2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶.下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 下列等式，从左到右的变形是因式分解的是(    )
A. x(x−2)=x2−2x B. 6x2y=6x⋅xy
C. x2−4=(x+2)(x−2) D. x+2=x(1+2x)
3. 将分式xx+y中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值(    )
A. 扩大2倍 B. 缩小到原来的12 C. 保持不变 D. 无法确定
4. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为(    )
A. x≥4.5
B. x>4.5
C. x≤4.5
D. 0 5. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是(    )


A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
6. 直线l1：y1=k1x与直线l2：y2=k2x+b在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为(    )

A. x>2 B. x<2 C. x>3 D. x<3
7. 在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MB′N=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是(    )
A. 小赵同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL
B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长
C. 小刘同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是ASA
D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
8. 如图，设计一张折叠型方桌子，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面CD的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB为(    )

A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
9. 下列命题是真命题的是(    )
A. 若a>b，则1−2a>1−2b
B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
10. 如图，在四边形纸片ABCD中，AB//DC，AB=DC=4 3，AD=9，∠BCD=30°，点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，则AC′长度的最小值是(    )


A. 7 3 B. 72 3 C. 5 3 D. 52 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：x2−2x=________．
12. 要使分式1x−2有意义，x的取值应满足______．
13. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案(图1)拼成一个如图所示的大图案(图2)，经过测量，AB=60cm，BC=100cm，A，C两点间的距离为80cm，阴影部分的面积为______ cm2．


14. 如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为1m宽的弯曲小路，则这块草地的面积为______ m2．

15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，点D是△ABC外一点，若CD=3，BD=5 2，∠BDC=75°，则线段AD的长为______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)解不等式组：2x−1>−x①12x<3②，并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)解方程：1x−2+3=x−1x−2．
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值x2x+1−x+1，其中x= 2−1
18. (本小题6.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF=3BF，连接DB，EF．
(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；
(2)若∠ACB=90°，AC=12cm，DE=4cm，求四边形DEFB的周长．

20. (本小题8.0分)
“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人.”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱.某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．
(1)求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；
(2)这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
21. (本小题9.0分)
【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.其依据是不等式(或等式)的性质：若x−y>0，则x>y；若x−y=0，则x=y；若x−y<0，则x 例：已知M=a2−ab，N=ab−b2，其中a≠b，求证：M>N．
证明：M−N=a2−ab−ab+b2=(a−b)2，
∵a≠b，
∴(a−b)2>0，故M>N，
【新知理解】
(1)比较大小：x−3 ______ 2+x.(填“>”，“=”，“<”)
【问题解决】
(2)甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为S1，S2.请比较S1，S2的大小关系．

【拓展应用】
(3)请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折.请问游泳的学生选择哪种方案更合算？
22. (本小题10.0分)
【探究发现】
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC.AH⊥BC，垂足为H，点D在AH上，连接BD，CD，则有下列命题：①△ABD≌△ACD；②△BDH≌△CDH．
请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．
【类比迁移】
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，点D在三角形的内部，过点D作BD⊥CD，且BD=CD，连接AD.求证：AD=BD=CD．
【拓展提升】
(3)如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，BC=5，把线段AB绕点A顺时针方向旋转90°到AM，把线段AC绕点A逆时针旋转90°到AN，分别连接MB，NC，MN，请直接写出△AMN面积的最大值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．

2.【答案】C 
【解析】解：A.x(x−2)=x2−2x，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.6x2y=6x⋅xy，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2−4=(x+2)(x−2)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.x+2=x(1+2x)，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

3.【答案】C 
【解析】解：将分式xx+y中的x、y的值同时扩大2倍为2x2x+2y=xx+y，
即分式的值保持不变，
故选：C．
根据已知得出2x2x+2y=xx+y，求出后判断即可．
本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意可得，0 故选：D．
根据不等式的定义解决此题．
本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可。
【解答】
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处。
故选C。  
6.【答案】A 
【解析】解：当x>2时，k1x>k2x+b，即关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为x>2．
故选：A．
观察函数图象得到当x>2时，函数y=k1x的图象都在y=k2x+b的图象上方．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．

