天津市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份天津市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

天津市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，则（    ）．
A． B． C． D．
2．已知向量，，．若，则（    ）
A． B．0 C． D．8
3．已知，，是三个两两不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题：①若，，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.其中所有正确命题的编号是（    ）
A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④
4．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（    ）
A．2件都是一级品 B．2件都是二级品
C．一级品和二级品各1件 D．至少有1件二级品
5．某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．直方图中x的值为0.040
B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
6．高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为，，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（    ）
A． B． C． D．
7．已知直三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（    ）
A． B． C．8 D．
8．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法不正确的是（    ）
  
A． B．
C． D．在上的投影向量为
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（    ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）
    
①直线平面
②平面与平面的夹角大小为
③三棱锥的体积为定值
④异面直线与所成角的取值范围是
A．①② B．①③ C．①③④ D．①④

二、填空题
11．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为 ．
12．某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：28，29，42，32，41，56，45，48，55，59，则这组数据的第60百分位数为 ．
13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 ．
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局，甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为 ．
15．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为 .


三、双空题
16．如图，在平行四边形中，，点分别在边上，且，若点为的中点，且满足，则 ；当点在线段上运动时，的取值范围为 ．
  

四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．
(1)求角B的大小；
(2)设，．
（ⅰ）求c的值；
（ⅱ）求的值．
18．编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8



得分

15

35

21

28

25

36

18

34

运动员编号

A9

A10

A11

A12

A13

A14

A15

A16



得分

17

26

25

33

22

12

31

38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间

[10，20）

[20，30）

[30，40]

人数




（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．
19．如图，在正三棱柱中，已知，且D为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且．
  
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．

参考答案：
1．C
【分析】把已知式两边同除，从而利用复数的除法运算可得结果.
【详解】由得.
故选：C.
2．A
【分析】先求出的坐标，再由列方程可求出的值.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，，
所以，得，
故选：A
3．B
【解析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可
【详解】解：若，，，，则平行或相交，故①错误；
若，，则，而，所以，故②正确；
若，，，由线面平行的性质定理可得，故③正确；
由选项可知④正确，
故选：B
【点睛】此题考查空间中，线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，属于基础题
4．D
【分析】利用列举法求得任取两件的样本点的总数，根据选项，结合古典摡型的概率计算公式和互斥事件的概率加法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品,
任取2件，则样本空间，
共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，
记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则.
记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则.
记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则.
事件A，B，C两两互斥，所以，
又由表示“至少有1件二级品”.
故选：D.
5．C
【分析】根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1可求得x值，以此判断A；计算成绩在区间[70，80)的学生频率，然后可计算该区间学生数，以此判断B；按照频率频率分布直方图中平均数计算公式计算可判断C；按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断D.
【详解】定义A：根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1，可得，解得x=0.03，所以A错；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)的学生数为10×0.015×400=60(人)，所以B错；对于C：估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84(分)，所以C对；
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为 (分).
所以D错.
故选：C
6．A
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程组，求解即可．
【详解】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，
则①，
又三个社团都进不了的概率为，
所以②，
由①②可得，．
故选：A．
7．B
【分析】由球的体积公式求得球的半径，再根据直三棱柱的性质和平面几何知识可求得直三棱柱的高，由柱体的体积公式计算可得答案.
【详解】解：设球O的半径为R，∵球O的体积为，∴，解得.
∵，，∴..
∴外接圆的半径，解得.
设球心到底面的距离为h，则.
∴这个直三棱柱的体积，
故选：B.
8．A
【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．
【详解】连接，与交于点，如图所示，
对于A：，显然由图可得与为相反向量，故A错误；
对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向，
易知，均为含角的直角三角形，
故，，即，
所以，
又因为，故，
故，故B正确；
对于C：设正六边形的边长为，
则，，
所以，故C正确；
对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确，
故选：A．
  
