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2023年吉林省四平市伊通县五校联考中考数学五模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省四平市伊通县五校联考中考数学五模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省四平市伊通县五校联考中考数学五模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是( )
A. −2 B. 1.3 C. −0.4 D. 0.6
2. 2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上，数据11000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.11×108 B. 1.1×107 C. 11×106 D. 1.1×106
3. 如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. 不等式组9−3x>07−2x≤5的解集在以下数轴表示中正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 ( )
A. 35° B. 55° C. 60° D. 70°
6. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km(如图).能解释这一现象的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 化简 12的结果为______．
8. 计算3a4÷a的结果是______ ．
9. 因式分解：x2−9x=______．
10. 分式方程3x−2=1的解是x=______．
11. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，以C为圆心，CB长为半径画弧，图中阴影部分的面积为______ ．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为______．
13. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是______．
14. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为______．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a+1)，其中a= 2−4，
16. (本小题5.0分)
2022年冬奥会和残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大众喜爱，某校九年(1)班的迎新年班队课上，老师在抽奖环节准备了四张奖券，它们的形状外观大小完全一样，已知四张奖券中有两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶(记作A1，A2)，有一张代表残奥会吉祥物“雪容融”玩偶(记作B)，还有一张代表虎年特制的小老虎玩偶(记作C)．
(1)随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是______．
(2)小丽同学在课堂上表现出色，获得了两张奖券，并且获得了优先抽奖资格．请利用树状图或列表法，求小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率．
17. (本小题5.0分)
吉林市在创建卫生文明城中，对城内的河道进行整治.现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天.求整治任务完成后甲、乙工程队分别整治河道的长度．
18. (本小题5.0分)
已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC//DE，AC=CE，∠ACD=∠B.求证：△ABC≌△CDE．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
20. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x>0)与直线y=12x相交于横坐标为2的点A．
(1)求k的值；
(2)如果点B在直线y=12x上，点C在双曲线y=kx(x>0)上，BC//x轴，BC=3，且BC在点A上方，求点B的坐标．
21. (本小题7.0分)
为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， 3≈1.73)
22. (本小题7.0分)
为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t(单位：h)，并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间t/h
频数
频率
1≤t<2
3
2≤t<3
a
0.12
3≤t<4
37
b
4≤t<5
0.35
5≤t<6
合计
c
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，c=______；
(2)若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生人数．
23. (本小题8.0分)
一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为y(t)，时间为x(min)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)修船过程中排水速度为______t/min，a的值为______．
(2)求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当船内积水量是船内最高积水量的12时，直接写出x的值．
24. (本小题8.0分)
[问题原型]如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD=12AB．
求证：∠ACB=90°．
[结论应用]如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连结A′B．
求证：A′B//CD．
[应用拓展]如图③，在▱ABCD中，∠A<90°，点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连结BA′并延长，交CD于点F.若AB=5，AD=3，S▱ABCD=12，则A′F的长为______．
25. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，连结BD.点P从点A出发，沿折线AB−BD−DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF(点F在直线AP的右侧).设正方形AEPF的面积为S(平方单位)，点P的运动时间为t(秒)．
(1)当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长；
(2)当AP⊥BD时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
26. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+94x+c与x轴交于点A(1,0)和点B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD=45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】∵|−2|=2，|1.3|=1.3，|−0.4|=0.4，|0.6|=0.6，
