北京市门头沟区2023届高三数学综合练习(一)试题（Word版附解析）

这是一份北京市门头沟区2023届高三数学综合练习(一)试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 复数，则， 在声学中，音量被定义为，002等内容，欢迎下载使用。
门头沟区2023年高三年级综合练习（一）
高三数学
2023.4
一､选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，，
因此，.
故选：A.
2. 复数，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数运算即可求出结果.
【详解】，
，
故选：B.
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率可得，可得出、的等量关系，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得，则，故，
所以，双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
4. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】B
【解析】
【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和得第二天织布数.
【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列，
由题知，得，所以第二天织布尺数为.
故选：B.
5. 若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.
【详解】如下图所示：

直线的斜率为，倾斜角为，故，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知直线交轴于点，所以，，
由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，
由圆的几何性质可知，且，则，
故.
故选：A.
6. 在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角与的终边构成一条直线得，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以，
所以
，
又，
所以.
故选：C.
7. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）

A. 音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C. 240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D. 240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；
对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.
故选：D.
8. 已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】取为方向相反单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，得到答案.
【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，
，不充分；
若，则，整理得到，
若且，设夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性成立.
综上所述：“与共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9. 已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题得，根据函数的单调性得到，所以，，构造函数，利用导数研究函数的性质，从而得到实数的取值范围.
【详解】由，可得，
设函数，则在R上恒成立，
所以单调递增，所以，
则，，
令，，则，当时，，
令得：，令得：，
所以，又，，其中，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
10. 已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】由递推公式，判断每个命题的正误.
【详解】①，，，所以，由递推关系得，①正确；
②，，，，则，所以②不正确；
③，所以，
累加得，，所以，，所以（，），，故成立，③正确；
④，，累乘得，，所以，④正确.
故选：C.
【点睛】将递推公式变形为和分别进行累加和累乘，得的取值范围.
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.）
11. 在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理通项公式写出通项，再令，求出，代入即可求解.
【详解】由二项式定理的通项公式得：，
则令，求出，所以的系数为：.
故答案为：.
12. 在边长为的正三角形中，点是边上的中点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为为边上的中点，则，
因为，所以，，
所以，
.
故答案为：.
13. 同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________.
【答案】0.86
【解析】
【分析】由全概率公式计算所求概率.
【详解】由全概率公式，得所求概率.
故答案为：.
14. 设函数.
①给出一个的值，使得的图像向右平移个单位后得到的函数的图像关于原点对称，则ω的一个取值为___________；
②若在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】，取，计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案.
【详解】，
取得到满足条件.
，则，有且仅有两个零点，
则，解得，
故答案为：；
15. 在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.

①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【解析】
【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断①；取、分别为、的中点，利用中位线的性质以及平行线的传递性可判断②；利用二面角的定义可判断③；将和延展至同一平面，分析可知当时，取最小值，根据三角形边与角的关系可求得的最小值，可判断④.
【详解】对于①，因为，则、、、四点共面，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，①对；
对于②，当、分别为、的中点时，，
又因为，此时，②错；
对于③，因为、，平面即为平面，平面即为平面，
所以，二面角即为二面角，
而二面角为定值，
故二面角为定值，③错；
对于④，因为平面，平面，则，同理可得，
因，同理可得，，
将和延展至同一平面，如下图所示：

在中，，，
因为，，，所以，，
所以，，故，
所以，，
当时，取最小值，且最小值为，④对.
故答案为：①④.
三､解答题（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明.）
16. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.D是AB的中点，，.
（1）求∠A的大小；
（2）求a的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理得，进而求得A；
（2）在和中分别使用余弦定理，计算a的值.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得：，因为，所以，
得，因为，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：(负值舍去)，则，
在中，由余弦定理得：，所以.
所以.
17. 周末李梦提出和父亲､母亲､弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲､母亲､弟弟比赛的情况，得到如下统计表：

父亲
母亲
弟弟
比赛的次数
50
60
40
李梦获胜的次数
10
30
32
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
（1）如果按照第一场与父亲比赛､第二场与母亲比赛､第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.
（i）求李梦连胜三场的概率；
（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；
（2）记“与父亲､母亲､弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲，母亲，弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明.
【答案】（1）（i）；（ii）答案见解析
（2）有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈
【解析】
【分析】（1）李梦获胜的概率分别为，，，计算即可，的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
（2）出场顺序共有6种，分别计算概率，比较大小即可.
【小问1详解】
李梦与爸爸比赛获胜概率为；与妈妈比赛获胜概率为；与弟弟比赛获胜概率为；
则李梦连胜三场的概率为，
的可能取值为，
则；
；
；
.
故分布列为











【小问2详解】
若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：；
若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：；
若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：；
若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：；
若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：；
若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：；
故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大.
18. 如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.

（1）证明：；
（2）再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离.
①；②.
【答案】（1）证明见解析.
（2）二面角的余弦值为，点A到平面BPC距离为
【解析】
【分析】（1）先证明平面，即得；
（2）由所选条件先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，计算法向量的夹角余弦，计算的投影的绝对值，即可得二面角的余弦及A到平面BPC的距离.
【小问1详解】

证明：连接，，
因为，所以，同理得：，
又因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以.
【小问2详解】
选择①，
由题，所以，同理得，
则，，所以，由（1）可得，
所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，

则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
平面一个法向量，可得，，
所以二面角的余弦值为.
，，点到平面的距离，
所以A到平面BPC的距离为.
选择②
由（1）得，，，平面，平面，，所以，
由题，则，
可得为直角三角形，，得，
所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，

则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
平面的一个法向量，可得，，
所以二面角的余弦值为.
，，点到平面的距离，
所以A到平面BPC的距离为.
19. 已知.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）求证：；
（3）若在恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）当时，利用导数求得，即可证得结论成立；
（3）分析可知对任意的，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，则，
则，，
所以，函数在点处的切线方程为.
【小问2详解】
解：当时，，该函数的定义域为，
则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即.
【小问3详解】
解：，则，且，
由题意可知，对任意的，.
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，所以，.
①当时，即当时，，
此时函数上单调递增，
故当时，，合乎题意；
②当时，即当时，由可得，即，
此时，
解得，，则，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20. 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为.
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点分别为，
【解析】
【分析】（1）由离心率，及顶点坐标得椭圆的方程；
（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，，由垂直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点.
【小问1详解】
由题可得，，得，
所以椭圆的方程：；
【小问2详解】
椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，
设，，
由题，联立方程组，消去x得，
所以，，
，得，同理，，得，
设轴上一点，则，同理得:，
，
因为，

得：，即或，
所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，.
21. 已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.
（1）当，即集合.
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
（2）证明：；
（3）证明：.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
分析】（1）取，验证得到答案.
（2）若，，，从大到小取个元素，得到中任意4个元素之和，得到证明.
（3）集合的元素按和为分组，和把集合的元素按和为分组，确定中必有一个与没有公共元素，设，的4个元素满足条件，得到时成立，得到证明.
【小问1详解】
取，则，满足条件；
取，则；；
；；；
满足条件.
【小问2详解】
若，，，从大到小取个元素，
，，或，，
则中任意4个元素之和，不成立，故.
【小问3详解】
当时，把集合的元素按和为分组，得：
，
易得，中至少有2个二元子集满足．
若把集合的元素按和为分组，得：
．
易得，中至少有3个二元子集满足．
而集合两两互不相交，与中每一个至多有一个公共元素，
所以，中必有一个与没有公共元素，不妨设，
则的4个元素就是的4个互异元素，而这4个元素的和为．
又，所以．
【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将集合按照和为与和为分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.