7.【答案】A 
【解析】解：A、小赵同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL，正确，本选项符合题意；
B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长，错误，应该是AC的长，不相信不符合题意；
C、小刘同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是ASA，错误，应该是SAS，本选项不符合题意；
D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，错误，应该是AB的长，本选项不符合题意．
故选：A．
根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

8.【答案】B 
【解析】解：作DE⊥AB于E．
∵AD=50+30=80cm，DE=40cm，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°−30°−30°=120°．
故选：B．
作DE⊥AB于E，根据题意，得在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到∠A=30°是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：若a>b，则1−2a<1−2b，故A是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C是假命题，不符合题意；
一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形有6条边，它的一个外角等于360°÷6=60°，故D是真命题，符合题意；
故选：D．
根据不等式性质，等腰三角形性质，平行四边形判定，多边形内角和与外角和逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．

10.【答案】C 
【解析】解：连接AE，过点E作EM⊥AD的延长线于点M，

∵AE≥AC′−EC′，
当点A、C′、E在一条直线上时，AC′的值最小，
由翻折可知EC=EC′，
∵CD=4 3，点E是线段DC的中点，
∴EC=EC′=ED=2 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠MDE=∠BCD=30°，
在Rt△MDE中，∠MDE=30°，ED=2 3，
∴EM=12ED= 3，
由勾股定理得MD= ED2−EM2= (2 3)2−( 3)2=3，
∵AD=9，
∴AM=AD+MD=12，
在Rt△AME中，由勾股定理得AE= AM2+EM2= 122+( 3)2=7 3，
∴AC′=AE−EC′=7 3−2 3=5 3，
即AC′长度的最小值是5 3，
故选：C．
连接AE，过点E作EM⊥AD的延长线于点M，由翻折可知EC=EC′，根据两点之间，线段最短可知AE≥AC′−EC′，故只有当点A、C′、E在一条直线上时，AC′的值最小，根据勾股定理求出EM、MD、AE的长，即可得出AC′长度的最小值．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，翻折的性质，根据两点之间，线段最短得出A、C′、E在一条直线上时，AC′的值最小是解题的关键．

11.【答案】x(x−2) 
【解析】解：x2−2x=x(x−2)．
故答案为：x(x−2)．
提取公因式x，整理即可．
本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．

12.【答案】x≠2 
【解析】解：当分母x−2≠0，即x≠2时，分式1x−2有意义．
故答案是：x≠2．
分析题意，根据分式有意义的条件可得x−2≠0，解不等式即可得到x的取值范围，至此问题得解．
本题主要考查分式的相关知识，解答本题需熟练掌握分式有意义的条件．

13.【答案】1200 
【解析】解：如图，连接AC，这四个平面图形都可以拼成平行四边形，

∵AB2+AC2=602+802=10000
BC2=1002=10000，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴阴影部分的面积
=14▱ABCD的面积
=14×60×80
=1200(cm2)，
故答案为：1200．
连接AC，根据勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，根据阴影部分的面积=14▱ABCD的面积，即可得出答案
本题考查了平面镶嵌(密铺)，两点间的距离，掌握这四个平面图形都可以拼成平行四边形是解题的关键．

14.【答案】b(a−1) 
【解析】解：平移的性质可得：草坪可看作长为(a−1)m，宽为b m的矩形，
∴这块草地的面积为b(a−1)．
故答案为：b(a−1)．
根据平移的性质可得：草坪可看作长为(a−1)m，宽为b m的矩形，然后进行计算即可解答．
本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式进行计算是解题的关键．

15.【答案】 89 
【解析】解：以CD为边在CD的右侧作等边△CDE，连接BE，过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F，

