河南省商丘市名校2022-2023学年高一下学期7月期末联考数学试题

这是一份河南省商丘市名校2022-2023学年高一下学期7月期末联考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省商丘市名校2022-2023学年高一下学期7月期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在复平面内，复数（其中i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（    ）
A． B． C． D．
3．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：）如下：
110   120   123   428   174   190   318   235   165   432
则这10种零食的分位数是（    ）
A．235 B．165 C．373 D．200
4．已知在斜二测画法下的直观图是边长为2的正三角形，则此的面积为（    ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则此圆锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
6．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据打分情况，得到专业人士组对选手A打分的平均数为48，方差为14，观众代表组对选手A打分的平均数为56，方差为140，则选手A得分的总方差为（    ）
A．105.60 B．85.24 C．94.63 D．104.96
7．如图，为测量河对岸建筑物AB的高度，选取与建筑物底部点A在同一水平面上的C，D两点，测得，，，，则建筑物的高度为（    ）
  
A． B． C．20 D．10
8．已知是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题
①，，；    
②，，；
③，，；    
④，.
其中正确命题的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题
9．已知，为复数，i是虚数单位，下列说法正确的是（    ）
A．若，则的虚部为
B．若，满足，则的最大值为
C．若，则
D．若，且，则
10．在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（    ）
A．事件A与事件B是相互独立事件 B．事件A与事件C是互斥事件
C． D．
11．如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上的动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（    ）
  
A．异面直线与所成的角为定值
B．的最小值为
C．三棱锥的体积随P点的变化而变化
D．过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为

三、单选题
12．在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（    ）
A．7 B．10 C．13 D．16

四、填空题
13．已知点是的重心，可以用和表示为 .
14．下列命题中：
①某校共有男生2700人，女生1800人，用比例分配的分层随机抽样抽取容量为90的样本进行健康测试，则样本中男生有54人；
②随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率；
③数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的2倍；
④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥而不对立；
其中正确命题的编号为 .
15．在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为 .
16．在等腰中，底边，点D在直线上，满足，则当取最大值时，的面积为 .

五、解答题
17．某射击运动员在一次射击训练中共射击10次，这10次命中的环数分别为8，7，9，9，10，6，8，8，7，8.
(1)求这名运动员10次射击成绩的方差；
(2)若以这10次命中环数的频率来估计这名运动员命中环数的概率，求该运动员射击一次时：
（i）命中9环或者10环的概率；
（ii）至少命中7环的概率.
18．已知平面向量，.
(1)当实数m为何值时，与垂直；
(2)若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围.
19．学校从参加高一年级月考的学生中抽出100名学生，统计了他们的生物成绩（成绩均为整数且满分为100分）作为样本，已知成绩均在内，分组为，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
  
(1)求a的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生生物成绩的80%分位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，结果均四舍五入为整数）；
(2)若这100名学生中成绩在的男生有2人，则从样本中成绩在的学生答卷中随机选3份进行分析，求至少有1份是男生答卷的概率.
20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点.
  
(1)证明：//平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知为锐角三角形，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围.
22．如图，在梯形中，，，，，，点满足，把沿折起到，使得，其中分别为，，的中点.
  
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.

参考答案：
1．B
【分析】由复数除法运算化简，然后根据共轭复数概念和复数几何意义可得.
【详解】因为，
所以的共轭复数为，对应点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
2．A
【分析】分类，利用相互独立事件概率乘法公式可得.
【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况，一是第4局胜，此时甲胜的概率为；二是第4局负，第5局胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.
故选：A.
3．C
【分析】把给定数据按由小到大排列，再根据第百分位数的定义求解作答.
【详解】把这10个数据按从小到大排列为：110，120，123，165，174，190，235，318，428，432，
由，得第分位数为第8个和第9个数据的平均数，即.
故选：C
4．A
【分析】由已知中正△的边长为2，可得正△的面积，进而根据的直观图△的面积，可得答案
【详解】的直观图△的边长为2，
故正△的面积，
，
的面积
故选：A．
5．C
【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积．
【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，
底面周长，所以，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
6．D
【分析】根据总体平均数和方差的计算公式即可求解.
【详解】选手A得分的平均数为，
选手A得分的总方差为
，
故选:D.
7．D
【分析】设，根据直角三角形边角关系可得，，根据余弦定理列方程可得的值，从而可得建筑物的高度.
【详解】设，因为，，则，，
在中，由余弦定理知，
即，整理得，
解得或（舍），所以建筑物的高度为.
故选：D.
8．B
【分析】利用空间中直线、平面间的位置关系逐项判断即可.
【详解】①若，，，则直线没有交点，异面或，故①不正确；
②若，，，当均与，的交线平行时，可得，故②不正确；
③若，，则，又，则，故③正确；
④若，，则或，故④不正确.
其中正确命题的个数为.
故选：B.
9．BD
【分析】对A根据复数虚部的定义即可判断，对B利用复数模的几何意义即可判断，对C，举反例即可，对D，根据复数代数形式的乘法运算以及共轭复数的概念即可判断.
【详解】对于A，的虚部为2，故A错误；
对于B，设，，由，得，
其表示为圆心为，半径为的圆，，其表示为圆上的点到原点的距离，
设圆心到原点的距离为，则，则圆上的点到原点的距离的最大值为，则的最大值为，故B正确；
对于C，当，时，，此时，故C错误；
对于D，，则，，故D正确.
故选：BD.
10．AD
【分析】由列举法求解所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解概率，结合选项即可逐一求解.
【详解】连续抛掷质地均匀的骰子两次，
有,,
共36种等可能的不同结果，
所以，，，，
则，故事件A，B相互独立，A正确；
事件A与事件C可能同时发生，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】根据线面垂直即可求解A，根据平面中两点间距离最小即可求解B,根据等体积法即可求解C,根据线面平行的性质可得截面多边形,即可求解D.
【详解】由于平面平面,
平面,所以平面，平面，所以，则异面直线与所成的角为90°，故A正确；
把平面沿直线翻折到平面，使得与共面且不重合，点翻折到点M的位置，过A作交于点R，
由于与为全等的直角三角形，且,
所以，故,
故,则的最小值为线段的长，故B正确；
  
因为,由于为定值,且到底面的距离为定值，故体积为定值，故C错误.
分别取的中点为，连接构成六边形,则平面平面,故平面即为六边形所在的平面，由于六边形为正六边形，且边长为,故其周长为，故D正确.
故选：ABD.
  
