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2022-2023学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−2 B. x<−2 C. x≠−2 D. x≥−2
2. 下列二次根式，不能与 2合并的是( )
A. 12 B. 8 C. 12 D. − 18
3. 点O为矩形ABCD对角线AC与BD的交点，若AC=6，则OD的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
4. 下列式子中，为最简二次根式的是( )
A. 14 B. 8 C. 15 D. 1.2
5. 在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为( )
A. 3 3 B. 3 5 C. 6 3 D. 6 5
6. 在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. a2=(c−b)(c+b) B. a=1，b=2，c=3
C. ∠A=∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
7. 将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为( )
A. 6 B. 3 2 C. 4 2 D. 6 2
8. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是( )
A. S△ABC=S△ADC B. S矩形NFGD=S矩形EFMB
C. S△ANF=S矩形NFGD D. S△AEF=S△ANF
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E是AC上的一点，且AB+AE=EC.若DE=2，则AB的长是( )
A. 2 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
10. 如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG.下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG；③∠CHG=∠DAG；④2HG=AD.正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．
12. 如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是______.(只填一个即可)
13. 已知实数−1
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
15. 如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)2 18−2 12+ 2；
(2)( 2−1)0+ 12−(1+ 3)2．
17. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．
18. (本小题8.0分)
已知x= 5+2，求代数式x2−4x的值．
19. (本小题8.0分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
(2)在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为 5、 10、 13．
20. (本小题10.0分)
阅读材料：
分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
0A22=(2)2+4=8，S1=2；
OA32=( 8)2+4=12，S2=2 82= 8=2 2；
OA42=( 12)2+4=16，S3=2 122= 12=2 3……
(1)请用含有n(n为正整数)的等式Sn= ______ ；
(2)推算出OA10= ______ ．
(3)求出[s12+s22+s32]+……S102的值．
21. (本小题12.0分)
如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC=∠OCB．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)过B作BE⊥AO于E，∠CBE=3∠ABE，BE=2，求AE的长．
22. (本小题12.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
(1)求证：△AEH≌△CGF．
(2)若∠EFG=90°.求证：四边形EFGH是正方形．
23. (本小题14.0分)
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥−2．
故选：D．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22，能与 2合并；
B、 8=2 2，能与 2合并；
C、 12=2 3，不能与 2合并；
D、− 18=−3 2，能与 2合并，
故选：C．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，AC=BD，
∵AC=6，
∴OD=3．
故选：C．
利用矩形的对角线相等可以解决问题．
本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单．
4.【答案】A
【解析】解：A、 14是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、 8=2 2，故此选项不符合题意；
C、 15= 55，故此选项不符合题意；
D、 1.2= 65= 305，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5.【答案】B
【解析】解：∵两直角边的长分别为6和12，
∴斜边= 122+62=6 5，
∴斜边上的中线=12×6 5=3 5．
故选：B．
利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.∵a2=(c−b)(c+b)，
∴a2=c2−b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B.∵12+22=1+4=5，32=9，
∴12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵∠A=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°<90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
求出a2+b2=c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
7.【答案】D
【解析】解：如图作AH⊥CH．
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，
∴AC=2AH=6，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 62+62=6 2．
故选D．
在Rt△ACH中，利用直角三角形30度角性质，求出AC的长，再在Rt△ABC中，求出AB的长即可．
本题考查直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD//EG//BC，MN//AB//CD
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形
∴S△AEF=S△AFN，S△FMC=S△CGF，S△ABC=S△ACD，
∴S矩形BEFM=S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的
故选：C．
根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
9.【答案】B
【解析】解：延长CA至F，使AF=AB，连接BF，
∵AB+AE=CE，
∴FE=CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=2DE=4，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAF=60°，
又∵AB=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=4，
故选：B．
延长CA至F，使AF=AB，连接BF，证出DE是△BCF的中位线，得出BF=2DE=4，证明△ABF是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明DE是△BDF的中位线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=CF，
在△BCE与△CDF中，
BE=CF∠B=∠DCFBC=CD，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF；故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=12CD=12AD，
即2HG=AD；故④正确；
连接AH，如图所示：
同理可得：AH⊥DF，
∵HG=HD=12CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD；
若AG=DG，则△ADG是等边三角形，
则∠ADG=60°，∠CDF=30°，
而CF=12CD≠12DF，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∴AG≠DG，故②错误；