9．B
【分析】利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可.
【详解】解：∵，∴，∴．
由得，，，
即：，，解得，，∴.
故选：B．
10．B
【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线平面判断①，找出平面角后可判断②，由线面平行的性质可判断③，由异面直线所成的角的定义判断④．
【详解】如图，连接，正方形中，，
正方体的棱平面，平面，，
，平面，所以平面，
又平面，所以，同理．
，平面，所以平面，①正确；
因为平面，平面，所以，
又平面平面，，平面，平面，
则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，则该角大小为，②错；
因为，，，所以，
所以四边形为平行四边形，因此有，
又平面，平面，所以平面，
，因此到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，③正确；
由于，因此异面直线与所成角就是与所夹的角，
即图中或，设正方体棱长为1，易知，
当点为中点时，此时，
因为是等边三角形，在线段，因此或中较小的角的范围是，④错误．
故选：B．
  
【点睛】关键点睛：本题对于较难的④的判断需要通过直线平移，从而将异面直线夹角进行转化，再根据等边三角形的性质和异面直线夹角的定义即可得到其范围.
11．200
【分析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案为：200.
12．46.5/
【分析】由百分位数的计算公式求解.
【详解】这组数据共10个，从小到大排列为：28，29，32，41，42，45，48，55，56，59，
由，则这组数据的第60百分位数为第6个数和第7个数的平均值，即.
故答案为：46.5
13．/
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，根据圆锥的表面积为，得到，再由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
因为圆锥的表面积为，
所以，即，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，即，
所以，
所以这个圆锥的体积为.
故答案为：
14．
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率．
【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，
所以甲最后获胜的概率为.
故答案为：．
15．
【分析】分析出球心的位置，得出半正多面体所在的正四面体的高，求出点到正六边形所在平面的距离，到正三角形所在平面的距离，即可求出当球的表面积最大时，该球的半径，进而得出表面积.
【详解】由题意，
半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，，
当球的表面积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为.

在中， ，,
该半正多面体所在的正四面体的高为：
，
设点到正六边形所在平面的距离为，
过点作于，
由几何知识得，
∴，即，
解得：，
∴当球的表面积最大时，该球的半径为，表面积为.
故答案为：.
16． /
【分析】若点为的中点，根据平面向量的加减法的三角形法则表示，从而可求解，进而可求得；当点在线段上运动时，设，利用，表示出和，再表示出，根据的范围，即可得出结果.
【详解】若点为的中点，则
.
所以，则；
当点在线段上运动时，设，
，
又，


，
又，则，
.
故答案为：；
17．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）

【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可.
（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解.
【详解】（1）由，
根据正弦定理得，,
可得，
因为，故，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，，
（ⅰ）则，
即，解得（舍），.
故.
（ⅱ）由，
得，
解得，则，
则，
，
则
.
18．（Ⅰ）4，6，6
（Ⅱ）（i）（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），
（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），
（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种
（ii）
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．
（Ⅱ）（Ⅰ）根据（Ⅰ）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；
（Ⅱ）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．
试题解析：（Ⅰ）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：
得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，
故答案为4，6，6
（Ⅱ）（Ⅰ）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，
从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：
（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），
（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），
（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．
（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：
（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种
故这2人得分之和大于50分的概率P==
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．

19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，设，连接，即可得到，从而得证；
（2）取的中点，连接、，即可证明平面，则为直线与平面所成角，再由勾股定理求出、，再由锐角三角函数计算可得；
【详解】（1）证明：连接，设，连接，
在正三棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，
又为的中点，所以，平面，平面，
所以平面

（2）解：取的中点，连接、，在正三棱柱中，平面，平面，
所以，又为等边三角形，所以，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，所以，
，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为；
20．(1)见解析
(2)
(3)2

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
，，，
因为，
所以，而平面，，
所以平面；
  
（2）设平面的法向量为，
，
则有，
由（1）可知平面的法向量为，
所以有，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）由（2）可知：平面的法向量为，
，所以可得：
，
所以点E到平面的距离为.