∴0.4<0.6<1.3<2，
又∵离原点最近的即是绝对值最小的数，
∴离原点最近的是−0.4，
故选：C．
离原点最近的即是绝对值最小的数，依次求出绝对值进行比较即可选出正确答案．
本题考查数轴相关知识，掌握数轴中绝对值的概念是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：11000000=1.1×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是③．
故选：C．
应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了几何体的展开图，熟练应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：9−3x>0①7−2x≤5②，
解不等式①，得：x<3，
解不等式②，得：x≥1，
如图，在数轴上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式组的解集是：1≤x<3．
故选：B．
解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组的关键是确定两个不等式解集的公共部分．
5.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=12(180°−∠AOB)=55°．
故选：B．
由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA=OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
【解答】
解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
7.【答案】2 3
【解析】解： 12= 4×3= 22×3=2 3，
故答案为：2 3．
根据二次根式的性质进行化简．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8.【答案】3a3
【解析】解：3a4÷a=3a3．
故答案为：3a3．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9.【答案】x(x−9)
【解析】解：原式=x(x−9)．
故答案为：x(x−9)．
直接利用提公因式法分解因式即可．
此题考查的是提公因式法因式分解，能够找到公因式是解决此题关键．
10.【答案】5
【解析】解：3x−2=1，
方程两边同乘x−2，得3=x−2，
移项得：x=5，
检验：当x=5时，x−2≠0，所以x=5是原方程的解，
故答案为：5．
方程两边都乘x−2得出3=x−2，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
11.【答案】2 3−23π
【解析】解：如图，作DH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，∠C=∠A=60°，
在Rt△ADH中，DH=AD⋅sin60°= 3，
∴S阴=S菱形ABCD−S扇形CDB=2× 3−60π×22360=2 3−23π，
故答案为：2 3−23π.
如图，作DH⊥AB于H.求出DH，根据S阴=S菱形ABCD−S扇形CDB，计算即可．
本题考查扇形的面积公式，菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12.【答案】10
【解析】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，
∴AB=2EF=20，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，AB=20，
∴CD=12AB=10，
故答案为：10．
根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB的长是解本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB=AD=4，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠ABD=60°，
∴∠DBC=30°，
∵DH⊥BC，
∴DH=12BD=2，
∴点D到BC的距离是2，
故答案为：2．
由旋转的性质可得AB=AD=4，∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】163
【解析】解：如下图，
△AOB∽△DOC，AB=2，CD=4，
∴S△AOB：S△DOC=AB2：CD2=1：4，
设S△AOB=x，则S△DOC=4x，
∵△CDB与△ABD同底，
∴S△CDB：S△ABD=CD：AB=2：1，
令S△OBD=a，则有，
S△ABD=S△AOB+S△OBD=x+a，
S△CDB=S△DOC+S△OBD=4x+a，
∵S△CDB：S△ABD=CD：AB=2：1，
∴(4x+a)：(x+a)=2：1，解得a=2x，
∴S△CDB=S△DOC+S△OBD=4x+a=4x+2x=6x，
∵S△CDB=12CD⋅BD=12×4×4=8，
∴6x=8，解得x=43，
∵S△DOC=4x，
∴S△DOC=4x=4×43=163，
∴阴影部分的面积为163．
故答案为：163．
利用三角形相似的性质和根据三角形同底不同高的性质，求出面积之比，再进行计算即可求出其面积的值．
本题考查了三角形面积的计算，充分利用三角形的相似和同底三角形的性质求得三角形面积之间的关系是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
15.【答案】解：原式=4−a2+a2+a
=a+4，
当a= 2−4时，原式= 2−4+4= 2−(4−4)= 2．
【解析】利用平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：(1)∵共有四张奖券，两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶，
∴随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是24=12．
故答案为：12．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果有4种，
∴小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率为412=13．
(1)直接利用概率公式求解即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数，以及小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17.【答案】解：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米，
根据题意得：x+y=180x8+y12=20，
解得：x=120y=60，
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【解析】设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米，根据现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．共用时20天．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B，
∴∠D=∠B，
在△ABC和△CDE中