∴∠BFD=90°，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵△CDE都是等边三角形，
∴CD=CE=DE=3，∠DCE=∠CDE=60°，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
∵∠BDC=75°，
∴∠BDF=180°−∠BDC−∠CDE=45°，
∴∠DBF=90°−∠BDF=45°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴BF=DF=BD 2=5 2 2=5，
在Rt△BFE中，EF=DF+DE=5+3=8，
∴BE= BF2+EF2= 52+82= 89，
∴AD=BE= 89，
故答案为： 89．
以CD为边在CD的右侧作等边△CDE，连接BE，过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F，根据垂直定义可得∠BFD=90°，再根据已知易得△ABC是等边三角形，从而可得AC=BC，∠ACB=60°，然后根据等边三角形的性质可得CD=CE=DE=3，∠DCE=∠CDE=60°，从而利用等式的性质可得∠ACD=∠BCE，进而利用SAS可证△ACD≌△BCE，再利用全等三角形的性质可得AD=BE，最后根据平角定义可得∠BDF=45°，从而可得∠DBF=∠BDF=45°，进而可得BF=DF=5，再在Rt△BFE中，利用勾股定理可求出BE的长，即可解答．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

16.【答案】解：(1)解不等式①，得x>13，
解不等式②，得x<6，
∴该不等式组的解集是13 把该不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
∴该不等式组的解集是13 (2)方程两边都乘以(x−2)得：
1+3(x−2)=x−1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−2=2−2=0，
∴x=2是增根，原方程无解． 
【解析】(1)先分别求各个不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上后，确定该不等式组的解集，
(2)先将该分式方程转化为整式方程，求解，检验后即可得到答案．
此题考查了不等式组和分式方程的求解方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】解：原式=x2x+1−(x−1)
=x2x+1−x2−1x+1
=1x+1，
∵x= 2−1，
∴原式=1 2−1+1=1 2= 22． 
【解析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的加减运算是解题关键．

18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)(−3,0)． 
【解析】
【分析】
本题考查作图−平移、中心对称、旋转变换．
(1)根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
(2)根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)连接BB2，CC2，两线相交于点(−3,0)，
所以旋转中心的坐标为(−3,0)．  
19.【答案】(1)证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，BC=2DE，
∵CF=3BF，
∴BC=2BF，
∴DE=BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
(2)解：由(1)得：BC=2DE=8cm，BF=DE=4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD=EF，
∵D是AC的中点，AC=12cm，
∴CD=12AC=6cm，
∵∠ACB=90°，
∴BD= CD2+BC2= 62+82=10(cm)，
∴平行四边形DEFB的周长=2(DE+BD)=2×(4+10)=28(cm)． 
【解析】(1)证DE是△ABC的中位线，得DE/​/BC，BC=2DE，再证DE=BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
(2)由(1)得：BC=2DE=8cm，BF=DE=4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD=EF，再由勾股定理求出BD=10cm，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．

20.【答案】解：(1)设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米糍荔枝每千克的进货价每千克(x+10)元，
根据题意得：2000x=3000x+10，
解得：x=20，
经检验x=20是分式方程的解，
∴x+10=30，
答：桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格分别为20元和30元；
(2)设桂味荔枝进货t千克，总利润为W元，则糯米糍荔枝进货(300−t)千克，
根据题意得：300−t≤2t，
解得：t≥100，
∵W=(25−20)t+(38−30)(300−t)=−3t+2400，
∵−3<0，
∴W随t的增大而减小，
∴当t=100时，W最大，Wmax=−3×100+2400=2100(元)，此时300−100=200，
答：桂味、糯米糍荔枝各进货100千克和200千克时获得利润最大，最大利润是2100元． 
【解析】(1)设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米糍荔枝每千克的进货价每千克(x+10)元，根据两种荔枝千克数相同列出方程，解方程即可；
(2)设桂味荔枝进货t千克，总利润为W元，则糯米糍荔枝进货(300−t)千克，根据题意得出300−t≤2t，得出t≥100，由题意得出W=−3t+2400，由一次函数的性质得出W随t的增大而减小，得出当t=100时，W的最小值=2100(元)，求出300−100=200即可．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键．

