七年级上学期月考数学试题

这是一份七年级上学期月考数学试题，共19页。
七年级上学期1月月考
数 学 试 题
温馨提示：
本试卷共6页，共25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10题，共30分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】：解：若气温为零上10℃记作＋10℃，
则−3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 已知（k-1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义，得到|k|=1和k-1≠0，解之，代入原方程，解之即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
|k|=1，
即k=1或k=-1，
k-1≠0，
k≠1，
综上可知：k=-1，
把k=-1代入原方程得：
-2x+3=0，
解得：x=，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键．
3. 如果与3互为倒数，那么是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：3的倒数是．故选D．
【点睛】本题考查了倒数．
4. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“新”字一面的相对面上的字是（ ）

A. 代 B. 中 C. 国 D. 梦
【答案】D
【解析】
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：正方体展开图中“时”面与“中”面是对面，
“代”面与“国”面是对面，
“新”面与“梦”面是对面．
故选：D．
【点睛】本题考查生活中立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5. 如图，是一个正方体纸盒展开图，按虚线折成正方体后，若使相对面上的两数互为相反数，则A、B、C表示的数依次是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，确定出相对面，再根据相反数的定义求出A、B、C即可得解．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“A”与“5”是相对面，
“B”与“π”是相对面，
“C”与“”是相对面，
∵相对面上的两数互为相反数，
∴A、B、C表示的数依次是-5，-π，．
故选A
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6. 数轴上表示 的点与表示 的点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上两点间距离即可解答．
【详解】解：由题可得：
数轴上表示的点与表示的点的距离为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．
7. 已知 是正实数，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案.
【详解】解：

当时，有最小值.




故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思.
8. 将一列有理数 ，，，，，，，按如图所示有序排列，各个“峰”中有理数的位置依次标注为 ，，，，．根据图中的排列规律可知，有理数 在“峰 ”中的 处．则有理数 在（ ）

A. “峰 ” 处 B. “峰 ” 处 C. “峰 ” 处 D. “峰 ” 处
【答案】D
【解析】
【分析】观察图形可知：相邻两峰相同位置的数的绝对值的差为5，结合，可得有理数2021在“峰404”中第5个位置上，即可求解．
【详解】解：观察图形可知：相邻两峰相同位置的数的绝对值的差为5，
∵，
∴有理数2021在“峰404”中第5个位置上，
即有理数2021在“峰404”中E的位置上；
故选：D．
【点睛】本题考查了规律探究，观察图形，得出各峰相同位置数之间的关系是解题的关键．
9. 在射线上截取线段，点分别是的中点，则点和点之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分情况讨论，点C在线段AB外，点C在线段AC上，根据中点的性质计算线段长度．
【详解】解：如图，

∵M是AB中点，
∴，
∵N是BC中点，
∴，
∴；
如图，

∵M是AB中点，
∴，
∵N是BC中点，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．
10. 从某校八年级学生中随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为 分， 分， 分， 分， 分．将测试结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，则这些学生得分的平均数是（ ）

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用扇形图以及条形图求出总人数，进而求得每个小组的人数，然后根据平均数的定义求出这些学生分数的平均数．
【详解】解：参加体育测试的人数是：（人），
成绩是2分的人数是（人），
成绩是4分的人数是：（人），
则平均分是：（分）．
故选：C．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
二、填空题（共7题，共28分）
11. 如图，以边长为6cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．

【答案】
【解析】
【分析】连接AC，可得DE，由“HL”求证Rt△ABC≅ Rt△ADC，继而解直角三角形可得BC，根据六边形的面积计算公式求得无盖柱形盒子的底面积，继而即可求解．
【详解】如图，连接AC，
由题意知：∠BAD=120°，
，，
∴，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴Rt△ABC≅ Rt△ADC（HL），
∴，∠BAC=∠DAC=∠BAD=60°，
∴，
由题意知：无盖柱形盒子的底面为以为边长的正六边形，
其面积为：cm2，
∴盖柱形盒子的容积为： cm3，
故答案为：

【点睛】本题考查正多边形，全等三角形的判定及其性质，正六边形的性质及其面积计算公式，解题的关键是作辅助线求各关键边的长，灵活运用所需学知识．
12. 如果 ，，那么 _____．
【答案】 或 或 或
【解析】
【分析】绝对值等于一个正数数有两个，它们互为相反数，由此即可计算．
【详解】解：，，
，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
13. 一只跳蚤在一条直线上从点开始，第次向右跳个单位长度，紧接着第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处与点的距离是_____个单位长度．
【答案】50
【解析】
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可．
【详解】解：根据题意得，当它跳第次落下时，落点处所代表的数为：



，
∴当它跳第次落下时，落点处与点的距离是50个单位长度．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．
14. 如果单项式与是同类项，则的值是____________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a，b的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：根据题意得：a＋1＝2，b＝3，
解得：a＝1，
则|a−b|＋|−a−2b|＝|1−3|＋|−1−6|＝2＋7＝9．
故答案是：9．
【点睛】本题考查了同类项，绝对值的化简，熟记同类项的定义是解答本题的关键．
15. 若与互为相反数，则的值是_____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，再代值计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴；
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求得a、b的值是关键．
16. 如图，中，，，若，，则_____．

【答案】20
【解析】
【分析】由题意可直接利用“”证明，即得出，再结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定和性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．
17. 两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为______cm.
【答案】2或22
【解析】
【分析】根据两点间的距离，分两种情况计算即可.
【详解】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时，
此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2(cm)；
当两条线段一端重合，另一端方向相反时，
此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22(cm)；
故答案为2或22.
【点睛】本题考查线段的中点的定义，能分类讨论是解决此题的关键.
三、解答题（共8题，共62分）
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数加减法运算法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式