∠B=∠D∠ACB=∠EAC=CE,
∴△ABC≌△CDE(AAS)．
【解析】首先根据AC//DE，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，再根据∠ACD=∠B证出∠D=∠B，再由∠ACB=∠E，AC=CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，
19.【答案】解：(1)如图①所示，阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
(2)如图②所示，阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
(3)如图③所示，阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
【解析】(1)依据轴对称图形以及中心对称图形的定义，即可得到图形；
(2)依据轴对称图形以及中心对称图形的定义，即可得到图形；
(3)依据轴对称图形以及中心对称图形的定义，即可得到图形．
本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换作图，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
20.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
∵横坐标为2的点A在直线y=12x上，
∴点A的坐标为(2,1)，
∴1=k2，
∴k=2；
(2)设点C(2m,m)，则点B(2m,m)，
∴BC=2m−2m=3，
∴2m2−3m−2=0，
∴m1=2，m2=−12，
m1=2，m2=−12都是方程的解，但m=−12不符合题意，
∴点B的坐标为(4,2)．
【解析】(1)把x=2代入y=12x得出点A坐标，从而求得反比例函数的解析式；
(2)设点C(2m,m)，根据BC//x轴，得点B(2m,m)，再由BC=3，列出方程求得m，检验得出答案．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解析式以及平行于坐标轴上两点间距离的求法是解题的关键．
21.【答案】解：延长DC交AB于点E，
则DE⊥AB，
设CE=x米，
在Rt△AEC中，∠ACE=60°，
∴AE=EC⋅tan60°= 3x(米)，
在Rt△BEC中，∠BCE=40°，
∴BE=EC⋅tan40°=0.84x(米)，
在Rt△AED中，∠D=30°，
∴DE=AEtan30∘= 3x 33=3x(米)，
∵CD=80米
∴DE−CE=CD，
∴3x−x=80，
∴x=40，
∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)=102.8≈103米，
∴桥墩AB的高度为103米．
【解析】延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，分别在Rt△AEC和Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE，在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE，根据CD=DE−CE，列方程求得x的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】12 0.37 100
【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，a=12，
调查人数为：12÷0.12=100(人)，即c=100，
b=37÷100=0.37，
故答案为：12，0.37，100；
(2)平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生所占的百分比为0.37+0.35=0.72，
1000×(0.37+0.35)=720(人)，
答：该校有1000名学生中平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的大约有720人．
(1)由统计图可知，a=12，根据频率=频数总数可求出调查人数，进而求出相应的频数或频率，确定a、b、c的值；
(2)求出平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生所占的百分比，即可求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
23.【答案】1 24
【解析】解：(1)由题意可知，修船共用了：13−5=8(分钟)，
修船过程中进水速度为：20÷5=4(吨/分钟)，
修船过程中，排水速度是4−(44−20)÷(13−5)=1(吨/分钟)，
∵修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
∴修船完工后，排水速度是4t/min，
∴a=13+44÷4=24；
故答案为：1；24；
(2)设修船完工后y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由题意，得13k+b=4424k+b=0，
解得k=−4b=96，
∴修船完工后y与x之间的函数关系式为y=−4x+96(13≤x≤24)；
(3)在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的12时，可得20+(4−1)×(x−5)=44×12，
解得x=173；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的12时，可得−4x+96=44×12，
解得x=372．
故x的值为173或372．
(1)修船共用了13−5=8(分钟)，修船过程中进水速度为：20÷5=4(吨/分钟)，修船过程中，排水速度是4−(44−20)÷(13−5)=1(吨/分钟)，a=13+44÷4=24；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)分修船过程和修船完工后两种情况解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
24.【答案】1110
【解析】[问题原型]：证明：∵CD是AB边的中线，CD=12AB．
∴CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠DCB，
∵∠ACD+∠CAD+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACB=90°；
[结论应用]：证明：如图②，连接AA′，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，
∴AD=A′D=BD，CD⊥AA′，
∴∠AA′B=90°，∠AOD=90°，
∴∠AA′B=∠AOD=90°，
∴CD//A′B；
[应用拓展]：如图③，连接AA′，过点D作DH⊥AE于H，
∵S▱ABCD=12，AB=5，
∴AB×DH=12，
∴DH=125，
∴AH= AD2−DH2= 9−14425=95，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE=52，
∴HE=AE−AH=710，
∴DE= DH2+HE2=52，
∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，
∴AE=A′E=BE，AA′⊥DE，AO=A′O，
∴∠AA′B=90°=∠AOE，
∴DE//BF，
又∵DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF=52，
∵S△ADE=12×AE×DH=12×DE×AO，