∴∠DAG=2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH=∠CDF，
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
∴∠CHG=∠DAG；故③正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，AG≠DG，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG=∠DAG.则问题得解．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
11.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【解析】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可．
12.【答案】AB=CD(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=CD(答案不唯一)．
根据平行四边形的判定定理进行解答．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
13.【答案】3
【解析】解：∵−1
∴原式=a+1+2−a=3，
故答案为：3．
根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．
本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质 a2=|a|是解题关键．
14.【答案】a2 6
【解析】解：图中阴影部分面积等于c2−b2=a2+b2−b2=a2，
如图所示：
AB=c−b，AC=c−a，DE=a−(c−b)=a+b−c，
∵(c−a)(c−b)=c2−bc−ca+ab=18，
∴AB⋅AC=18，即S矩形ACDB=18，
∵S阴影=2S矩形ACDB+a2−(a+b−c)2=a2，
∴(a+b−c)2=36，
∵a+b>c，即a+b−c>0，
∴a+b−c=6，
故答案为：a2，6．
根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出AB=c−b，AC=c−a，DE=a+b−c，再根据(c−a)(c−b)=18得到S矩形ACDB=18，再根据S阴影=2S矩形ACDB+a2−(a+b−c)2=a2，即可求出a+b−c=6．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，正确理解题意推出(a+b−c)2=36是解题的关键．
15.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 102−82=6，
∴FC=BC−BF=4，
设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，
∴EC的长为3cm．
【解析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8−x)2，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
16.【答案】解：(1)原式=6 2− 2+ 2
=6 2；
(2)原式=1+2 3−(1+2 3+3)
=1+2 3−4−2 3
=−3．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先根据零指数幂的意义和完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂是解决问题的关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．
又∵CE=CF，
∴CD−CE=CB−CF，
即DE=BF．
在△ADE和△ABF中
AD=AB∠D=∠BDE=CF
∴△ADE≌△ABF(SAS)．
∴AE=AF．
【解析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.又因为CE=CF，所以CD−CE=CB−CF，即DE=BF.可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．
18.【答案】解：x= 5+2，
∴x2−4x=x(x−4)=( 5+2)( 5−2)，
=5−4，
=1．
答：代数式x2−4x的值为1．
【解析】首先对式子x2−4x进行因式分解，然后代入x的值可得到答案．
本题考查了因式分解的应用；解题中代入x值后利用了平方差公式是正确解答本题的关键，方法比较巧妙，要进行学习掌握．
19.【答案】解：(1)如图1所示；
(2)如图2所示．
【解析】(1)、(2)根据勾股定理画出图形即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
20.【答案】2 n 2 10
【解析】解：(1)S1=2=2 1，S2=2 2，S3=2 3，…，Sn=2 n，
故答案为：2 n；
(2)∵OA22=(2)2+4=8=4×2，
QA32=( 8)2+4=12=4×3，
OA42=( 12)2+4=16=4×4，
…
∴OA102=4×10=40，
∴OA10= 4×10=2 10，
故答案为：2 10．
(3)原式=4+8+12+......+40
=220．
(1)根据S1、S2、S3、找规律可求解Sn的值；
(2)由规律可求OA102，进而可求解OA10；
(3)通过规律计算可求出结果．
本题通过考查勾股定理，三角形的面积，来寻找到对应的规律，通过规律，来得到对应的结论．
21.【答案】(1)证明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠CBE=3∠ABE，
∴∠ABE=14×90°=22.5°，
在EB上取一点H，使得EH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，∠AHE=45°，
∴∠HAB=45°−22.5°=22.5°=∠ABH，
∴AH=BH，
设AE=EH=x，则AH=BH= 2x，
∵BE=2，
∴x+ 2x=2，
∴x=2 2−2．
即AE=2 2−2．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
(1)根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．
(2)根据矩形的性质和∠CBE=3∠ABE，得出∠ABE=22.5°，在EB上取一点H，使得EH=AE，易证AH=BH，设AE=EH=x，则AH=BH= 2x，构建方程即可解决问题．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AEH与△CGF中，
AE=CG∠A=∠CAH=CF，
∴△AEH≌△CGF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF．
∴△BEF≌△DGH(SAS)，
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH//FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
又∵∠EFG=90°，
∴平行四边形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是菱形．
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．
23.【答案】解：(1)AE=EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AB=BF=BE=CE，
∴∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AFE=∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEB+∠PEC=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠PEC=∠BAE，
∴△AFE≌△ECP(ASA)，
∴AE=EP；
(2)在AB上取AF=EC，连接EF，
由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，
∵AF=EC，AE=EP，
∴△FAE≌△CEP(SAS)，
∴∠ECP=∠AFE，
∵AF=EC，AB=BC，
∴BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∴∠ECP=135°，
∴∠DCP=45°，
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由(2)知，∠DCP=45°，
∴∠CDG=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB=4，
∴BG=8，
由勾股定理得AG=4 5，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG=4+4 5．
【解析】(1)取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC=∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE=EP；
(2)在AB上取AF=EC，连接EF，由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，则△FAE≌△CEP(SAS)，再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−2 B. x<−2 C. x≠−2 D. x≥−2
