(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.4.1 函数的概念（2份打包，学生版+教师版）

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一 函数的概念
1 概念
设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
比如 贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应．
对函数概念的理解
① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．
② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应.

③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
2 定义域
① 概念：函数自变量的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
若为整式，则其定义域为实数集．
若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合．
若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合．
若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．
实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
3 值域
① 概念：函数值的取值范围
② 求值域的方法
配方法 数形结合 换元法
函数单调性法 分离常数法 基本不等式法
4 区间
区间的几何表示如下表所示：
【例】将下列集合用区间表示出来．
(1)；(2)；(3)；(4)或．

【题型1】函数概念的理解
【典题1】 下列式子中是的函数的是( )
A． B．
C． D．

【典题2】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是( )
A．B．C．D．
变式练习
1.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是 ( )
A． B．C．D．
2.给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是( )
① ②
③ ④．
①②③．④
3.设集，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是( )
A. B.C. D.
4.集合，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，为值域的函数关系的是( )
A． B． C． D．
5.函数与函数 ( )
是同一个函数定义域相同
图象重合值域相同
【题型2】 函数的定义域
【典题1】 求下列函数的定义域：
； ．
【典题2】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
变式练习
1.函数的定义域为 .
2.函数的定义域为 .
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
4.若函的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【题型3】 判断同一函数
【典题1】 下列各组函数中表示的函数不同的是( )
．
．

变式练习
1.在下列四组函数中，与表示同一函数的是( )
．
．．
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A． B．
C．D．，

1.由下列各式能确定是的函数是( )
A．B．
C．D．以上都不是
2.图中，能表示函数的图象的是( )
A． B． C．D．
3.下面各组函数中是同一函数的是( )
．与
与
．与
．与
4.关于函数与函数的叙述一定正确的是( )
定义域相同 对应关系相同
値域相同 定义域、値域、对应关系都可以不相同
5.函数的定义域为( )
A． B．C． D．
6.已知函数定义域为，则函数的定义域为( )
7.图中四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有________．
8.函数的定义域是_______．
9.函数的定义域为，求实数的取值范围.
10.若函的定义域为，求实数的取值范围。
高中要求
1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;
3 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
半开半闭区间
开区间
半开半闭区间
开区间
开区间