∴52×125=52×AO，
∴AO=125，
∴OE= AE2−AO2=710，
∵AE=BE，AO=A′O，
∴BA′=2OE=75，
∴A′F=BE−BA′=52−75=1110，
故答案为：1110．
[问题原型]：由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠DCB，由三角形内角和定理可得结论；
[结论应用]：由折叠的性质可得AD=A′D=BD，CD⊥AA′，可得∠AA′B=∠AOD=90°，可得结论；
[应用拓展]：由折叠的性质可得AE=A′E=BE，AA′⊥DE，AO=A′O，可得∠AA′B=90°=∠AOE，可证DE=BF=52，由勾股定理可求EO的长，由三角形中位线定理可求A′B，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．
25.【答案】解：(1)点P在BD上时，PB=t−4；
(2)如图，当点P落在BD上时，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= AB2+AD2=10，
∵cos∠ABD=ABBD=PBAB=810，
即t−88=810，
解得t=725．
如图，当点P落在CD上时，DP=t−18，
∵AP⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠DPA=90°，
∴∠DPA=∠1，
∴tan∠1=ABAD=ADDP=86，
∴6t−18=86，
解得t=452．
综上所述，t=725或452．
(3)①如图，当点P在AB上时，0
∴S=12AP2=12t2．
②点P在BD上时，8
∴PMt−4=35，
∴PM=35(t−4)，
BM=BP⋅cos∠ABD=45(t−4)，
∴AM=AB−BM=4−45(t−4)=−45t+365，
∴AP2=AM2+MP2=t2−725t+2885，
∴S=12AP2=12t2−365t+1445．
③点P在CD上时，9
∵AP2=AD2+DP2=t2−18t+90，
∴S=12AP2=12t2−9t+45．
综上所述，S=12t2(0
(2)分类讨论点P在BD上或CD上，通过cos∠ABD=ABBD=PBAB及tan∠ABD=ABAD=ADDP求解；
(3)由正方形面积等于12对角线乘积，分类讨论点P在AB，BD，CD三种情况求解．
本题考查图形动点问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法．
26.【答案】解：(1)由题意得，
c=−3a+94+c=0,
∴a=34c=−3，
∴y=34x2+94x−3；
(2)①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD//OC，
∴∠OCE=∠CPD=45°，
∵∠COE=90°，
∴∠CEO=90°−∠ECO=45°，
∴∠CEO=∠OCE，
∴OE=OC=3，
∴点E(3,0)，
∴直线PE的解析式为：y=x−3，
由34x2+94x−3=x−3得，
∴x1=−53，x2=0(舍去)，
当x=−53时，y=−53−3=−143，
∴P(−53,−143)；
②如图2，
设点P(m,34m2+94m−3)，四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP=∠E′PC，CE=CE′，
∵PE//y轴，
∴∠EPC=∠PCE′，
∴∠ECP=∠EPC，
∴PE=CE，
∴PE=CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE=PE，
∵y=34x2+94x−3=0，解得x=−4或x=1，
∴B(−4,0)，BC=5，
∵EF//OA，
∴CEBC=EFOB，
∴CE5=−m4，
∴CE=−54m，
∴CF=−34m，
∵PE=−3−34m−(34m2+94m−3)=−34m2−3m，
∴−54m=−34m2−3m，
∴m1=0(舍去)，m2=−73，
∴CE=54×73，
∴l=4CE=4×54×73=353，
当点P在第二象限时，
同理可得：
−54m=34m2+3m，
∴m3=0(舍去)，m4=−173，
∴l=4×54×173=853，
综上所述：四边形PECE′的周长为：353或853．
【解析】(1)将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
(2)①可推出△COE为等腰直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出PE的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
②可推出四边形PECE′是菱形，从而得出PE=CE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
2023年吉林省四平市伊通县五校联考中考数学五模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是( )
A. −2 B. 1.3 C. −0.4 D. 0.6
2. 2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上，数据11000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.11×108 B. 1.1×107 C. 11×106 D. 1.1×106
3. 如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. 不等式组9−3x>07−2x≤5的解集在以下数轴表示中正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 ( )
A. 35° B. 55° C. 60° D. 70°
6. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km(如图).能解释这一现象的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 化简 12的结果为______．
8. 计算3a4÷a的结果是______ ．
9. 因式分解：x2−9x=______．
10. 分式方程3x−2=1的解是x=______．
11. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，以C为圆心，CB长为半径画弧，图中阴影部分的面积为______ ．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为______．
13. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是______．
14. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为______．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a+1)，其中a= 2−4，
16. (本小题5.0分)
2022年冬奥会和残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大众喜爱，某校九年(1)班的迎新年班队课上，老师在抽奖环节准备了四张奖券，它们的形状外观大小完全一样，已知四张奖券中有两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶(记作A1，A2)，有一张代表残奥会吉祥物“雪容融”玩偶(记作B)，还有一张代表虎年特制的小老虎玩偶(记作C)．
(1)随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是______．