2. 下列二次根式，不能与 2合并的是( )
A. 12 B. 8 C. 12 D. − 18
3. 点O为矩形ABCD对角线AC与BD的交点，若AC=6，则OD的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
4. 下列式子中，为最简二次根式的是( )
A. 14 B. 8 C. 15 D. 1.2
5. 在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为( )
A. 3 3 B. 3 5 C. 6 3 D. 6 5
6. 在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. a2=(c−b)(c+b) B. a=1，b=2，c=3
C. ∠A=∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
7. 将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为( )
A. 6 B. 3 2 C. 4 2 D. 6 2
8. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是( )
A. S△ABC=S△ADC B. S矩形NFGD=S矩形EFMB
C. S△ANF=S矩形NFGD D. S△AEF=S△ANF
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E是AC上的一点，且AB+AE=EC.若DE=2，则AB的长是( )
A. 2 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
10. 如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG.下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG；③∠CHG=∠DAG；④2HG=AD.正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．
12. 如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是______.(只填一个即可)
13. 已知实数−1
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
15. 如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)2 18−2 12+ 2；
(2)( 2−1)0+ 12−(1+ 3)2．
17. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．
18. (本小题8.0分)
已知x= 5+2，求代数式x2−4x的值．
19. (本小题8.0分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
(2)在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为 5、 10、 13．
20. (本小题10.0分)
阅读材料：
分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
0A22=(2)2+4=8，S1=2；
OA32=( 8)2+4=12，S2=2 82= 8=2 2；
OA42=( 12)2+4=16，S3=2 122= 12=2 3……
(1)请用含有n(n为正整数)的等式Sn= ______ ；
(2)推算出OA10= ______ ．
(3)求出[s12+s22+s32]+……S102的值．
21. (本小题12.0分)
如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC=∠OCB．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)过B作BE⊥AO于E，∠CBE=3∠ABE，BE=2，求AE的长．
22. (本小题12.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
(1)求证：△AEH≌△CGF．
(2)若∠EFG=90°.求证：四边形EFGH是正方形．
23. (本小题14.0分)
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥−2．
故选：D．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22，能与 2合并；
B、 8=2 2，能与 2合并；
C、 12=2 3，不能与 2合并；
D、− 18=−3 2，能与 2合并，
故选：C．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，AC=BD，
∵AC=6，
∴OD=3．
故选：C．
利用矩形的对角线相等可以解决问题．
本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单．
4.【答案】A
【解析】解：A、 14是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、 8=2 2，故此选项不符合题意；
C、 15= 55，故此选项不符合题意；
D、 1.2= 65= 305，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5.【答案】B
【解析】解：∵两直角边的长分别为6和12，
∴斜边= 122+62=6 5，
∴斜边上的中线=12×6 5=3 5．
故选：B．
利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.∵a2=(c−b)(c+b)，
∴a2=c2−b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B.∵12+22=1+4=5，32=9，
∴12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵∠A=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°<90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
求出a2+b2=c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
7.【答案】D
【解析】解：如图作AH⊥CH．
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，
∴AC=2AH=6，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 62+62=6 2．
故选D．
在Rt△ACH中，利用直角三角形30度角性质，求出AC的长，再在Rt△ABC中，求出AB的长即可．
本题考查直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD//EG//BC，MN//AB//CD
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形
∴S△AEF=S△AFN，S△FMC=S△CGF，S△ABC=S△ACD，
∴S矩形BEFM=S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的
故选：C．
根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
9.【答案】B
【解析】解：延长CA至F，使AF=AB，连接BF，
∵AB+AE=CE，
∴FE=CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=2DE=4，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAF=60°，
又∵AB=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=4，
故选：B．
延长CA至F，使AF=AB，连接BF，证出DE是△BCF的中位线，得出BF=2DE=4，证明△ABF是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明DE是△BDF的中位线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=CF，
在△BCE与△CDF中，
BE=CF∠B=∠DCFBC=CD，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF；故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=12CD=12AD，
即2HG=AD；故④正确；
连接AH，如图所示：
同理可得：AH⊥DF，
∵HG=HD=12CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD；
若AG=DG，则△ADG是等边三角形，
则∠ADG=60°，∠CDF=30°，
而CF=12CD≠12DF，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∴AG≠DG，故②错误；
∴∠DAG=2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH=∠CDF，
