吉林省长春市长春外国语学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份吉林省长春市长春外国语学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省长春市长春外国语学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（    ）
A． B． C． D．
2．若，，，则事件与的关系是（    ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
3．在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）．
①都垂直于平面r，那么
②都平行于平面r，那么
③都垂直于直线l，那么
④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么
A．0 B．1 C．2 D．3
4．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A． B． C． D．
5．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ）

A． B． C． D．
6．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（    ）
A． B． C． D．
7．已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（    ）
A．17 B．13 C．12 D．15
8．如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）
  
A．正方体外接球的半径为
B．点在线段上运动，则四面体的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为
D． 是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是

二、多选题
9．为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：.则下列针对该组数据说法正确的是（    ）
A．平均数为89，方差为3.06
B．中位数为90，众数为88和92
C．每个数都加5后平均数和方差均无变化
D．分位数为93，极差为19
10．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（    ）

A．
B．向量在向量方向上的投影向量为
C．
D．若，则
11．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ）
A．
B．若，则
C．若，则是直角三角形
D．若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
12．在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ）
A．直线与直线AC夹角为60°
B．平面截正方体所得截面的面积为18
C．若，则动点F的轨迹长度为π
D．若平面，则动点F的轨迹长度为

三、填空题
13．在复平面内，复数对应点的坐标为，则 .
14．中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生之间的整数随机数，假定表示当天下雨，表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：

据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为 .

四、双空题
15．在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为 ，方差为 .

五、填空题
16．如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，.现有以下命题：
  
①；
②当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，二面角会逐步增大；
③当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，三棱锥的体积的最大值为.
其中正确的命题序号为 .

六、解答题
17．已知平面向量，满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)求．
18．如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为与的交点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：平面；
(3)证明：平面.
19．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
  
(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率；
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，，求b和的值．
21．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
22．如图，已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，E, F分别是AB,CD的中点.
  
(1)求证：平面平面；
(2)当四棱锥是正四棱锥时，求此时二面角的余弦值；
(3)当四棱锥的体积有最大值时，求直线与平面PCD所成角的正弦值.

参考答案：
1．A
【分析】依题意求出圆锥的底面半径和高即可.
【详解】圆锥母线为，底面半径为，则，
所以圆锥的体积．
故选：A．
  
2．C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
3．D
【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.
【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；
由平面平行的传递性可知②正确；
由线面垂直的性质可知③正确；
过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，
因为，，所以，所以
因为，，所以
同理，
又l、m是两条异面直线，所以相交，且，
所以，故④正确.
故选：D

4．A
【解析】先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.
【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数是

故选：A
【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.
5．D
【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.
【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以.
故选：D.
6．D
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
7．B
【分析】由题意，画图建立坐标系，根据向量单位化运算，可表示出每一个点的坐标，根据数量积的坐标公式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，
，，
，，

，当且仅当时，等号成立，
故选：B.

8．D
【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A；求得四面体的体积是否变化判断选项B；求得与所有12条棱都相切的球的体积判断选项C；求得长的最小值判断选项D.
【详解】选项A：连接，则为正方体外接球的直径，
又，则正方体外接球的直径为，故A错误；
选项B：为边长是的等边三角形，面积为定值，
点在线段上运动，，与平面相交，
所以与平面相交，所以四面体的高是变化的，
所以四面体的体积是变化的，故B错误；
选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为，
该球体积为，
则与所有12条棱都相切的球的体积为，故C错误；
选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点，
是球面上任意一点，则长的最小值是,故D正确.

故选:D.
9．BD
【分析】根据平均数、方差、中位数、众数和极差的概念，逐项进行计算验证即可求解.
【详解】对于A，平均数为，
方差
，故选项A错误；
对于B，中位数为，众数为和，故选项B正确；
对于C，根据平均数和方差的性质可得，每个数都加5后平均数对应的加上5，方差不发生改变，故选项C错误；
对于D，因为，所以的第分位数为93，极差为，故选项D正确，
故选：BD.
10．ABD
【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项
【详解】由图可得，
对于A，，故A正确；
对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；
对于C，，
所以，故C不正确；
对于D，因为，，所以，故，故D正确.
故选：ABD
11．ABC
【分析】利用诱导公式化简判断A；利用正弦定理结合三角形边角关系判断B；利用余弦定理计算判断C，利用面积定理、正余弦定理计算判断D作答.
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，在中，由正弦定理得：，B正确；
对于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正确；
对于D，依题意，，解得，
由余弦定理得：，
由正弦定理得外接圆半径，D不正确.
故选：ABC
12．ABD
【分析】对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可；
对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面并求其面积即可；
对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，再根据弧长公式求解即可；
对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可.
【详解】对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；
  