(2)小丽同学在课堂上表现出色，获得了两张奖券，并且获得了优先抽奖资格．请利用树状图或列表法，求小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率．
17. (本小题5.0分)
吉林市在创建卫生文明城中，对城内的河道进行整治.现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天.求整治任务完成后甲、乙工程队分别整治河道的长度．
18. (本小题5.0分)
已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC//DE，AC=CE，∠ACD=∠B.求证：△ABC≌△CDE．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
20. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x>0)与直线y=12x相交于横坐标为2的点A．
(1)求k的值；
(2)如果点B在直线y=12x上，点C在双曲线y=kx(x>0)上，BC//x轴，BC=3，且BC在点A上方，求点B的坐标．
21. (本小题7.0分)
为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， 3≈1.73)
22. (本小题7.0分)
为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t(单位：h)，并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间t/h
频数
频率
1≤t<2
3
2≤t<3
a
0.12
3≤t<4
37
b
4≤t<5
0.35
5≤t<6
合计
c
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，c=______；
(2)若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生人数．
23. (本小题8.0分)
一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为y(t)，时间为x(min)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)修船过程中排水速度为______t/min，a的值为______．
(2)求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当船内积水量是船内最高积水量的12时，直接写出x的值．
24. (本小题8.0分)
[问题原型]如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD=12AB．
求证：∠ACB=90°．
[结论应用]如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连结A′B．
求证：A′B//CD．
[应用拓展]如图③，在▱ABCD中，∠A<90°，点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连结BA′并延长，交CD于点F.若AB=5，AD=3，S▱ABCD=12，则A′F的长为______．
25. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，连结BD.点P从点A出发，沿折线AB−BD−DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF(点F在直线AP的右侧).设正方形AEPF的面积为S(平方单位)，点P的运动时间为t(秒)．
(1)当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长；
(2)当AP⊥BD时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
26. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+94x+c与x轴交于点A(1,0)和点B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD=45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】∵|−2|=2，|1.3|=1.3，|−0.4|=0.4，|0.6|=0.6，
∴0.4<0.6<1.3<2，
又∵离原点最近的即是绝对值最小的数，
∴离原点最近的是−0.4，
故选：C．
离原点最近的即是绝对值最小的数，依次求出绝对值进行比较即可选出正确答案．
本题考查数轴相关知识，掌握数轴中绝对值的概念是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：11000000=1.1×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是③．
故选：C．
应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了几何体的展开图，熟练应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：9−3x>0①7−2x≤5②，
解不等式①，得：x<3，
解不等式②，得：x≥1，
如图，在数轴上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式组的解集是：1≤x<3．
故选：B．
解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组的关键是确定两个不等式解集的公共部分．
5.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=12(180°−∠AOB)=55°．
故选：B．
由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA=OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
【解答】
解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
7.【答案】2 3
【解析】解： 12= 4×3= 22×3=2 3，
故答案为：2 3．
根据二次根式的性质进行化简．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8.【答案】3a3
【解析】解：3a4÷a=3a3．
故答案为：3a3．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9.【答案】x(x−9)
【解析】解：原式=x(x−9)．
故答案为：x(x−9)．
直接利用提公因式法分解因式即可．
此题考查的是提公因式法因式分解，能够找到公因式是解决此题关键．
10.【答案】5
【解析】解：3x−2=1，
方程两边同乘x−2，得3=x−2，
移项得：x=5，
检验：当x=5时，x−2≠0，所以x=5是原方程的解，
故答案为：5．
方程两边都乘x−2得出3=x−2，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
11.【答案】2 3−23π
【解析】解：如图，作DH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，∠C=∠A=60°，
在Rt△ADH中，DH=AD⋅sin60°= 3，
∴S阴=S菱形ABCD−S扇形CDB=2× 3−60π×22360=2 3−23π，
故答案为：2 3−23π.