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
∴∠CHG=∠DAG；故③正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，AG≠DG，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG=∠DAG.则问题得解．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
11.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【解析】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可．
12.【答案】AB=CD(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=CD(答案不唯一)．
根据平行四边形的判定定理进行解答．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
13.【答案】3
【解析】解：∵−1
∴原式=a+1+2−a=3，
故答案为：3．
根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．
本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质 a2=|a|是解题关键．
14.【答案】a2 6
【解析】解：图中阴影部分面积等于c2−b2=a2+b2−b2=a2，
如图所示：
AB=c−b，AC=c−a，DE=a−(c−b)=a+b−c，
∵(c−a)(c−b)=c2−bc−ca+ab=18，
∴AB⋅AC=18，即S矩形ACDB=18，
∵S阴影=2S矩形ACDB+a2−(a+b−c)2=a2，
∴(a+b−c)2=36，
∵a+b>c，即a+b−c>0，
∴a+b−c=6，
故答案为：a2，6．
根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出AB=c−b，AC=c−a，DE=a+b−c，再根据(c−a)(c−b)=18得到S矩形ACDB=18，再根据S阴影=2S矩形ACDB+a2−(a+b−c)2=a2，即可求出a+b−c=6．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，正确理解题意推出(a+b−c)2=36是解题的关键．
15.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 102−82=6，
∴FC=BC−BF=4，
设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，
∴EC的长为3cm．
【解析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8−x)2，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
16.【答案】解：(1)原式=6 2− 2+ 2
=6 2；
(2)原式=1+2 3−(1+2 3+3)
=1+2 3−4−2 3
=−3．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先根据零指数幂的意义和完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂是解决问题的关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．
又∵CE=CF，
∴CD−CE=CB−CF，
即DE=BF．
在△ADE和△ABF中
AD=AB∠D=∠BDE=CF
∴△ADE≌△ABF(SAS)．
∴AE=AF．
【解析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.又因为CE=CF，所以CD−CE=CB−CF，即DE=BF.可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．
18.【答案】解：x= 5+2，
∴x2−4x=x(x−4)=( 5+2)( 5−2)，
=5−4，
=1．
答：代数式x2−4x的值为1．
【解析】首先对式子x2−4x进行因式分解，然后代入x的值可得到答案．
本题考查了因式分解的应用；解题中代入x值后利用了平方差公式是正确解答本题的关键，方法比较巧妙，要进行学习掌握．
19.【答案】解：(1)如图1所示；
(2)如图2所示．
【解析】(1)、(2)根据勾股定理画出图形即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
20.【答案】2 n 2 10
【解析】解：(1)S1=2=2 1，S2=2 2，S3=2 3，…，Sn=2 n，
故答案为：2 n；
(2)∵OA22=(2)2+4=8=4×2，
QA32=( 8)2+4=12=4×3，
OA42=( 12)2+4=16=4×4，
…
∴OA102=4×10=40，
∴OA10= 4×10=2 10，
故答案为：2 10．
(3)原式=4+8+12+......+40
=220．
(1)根据S1、S2、S3、找规律可求解Sn的值；
(2)由规律可求OA102，进而可求解OA10；
(3)通过规律计算可求出结果．
本题通过考查勾股定理，三角形的面积，来寻找到对应的规律，通过规律，来得到对应的结论．
21.【答案】(1)证明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠CBE=3∠ABE，
∴∠ABE=14×90°=22.5°，
在EB上取一点H，使得EH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，∠AHE=45°，
∴∠HAB=45°−22.5°=22.5°=∠ABH，
∴AH=BH，
设AE=EH=x，则AH=BH= 2x，
∵BE=2，
∴x+ 2x=2，
∴x=2 2−2．
即AE=2 2−2．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
(1)根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．
(2)根据矩形的性质和∠CBE=3∠ABE，得出∠ABE=22.5°，在EB上取一点H，使得EH=AE，易证AH=BH，设AE=EH=x，则AH=BH= 2x，构建方程即可解决问题．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AEH与△CGF中，
AE=CG∠A=∠CAH=CF，
∴△AEH≌△CGF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF．
∴△BEF≌△DGH(SAS)，
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH//FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
又∵∠EFG=90°，
∴平行四边形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是菱形．
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．
23.【答案】解：(1)AE=EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AB=BF=BE=CE，
∴∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AFE=∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEB+∠PEC=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠PEC=∠BAE，
∴△AFE≌△ECP(ASA)，
∴AE=EP；
(2)在AB上取AF=EC，连接EF，
由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，
∵AF=EC，AE=EP，
∴△FAE≌△CEP(SAS)，
∴∠ECP=∠AFE，
∵AF=EC，AB=BC，
∴BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∴∠ECP=135°，
∴∠DCP=45°，
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由(2)知，∠DCP=45°，
∴∠CDG=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB=4，
∴BG=8，
由勾股定理得AG=4 5，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG=4+4 5．
【解析】(1)取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC=∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE=EP；
(2)在AB上取AF=EC，连接EF，由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，则△FAE≌△CEP(SAS)，再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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