(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.4.2 函数的值域（2份打包，学生版+教师版）

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第2.4章 函数的概念与性质
2.4.2 函数的值域

高中要求
1理解函数值域的概念;
2会求常见函数的值域。

一 函数的概念
1 概念
设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2 定义域
① 概念：函数自变量的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
若为整式，则其定义域为实数集．
若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合．
若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合．
若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com]
实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
3 值域
① 概念：函数值的取值范围
② 求值域的方法
配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法

【题型1】 函数值域的概念
【典题1】 函数，的值域是(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 ，
当时，；当时，；当时，
函数，的值域是，故选：．

变式练习
1.的图像如右下图，则的值域为 ；

答案
2.函数的定义域是，则其值域是________．
答案
解析：当取时，，故函数值域为．
3.已知函数，则的值域是 　 ．
答案
解析 ；的值域为．

【题型2】 求函数的值域
【典题1】 求函数的值域．
由题意：函数，开口向上，对称轴，
画出函数如下，

函数在区间上的值域为．

【典题2】求函数的值域．
解析 ．
，，
，．
函数的值域为．

【典题3】求函数的值域．
解析 令，，(要注意新变量的取值范围)
则，
则，其在上的值域是，
(把函数转化为二次函数值域问题)
即函数的值域为.


变式练习
1.函数的值域为 .
答案
解析 在上递减，在上递增，
所以时，f(x)取得最小值；
时，取得最大值，故值域为．
2.函数的值域为 .
答案
解析 ，
函数图象如图：

由图可知，函数的值域为．
3.若函数的值域是　 　．
答案
解析 ，
时，，时，，时，，
函数的值域是：，
4.已知函数的定义域和值域都是，则实数的值为　 　．
答案 3
解析 ，
其图象如图，

由图可知，函数在上为增函数，
又函数的定义域和值域都是，
，解得：．
故答案为：．
5.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 　 ．
答案
解析 函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线

，
函数的定义域为，值域为，
，即的取值范围是.
6.函数的值域为 　 ．
答案
解析 设，则

值域为．
7. 已知二次函数，如果存在实数，使得的定义域和值域分别是和，求的值．
答案
解析 根据题意，二次函数的对称轴为，最大值为；
分种情况讨论：
①当时，在上递增，则有，
解可得，，此时；
②当时，f(x)的最小值为，解可得，
与矛盾，不符合题意；
③当时，在上递减，
若的值域分别是，必有，则有不符合题意；
故.


1.函数在上的值域为，则的值为(　　)
A． B． C．或1 D．
答案
解析 因为函数为单调函数，
当为单调递增函数时，若，则，所以，
当为单调递减函数时，若，则，所以，
所以或，
故选：．
2.设，若函数，当时，的范围为，则的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案
解析 ，函数，当时，的范围为，，
，解得．故选：．
3.函数的值域为(　　)
A．R B．[，+∞) C．(0，] D．(﹣∞，]
答案
解析
函数值域为：．
故选：．
4.函数的值域为(　　)

答案
解析 由题意：函数，
令，则函数的值域为，可得：，
那么：函数转化为，开口向下，对称轴，
，当时，函数取得最大值为，
即函数的最大值为．
函数的值域为(－∞，]．
故选：．
5.函数的值域为，则实数的取值范围为　 　
答案
解析 ，对称轴为，由，得或，
，，，即实数的取值范围是.
6.函数的值域是　 ．
答案
解析 ，
当时，，，即函数的值域为.
7.函数的值域是　 　．(注：其中表示不超过的最大整数)
答案
解析 根据高斯函数的性质，，
那么，则
由，
函数的值域为．
8.若函数的定义域是，则的值域是 　　．
答案
解析 当时，．
9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为　 　．
答案
解析 的值域为，
，解可得或，
则实数的取值范围为．
10.求函数的值域.
答案
解析 令，则
，
当，即时，无最小值.
函数的值域为.
11.求函数的值域。
答案
解析 原函数可化为，
令，则，且当时取等号，
所以．故函数的值域为．