如图，作DH⊥AB于H.求出DH，根据S阴=S菱形ABCD−S扇形CDB，计算即可．
本题考查扇形的面积公式，菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12.【答案】10
【解析】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，
∴AB=2EF=20，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，AB=20，
∴CD=12AB=10，
故答案为：10．
根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB的长是解本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB=AD=4，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠ABD=60°，
∴∠DBC=30°，
∵DH⊥BC，
∴DH=12BD=2，
∴点D到BC的距离是2，
故答案为：2．
由旋转的性质可得AB=AD=4，∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】163
【解析】解：如下图，
△AOB∽△DOC，AB=2，CD=4，
∴S△AOB：S△DOC=AB2：CD2=1：4，
设S△AOB=x，则S△DOC=4x，
∵△CDB与△ABD同底，
∴S△CDB：S△ABD=CD：AB=2：1，
令S△OBD=a，则有，
S△ABD=S△AOB+S△OBD=x+a，
S△CDB=S△DOC+S△OBD=4x+a，
∵S△CDB：S△ABD=CD：AB=2：1，
∴(4x+a)：(x+a)=2：1，解得a=2x，
∴S△CDB=S△DOC+S△OBD=4x+a=4x+2x=6x，
∵S△CDB=12CD⋅BD=12×4×4=8，
∴6x=8，解得x=43，
∵S△DOC=4x，
∴S△DOC=4x=4×43=163，
∴阴影部分的面积为163．
故答案为：163．
利用三角形相似的性质和根据三角形同底不同高的性质，求出面积之比，再进行计算即可求出其面积的值．
本题考查了三角形面积的计算，充分利用三角形的相似和同底三角形的性质求得三角形面积之间的关系是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
15.【答案】解：原式=4−a2+a2+a
=a+4，
当a= 2−4时，原式= 2−4+4= 2−(4−4)= 2．
【解析】利用平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：(1)∵共有四张奖券，两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶，
∴随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是24=12．
故答案为：12．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果有4种，
∴小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率为412=13．
(1)直接利用概率公式求解即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数，以及小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17.【答案】解：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米，
根据题意得：x+y=180x8+y12=20，
解得：x=120y=60，
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【解析】设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米，根据现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．共用时20天．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B，
∴∠D=∠B，
在△ABC和△CDE中
∠B=∠D∠ACB=∠EAC=CE,
∴△ABC≌△CDE(AAS)．
【解析】首先根据AC//DE，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，再根据∠ACD=∠B证出∠D=∠B，再由∠ACB=∠E，AC=CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，
19.【答案】解：(1)如图①所示，阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
(2)如图②所示，阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
(3)如图③所示，阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
【解析】(1)依据轴对称图形以及中心对称图形的定义，即可得到图形；
(2)依据轴对称图形以及中心对称图形的定义，即可得到图形；
(3)依据轴对称图形以及中心对称图形的定义，即可得到图形．
本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换作图，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