；
【点睛】本题考查有理数加减法混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算的法则．
19. 如果 ，， 为有理数，且，，求 的值．
【答案】或
【解析】
【分析】由，或，然后分两种情况，利用绝对值性质化简后，再计算加减即可．
【详解】解：∵，
∴或，
当，时，
原式；
当，时，
原式；
综上，原式的值为或．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法和除法法则的理解以及代数式求值，熟练掌握基本知识是解题的关键．
20. 三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了个，老二带了个，老三带了个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜（西瓜按整个出售，均大于等于个，且均有剩余），过了中午，怕西瓜卖不完，他们降价把所有剩余的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的钱数一样多，每人都卖得元，问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？
【答案】上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元
【解析】
【分析】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．根据题意可得出关于x、y、z、m、n的方程组，结合，， 均为整数，且 ，以及整数的特性讨论求解即可．
【详解】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．（）
则 ，
，
，
，， 均为整数，且 ，
， 都是正整数，可设 ，（ 为正整数），
，．
，
，，，．
，
解得 ；
上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．
【点睛】本题考查了方程组的应用，正确理解题意、结合所设相关未知数为正整数讨论求解是关键．
21. 有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后，显示 的结果．比如依次输入 ，，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值．
（1）若小明依次输入 ，，，则最后输出的结果是多少？
（2）若将 ，，， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？
（3）若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，已知 的最大值为 ，求 的最小值．
【答案】（1）4 （2）最大值是 ，最小值是
（3）6
【解析】
【分析】（1）依据题干给出的定义列式计算即可；
（2）每一次输出的结果均是非负，再结合依据题干给出的定义列式计算即可；
（3）设 为较大数字，①当 ，即 时，根据最大值为10可得，，即 的最小值为 ；②当 时，根据最大值为10可得 ，
即故 的最小值为 ，问题随之得解．
【小问1详解】
根据题意得：；
故输出结果为4；
【小问2详解】
根据题意得：，，，
对于 ，，，，按 ，，， 的次序输入完毕后显示的结果为最小值，
即 ，
按 ，，， 的次序输入完毕后显示的结果为最大值，
即 ，
故全部输入完毕后显示的结果的最大值是 ，最小值是 ；
【小问3详解】
任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ， 的最大值为 ，
设 为较大数字，
①当 ，即 时，，
解得 ，
故 的最小值为 ；
②当 时，，
则 ，
，
故 的最小值为 ．
综上所述， 的最小值为 ．
【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力．
22. 学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下：

纪念徽章设计费
纪念徽章制作费
纪念品费用
甲供应商
300元
3元/个
18元/个
乙供应商
免设计费
4.5元/个
不超过100个时，20元/个；超过100个时，其中100单价仍是20元/个，超出部分打八折
（1）现学校需要定制x份奖品．请你算一算，选择甲供应商和乙供应商，分别需要支付多少费用（用含x的代数式表示，结果需化简）；
（2）如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱．
【答案】（1）甲：；乙：当不超过100件时，；当超过100件时，；（2）甲，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据甲供应商的报价求出应付的总费用；根据乙供应商的报价求出当x不超过100时和当x超过100时应付的总费用即可；
（2）当x=150时，根据甲、乙供应商的报价分别求出各自需要的总费用，然后再比较其大小即可．
【详解】解：（1）由题意得：①如果选择甲供应商，应付总费用为：(18+3)x+300=21x+300;
②如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为（4.5+20）x=24.5x（元）；
当x超过100时应付总费用为4.5x+100×20+（x-100）×20×0.8=（20.5x+400）（元）．
（2）当需要定制150份奖品时，
如果选择甲供应商，应付总费用为300+（3+18）×150=3450（元）；
如果选择乙供应商，应付总费用为20.5×150+400=3475（元）；
∵3450＜3475，
∴如果需要定制150份奖品，选择甲供应商比较省钱．
【点睛】本题考查了列代数式及代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，弄清各个数量之间的关系．
23. 如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在内部．操作：将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为．

（1）当为何值时，直角边恰好平分？此时是否平分？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线也绕点以每秒的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当为何值时，平分？
②能否平分？若能请直接写出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1），平分，理由见解析
（2）①为或；②能平分，的值为14或
【解析】
【分析】（1）根据：角度=速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．
（2）①当平分，根据题意列出方程，平分，列出方程求出t；
②在上面，列出等量关系式求出t，在下面，列出等量关系式求出t．
【小问1详解】
当直角边恰好平分时，
，
，
解得：．
∴，
此时平分．
【小问2详解】
①平分，
依题意有，
解得；
平分，
依题意有，
解得．
故当为或时，平分
②在上面，
依题意有，
解得；
在下面，
依题意有，
解得．
故能平分，的值为14或．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，解题关键是找出等量关系式列方程．
24. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
25. 如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接，交于点，是线段上的点，连接，是的外接圆与的另一个交点，连接，．

（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：；
（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据圆周角定理的推论可得，，进一步即可证得结论；
（2）证明，即可证得结论；
（3）设交于，连接．证明四边形、是平行四边形，可得，然后依次证明，，利用相似三角形的性质求出，结合（2）的结论可得，然后代入数据求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，将沿直线翻折得到，
∴，
，，
，
，
是直角三角形．
【小问2详解】
证明：，
．
，
．
，，
，
．
，
，
．
，
；
【小问3详解】
解：设交于，连接．
与 互相平分，
四边形是平行四边形，
∴，，
，即．
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，

∵，
∴，
，
∵，
，，
∵，
，
，
∴，
．
，
，
∵，
∴ ，
解得（负根已经舍弃）．