贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一下学期期末监测数学试题

这是一份贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一下学期期末监测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一下学期期末监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设为虚数单位，则（    ）
A．1 B． C．－1 D．
2．平面直角坐标系中，已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知事件，互斥，若，.则（    ）
A． B． C． D．
4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）
A．若，∥，则 B．若∥，，则
C．若，，则∥ D．若，，则
5．已知直角三角形三边长分别为3，4，5，以其中一条边所在直线为轴旋转一周后得到一个几何体，则该几何体的最大体积为（    ）
A． B． C． D．
6．从正五边形的5个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是锐角三角形的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．在中，角，，的对边分别为，，.已知，，，则（    ）
A． B． C．3 D．
8．利用向量方法研究函数（，，不同时为0），过程如下：设，，则.所以当与方向相同时，取到最大值，当与方向相反时，取到最小值；根据以上研究，下列关于函数的结论正确的是（    ）
A．最大值为5，取到最大值时
B．最大值为5，取到最大值时
C．最大值为，取到最大值时
D．最大值为，取到最大值时

二、多选题
9．已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）
A．一定是实数 B．一定是实数
C．一定是纯虚数 D．
10．底面为平行四边形的四棱柱称为平行六面体，连接平行六面体不在同一面上两个顶点的线段称为平行六面体的体对角线.以下关于平行六面体的命题，正确的是（    ）

A．平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分
B．平行六面体的8个顶点在同一球面上
C．平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和
D．各棱长均为1的平行六面体中，，则体对角线的长为

三、填空题
11．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则 .
12．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为，若两人同时参加测试，则有且只有一人能通过的概率是 .
13．一个圆台的上、下底面圆周在同一球面上，已知圆台上、下底面的半径分别为3cm和4cm，球的表面积为，则该圆台的高为 cm.

四、双空题
14．某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如下：
性别
样本量
样本平均数
样本方差
男
100
170
22
女
100
160
38
则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为 ，方差为 .（注：由人教版高中数学必修第二册习题9.2拓广探索可知以下结论：已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则）
15．魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：如图，为测量山顶松树的高，在山底所在水平面内，选择、两点，使、、三点在同一直线上，在点测得点和点的仰角分别为60°、45°，在点测得点的仰角为30°，测得基线的长为100米.由以上测量数据可得出：①松树的高 米（精确到0.1）；②和分别是人在点和点观测松树的视角，其大小关系为： （填“>”，“
【分析】由题意可得，则可得，然后求出可求得的值，由图可知的外接圆大于，然后分别在两个三角形中利用正弦定理比较即可
【详解】由题意得，
所以，所以，
所以，
在中，，
，
在中，，
所以，
设的外接圆半径为，的外接半径为，由图可知，
由正弦定理得，
所以，所以，
因为都为锐角，所以，
故答案为：，
16．(1)，
(2)1

【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理即可得到结果；
（2）根据题意，由可得，即可得到结果.
【详解】（1），
；
（2）若，则
所以
所以，所以.
17．(1)
(2)73.33
(3)一等品有3个和二等品有2个

【分析】（1）根据频率之和为1，列出方程，即可得到结果；
（2）根据中位数的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（3）根据分层抽样的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，得.
（2）因为，
所以中位数在第4组，设中位数为，则，
解得.
所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个，二等品有个，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个.
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的性质化简得到，进而得到的值，即可求解.
（2）由正弦定理求得，结合题设条件，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，所以，
由正弦定理可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
因为，.
（2）解：由正弦定理有，可得，则或
若，则，
此时为锐角三角形，不满足条件.
若，此时为钝角三角形.
则，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）依题意，可证，由等腰三角形性质得，
从而平面，由面面垂直的判定定理得证；
（2）连接，由是二面角的平面角，可得平面，从而，求得，再由四面体的体积为，解得，由等面积法得，最后，解决问题.
【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以，
在和中，，，
所以，所以，
又为的中点，所以，
又，平面，，
所以平面.
又平面，所以平面平面
（2）  
如图，连接，因为是二面角的平面角，
所以，，
又，平面，，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，，，
所以，又由（1），平面
所以四面体的体积，
即，
解得.
因为，
即，，
则.
又平面，所以，
所以.
20．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式化简得到，即可求解；
若选择②：根据题意得到，得到四边形的面积为，结合四边形是圆内接四边形对角和为，代入即可求解；
（2）设内切圆半径为，根据，求得，再由海伦公式化简得到，联立方程组，即可求解.
【详解】（1）解：若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式：


设，
所以

上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的.
若选择②：因为，且，，，，
代入可得，
所以，
因为四边形是圆内接四边形，对角和为，
所以，可得.
（2）解：设内切圆半径为，因为，
代入，，，可得，①
又由，
由海伦公式，可得，
化简得，即，
代入①，可得，②
联立方程组，且，解得.