20.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
∵横坐标为2的点A在直线y=12x上，
∴点A的坐标为(2,1)，
∴1=k2，
∴k=2；
(2)设点C(2m,m)，则点B(2m,m)，
∴BC=2m−2m=3，
∴2m2−3m−2=0，
∴m1=2，m2=−12，
m1=2，m2=−12都是方程的解，但m=−12不符合题意，
∴点B的坐标为(4,2)．
【解析】(1)把x=2代入y=12x得出点A坐标，从而求得反比例函数的解析式；
(2)设点C(2m,m)，根据BC//x轴，得点B(2m,m)，再由BC=3，列出方程求得m，检验得出答案．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解析式以及平行于坐标轴上两点间距离的求法是解题的关键．
21.【答案】解：延长DC交AB于点E，
则DE⊥AB，
设CE=x米，
在Rt△AEC中，∠ACE=60°，
∴AE=EC⋅tan60°= 3x(米)，
在Rt△BEC中，∠BCE=40°，
∴BE=EC⋅tan40°=0.84x(米)，
在Rt△AED中，∠D=30°，
∴DE=AEtan30∘= 3x 33=3x(米)，
∵CD=80米
∴DE−CE=CD，
∴3x−x=80，
∴x=40，
∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)=102.8≈103米，
∴桥墩AB的高度为103米．
【解析】延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，分别在Rt△AEC和Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE，在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE，根据CD=DE−CE，列方程求得x的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】12 0.37 100
【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，a=12，
调查人数为：12÷0.12=100(人)，即c=100，
b=37÷100=0.37，
故答案为：12，0.37，100；
(2)平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生所占的百分比为0.37+0.35=0.72，
1000×(0.37+0.35)=720(人)，
答：该校有1000名学生中平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的大约有720人．
(1)由统计图可知，a=12，根据频率=频数总数可求出调查人数，进而求出相应的频数或频率，确定a、b、c的值；
(2)求出平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生所占的百分比，即可求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
23.【答案】1 24
【解析】解：(1)由题意可知，修船共用了：13−5=8(分钟)，
修船过程中进水速度为：20÷5=4(吨/分钟)，
修船过程中，排水速度是4−(44−20)÷(13−5)=1(吨/分钟)，
∵修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
∴修船完工后，排水速度是4t/min，
∴a=13+44÷4=24；
故答案为：1；24；
(2)设修船完工后y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由题意，得13k+b=4424k+b=0，
解得k=−4b=96，
∴修船完工后y与x之间的函数关系式为y=−4x+96(13≤x≤24)；
(3)在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的12时，可得20+(4−1)×(x−5)=44×12，
解得x=173；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的12时，可得−4x+96=44×12，
解得x=372．
故x的值为173或372．
(1)修船共用了13−5=8(分钟)，修船过程中进水速度为：20÷5=4(吨/分钟)，修船过程中，排水速度是4−(44−20)÷(13−5)=1(吨/分钟)，a=13+44÷4=24；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)分修船过程和修船完工后两种情况解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
24.【答案】1110
【解析】[问题原型]：证明：∵CD是AB边的中线，CD=12AB．
∴CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠DCB，
∵∠ACD+∠CAD+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACB=90°；
[结论应用]：证明：如图②，连接AA′，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，
∴AD=A′D=BD，CD⊥AA′，
∴∠AA′B=90°，∠AOD=90°，
∴∠AA′B=∠AOD=90°，
∴CD//A′B；
[应用拓展]：如图③，连接AA′，过点D作DH⊥AE于H，
∵S▱ABCD=12，AB=5，
