北京市通州区2022-2023学年高一数学下学期期中质量检测试题（Word版附解析）

这是一份北京市通州区2022-2023学年高一数学下学期期中质量检测试题（Word版附解析），共15页。
通州区2022-2023学年第二学期高一年级期中质量检测
数学试卷2023年4月
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数的虚部为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的定义，即可求解．
【详解】的虚部为．
故选：C．
2. 在复平面内，点对应的复数的模等于（ ）
A. 5 B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数模公式，即可得到答案．
【详解】点对应的复数为，则其模为．
故选：B．
3. 设，是单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位向量的定义，即可得解．
【详解】由是单位向量，知，但单位向量的方向不确定，
所以选项A，B和C均错误，选项D正确．
故选：D．
4. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设向量与夹角为，求出、和的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，设向量与夹角为，
向量，，
则，，，
则．
故选：A．
5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.
【详解】解：因为向量，且，那么，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：C.
6. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法分析“”和“”的关系，由此分析可得答案．
【详解】根据题意，当时，向量，，
则，有，则有，
反之，若，则，
则，解可得或1，不一定成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
7. 如图所示，点在线段上，且，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，即.
故选：C.
8. 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本事件的定义，列举即可．
【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，
则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
故选：C.
9. 若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（ ）
A. 0.10 B. 0.15 C. 0.40 D. 0.45
【答案】B
【解析】
【分析】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，.
【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，
则，，则，.
故选：B.
10. 已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，且与的方向不同，然后利用列举法列出满足条件的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】向量与所成的角为锐角等价于，且与的方向不同，
即，
则满足条件的向量有，
其中或时，与同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，
又的取法共有种，
则向量与所成的角为锐角的概率是．
故选：B．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知i是虚数单位，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的乘方运算，即可求解．
【详解】．
故答案为：．
12. 在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，则sinC=_____.
【答案】
【解析】
【分析】已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值.
【详解】∵AB=2，AC=3，A=60°，
∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×37，
∵BC>0，
∴BC.
∴由正弦定理，可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.
13. 某人射击中靶的概率为0.9，连续射击3次，每次射击的结果互不影响，则至少中靶一次的概率是_________．
【答案】0.999##
【解析】
【分析】由题意知本题符合独立重复试验的条件，是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，代入公式得到结果．
【详解】由题意知本题是一个独立重复试验，
∵每次中靶的概率均为0.9，
经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，
．
故答案为：0.999．
14. 一条河宽为，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为，水流速度的大小为，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】首先利用向量的模求出合速度，进一步利用求出结果．
【详解】如图所示：

所以
故．
故答案为：3．
15. 在正方形中，，P为边的中点，Q为边的中点，M为边（包括端点）上的动点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标计算公式，结合一次函数的性质即可求解.
【详解】
如图，以为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设，则，
所以，
所以.
故答案为：.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知，i是虚数单位，复数与互为共轭复数．
（1）求a，b的值，并指出复平面内对应的点所在的象限；
（2）计算，，；
（3）当实数取什么值时，复数是下列数？
①实数；②虚数；③纯虚数．
【答案】（1），，第四象限；
（2），，
（3）①；②；③.
【解析】
【分析】（1）直接由共轭复数的概念求a与b的值，再求出对应的点的坐标得答案；
（2）直接利用复数代数形式的乘除运算得答案；
（3），再由复数的基本概念求解①②③中的值．
【小问1详解】
因为与互为共轭复数，
所以，．
所以，．
所以复平面内对应的点的坐标为，
所以复平面内对应点在第四象限．
【小问2详解】
，
，
．
【小问3详解】
.
①当，即时，复数是实数．
②当，即时，复数是虚数．
③当，且，即时，复数是纯虚数．
17. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）求的值；
（2）设点M是坐标平面内一点，且四边形是平行四边形，求点M的坐标；
（3）若点N是直线上的动点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）-2
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标表示求模长即可；
（2）由平行四边形的几何性质，结合向量共线的充要条件计算即可；
（2）由直线PO的方程设N坐标，根据数量积的坐标表示计算求最值即可.
【小问1详解】
由题意可知；
【小问2详解】
如图所示，因为四边形是平行四边形，故有，设，
即，解之得；
【小问3详解】
易知直线OP为，不妨设，则，当时，即时，取得最小值-2.

18. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．
（1）从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
（2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
（3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数，事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.
如表1所示．
表1
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1





2





3





4





5





第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．
记 “第一次摸到白球”，则．
【小问2详解】
在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示．
表2
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1
×




2

×



3


×


4



×

5




×
第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.
记 “第二次摸到白球”，则．
【小问3详解】
“同时摸出两个球”的基本事件有，共10件，
其中至少摸到一个白球基本事件有，共7件，
记 “至少摸到一个白球”，则.
19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与垂直．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合正弦定理和同角的商数关系，可得所求角；
（2）运用余弦定理求得c，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．
【小问1详解】
因为，所以，　
即．
由正弦定理得．
因为，所以， 所以，所以．
因为，所以．
【小问2详解】
由余弦定理，得， 　
所以，
解得，或（舍）．
所以的面积．
20. 在中，角的对边分别为.
（1）求的大小；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】（1）.
（2）条件①：；条件③：.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.
（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得有两解，不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.
【小问1详解】
在中因为，
由正弦定理得，
所以，即，
又因为，，所以，.
【小问2详解】
设边上的高为，
条件①：因为，所以 ，，
所以，根据三角形全等（角角边）可知存且唯一确定.
所以，
则，解得，即边上的高为.
条件②：由余弦定理得，即，
解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意.
条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，
由余弦定理得，即，解得，
则，解得，即边上的高为.
21. 若函数，则称向量为函数的特征向量，函数为向量的特征函数．
（1）若函数，求的特征向量；
（2）若向量特征函数为，求当，且时的值；
（3）已知点，设向量的特征函数为，函数．在函数的图象上是否存在点Q，使得？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在理由见解析
【解析】
【分析】（1）由三角函数的和差公式可得，再结合特征向量的定义，即可得出答案．
（2）由特征向量的定义可得，代入解得，再计算，最后利用两角和差公式即可得出答案．
（3）由特征向量的定义可得，三角函数倍角公式可得，若函数的图象上是否存在点Q，使得；再计算其数量积可得，再利用整体法结合余弦型函数的值域即可判断．
【小问1详解】
因为，
所以函数的特征向量.
【小问2详解】
因为，所以.
又 ．
所以． 　
因为，所以，
所以．
所以
．
【小问3详解】
不存在．理由如下：
由向量的特征函数为，得
，
所以．
设函数的图象上任一点，
则，．
所以
．
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，时取等号．
所以．
所以函数的图象上任一点Q，都不能使得．
即函数的图象上不存在点Q，使得．
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是计算出，然后再去设点，得到向量从而化简向量数量积为得，再利用整体法即可判断.