21.【答案】< 
【解析】解：(1)∵x−3−2−x=−5<0，
∴x−3<2+x，
故答案为：<；
(2)S1=(a+7)(a+1)=a2+8a+7，
S2=(a+4)(a+2)=a2+6a+8，
S1−S2
=a2+8a+7−(a2+6a+8)
=a2+8a+7−a2−6a−8
=2a−1，
∵a为正整数，
∴a≥1，
∴2a≥2，
∴2a−1≥1>0，
∴S1>S2；
(3)设原价为a(a>0)元，游泳x次，
则A方案的费用=ax⋅90%=0.9ax；
B方案的费用=5a+a(x−5)⋅80%=0.8ax+a；
∵0.9ax−(0.8ax+a)=0.1ax−a，
∴当0.1ax−a>0时，即x>10时，0.9ax>0.8ax+a；
当0.1ax−a=0时，即x=10时，0.9ax=0.8ax+a；
当0.1ax−a<0时，即x<10时，0.9ax<0.8ax+a；
∴当游泳次数多于10次时，选择B方案；
当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；
当游泳次数少于10次时，选择A方案．
(1)作差即可作出判断；
(2)分别求出S1，S2，然后作差，根据a是正整数即可做出判断；
(3)设原价为a(a>0)元，游泳x次，分别求出A，B方案的费用，然后作差，分三种情况讨论得出答案．
本题考查了公式法，整式的加减，一元一次不等式的应用，第三问无法判断0.1ax−a的正负，所以分类讨论得出结果，这是解题的关键．

22.【答案】(1)解：选择①△ABD≌△ACD，
证明：∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
选择②△BDH≌△CDH，
证明：∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
又∵DH=DH，
∴△BDH≌△CDH(SAS)．
(2)证明：∵∠BDC=90°，BD=BC，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠ABD=∠ACD=67.5°−45°=22.5°，
∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=22.5°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD=CD，
(3)解：延长NA交BM于E，如图，由旋转得：AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠CAN=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠MAN=135°，
∴∠BAE=∠MAE=45°，
∴AE⊥BM，ME=AE=BE，
由勾股定理，得ME= 22AB，
∴S△AMN=12AN⋅ 22AB= 24AC⋅AB，
∵在△ABC中，∠BAC=45°，BC=5，
∴当AB=AC时，S△AMN最大，
过点A作AD⊥BC于D，
∴∠BAD=12∠BAC=22.5°，BD=12BC=52，
作线段BO，交AD于O，使∠ABO=22.5°，
∴∠BAC=∠BAO=22.5°，
∴OA=OB，∠BOD=45°，
∴∠OBD=∠BOD=45°，
∴OD=BD=52，
由勾股定理，得OA=OB=5 22，
∴AD=52( 2+1)，
由勾股定理，得：AB2=AD2+BD2=[52( 2+1)]2+(52)2=254(4+2 2)，
∴S△AMN最大= 24×254(4+2 2)=254( 2+1)．
 
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
(2)先得出△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD=22.5°，然后求出∠ABD=22.5°，即可得证；
(3)延长NA交BM于E，由旋转得：AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠CAN=90°，从而可得出AE⊥BM，ME=AE=BE，由勾股定理，得ME= 22AB，所以S△AMN=12AN⋅ 22AB= 24AC⋅AB，所以当AB=AC时，S△AMN最大，再过点A作AD⊥BC于D，作线段BO，交AD于O，使∠ABO=22.5°，从而求出OD=BD=52，OA=OB=5 22，AD=52( 2+1)，由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=254(4+2 2)，即可求解．
本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题，灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．