12．BC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由，可确定点P在以D为圆心，1为半径的圆上，设，由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简为正弦型三角函数，结合函数性质可得其取值范围，从而得答案.
【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
  
则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设，
由题意知，，则，
所以，
则
，其中，
所以.
故选：BC.
13．
【分析】延长交于点，则为的中点，且，将用、表示，由此可得出关于、的表达式.
【详解】延长交于点，则为的中点，且，

因为，
因此，.
故答案为：.
14．①②④
【分析】根据总体与样本之间的关系，结合分层随机抽样得概念计算即可判断①；根据频率与概率得关系可判断②；根据方差的计算公式求解即可判断③；由基本事件与互斥事件与对立事件的概念，即可判断④.
【详解】总体容量为4500，样本容量为90，所以抽样比为，所以样本中男生的人数为，①正确；
对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随机试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，②正确；
数据4，8，10，14的平均数，方差，
数据2，4，5，7的平均数，方差为，
则，故数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的4倍，③错误；
基本事件有“取出的两球均为红球”，“取出的两球均为白球”，“取出的球为一红球和一白球”等，因此事件A与B互斥而不对立，④正确；
故正确命题的编号为①②④.
故答案为：①②④.
15．
【分析】根据给定条件，证明两两垂直，将此三棱锥外接球问题转化为长方体的外接球求解作答.
【详解】在正三棱锥中，取的中点E，连接，，如图，
  
由，，得，，又，平面，，
则平面，而平面，于是，又，,平面，
因此平面，而平面，从而，，且，
由，得，，由于两两垂直，
则以为棱的长方体与三棱锥有相同的外接球，
于是三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
16．1
【分析】设，则，结合正弦定理与同角三角函数关系可得，利用三角恒等变换可得的最大值，从而可求得此时的面积.
【详解】如图，设，则，

在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
所以
整理可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时的面积为.
故答案为：.
17．(1)1.2
(2)（i）；（ii）

【分析】（1）由方差的计算公式即可求解，
（2）根据互斥事件的概率加法公式即可求解，或者利用对立事件的概率求解.
【详解】（1）平均数，
方差
（2）设该运动员射击一次时，“命中7环”，“命中8环”，“命中9环”，“命中10环”，用频率估计概率，则，，，
（i）若“命中9环或者10环”，则；
（ii）解法1：若“至少命中7环”，则

解法2：若“至少命中7环”，“命中不超过6环”，则，
所以
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据坐标运算可得模长以及数量积，即可根据数量积的运算律求解.
（2）根据数量积大于0且不共线，即可求解.
【详解】（1）因为，，所以，，.
因为与垂直，
所以,
即，解得,
故实数m的值为.
（2）,
,
因为与所成的角为锐角，
所以，且与不共线，
即，解得
当与共线时，，解得，
故，
综上可知，实数k的取值范围为
19．(1)，80%分位数约为86分，平均数约为70分
(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解a的值，再根据百分位数与平均数的估计进行运算即可得答案；
（2）根据古典概型运算公式求解概率即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
解得
因为，
，
（分）
所以这100名学生生物成绩的80%分位数约为86分，
（分）
所以这100名学生生物成绩的平均数约为70分
（2）因为，所以这100名学生中成绩在的有6人，
因为男生有2人，所以女生有4人，
记这2名男生为a，b，这4名女生为c，d，e，f，
从这6人的答卷中随机抽取3份，样本空间
，共20个样本点，事件A=“至少有1份为男生答卷”，
则，共16个样本点，
则.
20．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答.
（2）取的中点F，利用面面垂直的性质推理，结合余弦定理、直线与其平行平面间距离求解作答.
【详解】（1）在四棱锥中，菱形的对角线，交于点N，则N是的中点，
而M为棱的中点，于是，又平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点F，连接，，，如图，
  
菱形中，由，得是正三角形，有，
由，得，又平面平面，平面平面，
而平面，平面，因此平面，平面，
设，则，，，
在中，由余弦定理得，
则，因为，平面，平面，
于是平面，则点C到平面的距离，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
21．(1)
(2)

【分析】根据二倍角公式可得，进而由余弦定理求解，由三角形面积公式即可求解，
（2）由正弦定理边角互化结合三角恒等变换可得，即可由角的范围求解.
【详解】（1）因为，
所以
即
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以
由余弦定理得，即，
整理得，解得（舍）或，
所以的面积为.
（2）由正弦定理知，，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，且，解得，
所以，
则，故的取值范围为
22．(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）根据题意挣得多，，由线面垂直的判定定，证得平面，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；
（2）由M，N分别为，的中点，所以，得到，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为点E满足，，，，
所以，，且，
因为，，所以，所以，
因为，，，所以，故，
又因为，平面，且，所以平面，
因为平面，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为M，N分别为，的中点，所以，
MN在面PMN内，BE不在面PMN内，则BE//面PMN，
所以，
因为，，平面，所以平面，
所以点N到平面的距离为，
又因为，所以.