∴AB×DH=12，
∴DH=125，
∴AH= AD2−DH2= 9−14425=95，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE=52，
∴HE=AE−AH=710，
∴DE= DH2+HE2=52，
∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，
∴AE=A′E=BE，AA′⊥DE，AO=A′O，
∴∠AA′B=90°=∠AOE，
∴DE//BF，
又∵DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF=52，
∵S△ADE=12×AE×DH=12×DE×AO，
∴52×125=52×AO，
∴AO=125，
∴OE= AE2−AO2=710，
∵AE=BE，AO=A′O，
∴BA′=2OE=75，
∴A′F=BE−BA′=52−75=1110，
故答案为：1110．
[问题原型]：由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠DCB，由三角形内角和定理可得结论；
[结论应用]：由折叠的性质可得AD=A′D=BD，CD⊥AA′，可得∠AA′B=∠AOD=90°，可得结论；
[应用拓展]：由折叠的性质可得AE=A′E=BE，AA′⊥DE，AO=A′O，可得∠AA′B=90°=∠AOE，可证DE=BF=52，由勾股定理可求EO的长，由三角形中位线定理可求A′B，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．
25.【答案】解：(1)点P在BD上时，PB=t−4；
(2)如图，当点P落在BD上时，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= AB2+AD2=10，
∵cos∠ABD=ABBD=PBAB=810，
即t−88=810，
解得t=725．
如图，当点P落在CD上时，DP=t−18，
∵AP⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠DPA=90°，
∴∠DPA=∠1，
∴tan∠1=ABAD=ADDP=86，
∴6t−18=86，
解得t=452．
综上所述，t=725或452．
(3)①如图，当点P在AB上时，0
∴S=12AP2=12t2．
②点P在BD上时，8
∴PMt−4=35，
∴PM=35(t−4)，
BM=BP⋅cos∠ABD=45(t−4)，
∴AM=AB−BM=4−45(t−4)=−45t+365，
∴AP2=AM2+MP2=t2−725t+2885，
∴S=12AP2=12t2−365t+1445．
③点P在CD上时，9
∵AP2=AD2+DP2=t2−18t+90，
∴S=12AP2=12t2−9t+45．
综上所述，S=12t2(0
(2)分类讨论点P在BD上或CD上，通过cos∠ABD=ABBD=PBAB及tan∠ABD=ABAD=ADDP求解；
(3)由正方形面积等于12对角线乘积，分类讨论点P在AB，BD，CD三种情况求解．
本题考查图形动点问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法．
26.【答案】解：(1)由题意得，
c=−3a+94+c=0,
∴a=34c=−3，
∴y=34x2+94x−3；
(2)①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD//OC，
∴∠OCE=∠CPD=45°，
∵∠COE=90°，
∴∠CEO=90°−∠ECO=45°，
∴∠CEO=∠OCE，
∴OE=OC=3，
∴点E(3,0)，
∴直线PE的解析式为：y=x−3，
由34x2+94x−3=x−3得，
∴x1=−53，x2=0(舍去)，
当x=−53时，y=−53−3=−143，
∴P(−53,−143)；
②如图2，
设点P(m,34m2+94m−3)，四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP=∠E′PC，CE=CE′，
∵PE//y轴，
∴∠EPC=∠PCE′，
∴∠ECP=∠EPC，
∴PE=CE，
∴PE=CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE=PE，
∵y=34x2+94x−3=0，解得x=−4或x=1，
∴B(−4,0)，BC=5，
∵EF//OA，
∴CEBC=EFOB，
∴CE5=−m4，
∴CE=−54m，
∴CF=−34m，
∵PE=−3−34m−(34m2+94m−3)=−34m2−3m，
∴−54m=−34m2−3m，
∴m1=0(舍去)，m2=−73，
∴CE=54×73，
∴l=4CE=4×54×73=353，
当点P在第二象限时，
同理可得：
−54m=34m2+3m，
∴m3=0(舍去)，m4=−173，
∴l=4×54×173=853，
综上所述：四边形PECE′的周长为：353或853．
【解析】(1)将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
(2)①可推出△COE为等腰直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出PE的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
②可推出四边形PECE′是菱形，从而得出PE=CE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
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