正方形，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 和 中，

，
．
【小问2详解】
连接 ，如图 所示：

由（）得：，四边形 是矩形，
，
由正方形的对称性得：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【小问3详解】
过点作轴于点E，作于点F，设．
∵点 坐标 ，点 坐标 ，
∴，，，．
由（1）可知，，
∴，
∴，
解得，
∴；
同理可求：．

综上可知，点 的坐标为 或 ．