对B，因为面面，平面面，
根据面面平行的性质可得平面截的交线，
故平面截的交点为的中点，
故，故截面为等腰梯形.
在等腰梯形中，高，
故截面的面积为，故B正确；
  
对C，若，则，
故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，其长度为，故C错误；
  
对D，取中点，连接如图，由B知截面为等腰梯形，
由四边形为平行四边形得.
又面面，所以面，
由四边形为平行四边形得，面面，
所以面.
由平面,得平面平面，
又平面，所以平面.
故的轨迹为线段，其长度为，故D正确；
  
故选:ABD.
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
13．
【分析】由对应点的坐标求出复数，代入算式中化简.
【详解】复数对应点的坐标为，∴，
.
故答案为：
14．0.4/
【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.
【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故答案为：0.4
15．
【分析】根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】记名男生得分记为，，，，
名女生得分记，，，，
男生得分平均分，则，
女生得分平均分，则，
所以总平均分，
总方差为，
所以此人该次模拟考试成绩的平均分是，方差是．
故答案为：；
16．①③
【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；由等体积法可判断③.
【详解】因为平面，平面，所以，
又因为为圆的直径，所以，平面，
所以平面，而平面，所以，故①正确；
因为平面，而平面，所以平面平面，
故当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，二面角恒为，故②不正确；
因为，
所以三棱锥的体积,
过点作交于点，
所以，所以，
所以求三棱锥的体积的最大值，即求的最大值，
当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，当为中点时，
最大，且的最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；
故答案为：①③.
  
17．(1)
(2)12

【分析】（1）根据定义法直接求解即可；
（2）根据平方关系的转化求解向量的模即可.
【详解】（1）设与的夹角为
因为，，，
所以，
所以，
即与的夹角为
（2）由题意得，.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）由棱锥体积公式计算；
（2）由线面平行的判定定理证明；
（3）由线面垂直的判定定理证明（先计算与都垂直）．
【详解】（1）在正方体中，平面且
则
（2）证明：连接，在中，点分别为的中点，
所以
又平面平面
平面；

（3）证明：连接，在正方体中，

在Rt中，

，
中，，
又，

平面且交于点
平面.
19．(1)0.3
(2)4.92（t）
(3)6.56

【分析】（1）直接由频率分布直方图计算；
（2）用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值；
（3）由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的值即可得．
【详解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的频率为.
（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）；
（3）因为，，
所以全市家庭月均用水量的75％分位数为.
20．(1)
(2)，

【分析】（1）利用正弦定理和题给条件求得，进而求得角B的大小；
（2）先利用余弦定理求得b的值，再利用两角差的正弦公式即可求得的值．
【详解】（1）因为，由正弦定理得
，
即．又，所以，
所以，即，
又因为，所以．
（2）在中，由余弦定理及，，，
得，故，
所以，又，所以，
，又，所以．
所以．
21．(1)
(2)派甲参赛获胜的概率更大
(3)

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；
（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.
【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，
则，，，相互独立，且，，，，
设“甲在比赛中恰好赢一轮”
则；
（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
所以，
，
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大；
（3）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
于是“两人中至少有一人赢得比赛”，
由（2）知，，
所以，
，
所以.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）利用线面垂直证明平面，再根据平面即可证明；
（2）根据二面角的定义作出相对应的角，利用勾股定理求出相关线段长即可得到其余弦值；
（3）利用等体积法即，求出点到平面的距离，最后根据线面角的定义即可得到答案.
【详解】（1），为中点，
，，，
又因为为中点，所以，因为，所以，
又平面平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）由，，平面平面，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
在平面中，过点作，根据四棱锥是正四棱锥，
且E, F分别是AB,CD的中点，则点为底面中心，
则，
所以点为中点，所以，
  
.
（3）当平面时，四棱锥体积有最大值，由，
平面，平面，得平面，
所以A到平面的距离，与B到平面的距离相等，
，平面平面，平面，
所以面，则为四棱锥的高，
由（2）知，因为面，
所以，所以，由（1）知平面，
因为平面，所以，所以，
，设点到平面的距离为，
根据，即，即，
解得，
设直线与平面PCD所成角为，所以.