(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.4.3 函数的表示（2份打包，学生版+教师版）

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1函数的表示方法
表格法
如上表，我们很容易看到与之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
图像法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
解析式
比如正方形周长与边长间的解析式为，圆的面积与半径的解析式等.
求函数解析式的方法
① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法
2 分段函数
定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．
Eg ，.
【题型1】求函数解析式
【典题1】 已知函数是二次函数，若，求的解析式．
解析 设，
若，且，
且，
，解得．
.
【典题2】若，则的解析式为( )
答案
解析 函数，
设，则，，
，
，．故选：．
变式练习
1.已知函数，且，则 ( )
A．7B．5C．3D．4
答案
解析 ；；
；解得．故选：．
2.已知函数为一次函数，且，则( )
A．B．C．D．
答案
解析 设，则，解得，
，．故选：．
3.若函数对于任意实数恒有，则等于( )
A．B．C．D．
答案
解析 函数对于任意实数恒有，
令，则：．
则，
解方程组得：．
故选：．
4.已知，求.
答案
解析 令，则，
(若这里的范围不能忽略)

5.已知函数与与的图像关于对称，求的解析式.
答案
解析 设为上任一点，且 为关于点的对称点
则，解得：
点在上
把代入得：，整理得，
.
【题型2】 分段函数
【典题1】 已知函数．
(1)求；(2)若，求的值；(3)作出函数的图象．
解析 (1)，．
(2)当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．
(3)函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，


变式练习
1.函数的图像是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． B．C．D．
答案
解析 函数，
作出函数图象为：
故选：．
2.已知函数，若，则的值是( )
A．B．或C．或D．或或
答案
解析 由题意，当时，，得，又所以；
当时，，得，舍去．
故选：．
3.设，则的值为( )
A．B．C．D．
答案
解析 ，
．故选：．
4.已知则不等式的解集是 ．
答案
解析 ①当时，即，，
由可得，
即，
当即时，，
由可得，即，，
综上不等式的解集为.
5.已知函数与轴有个交点，则实数的取值范围是 ．
答案
解析 ① 当，与轴有个交点，不满足题意；
② 当时，与轴没有交点，不可能满足题意；
③ 当时，与轴有个交点，
若要满足题意，则在上与轴有个交点，
，解得，故答案为．
【题型3】 函数的简单应用
【典题1】 如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解析 根据题意，考虑当向高为的容器中注水为高为一半时，
注水量与水深的函数关系．
如图所示，此时注水量与容器容积关系是：容器的容积的一半．
选项符合题意；故选：．

变式练习
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． B． C． D．
答案
解析 考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，
由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，由此排除，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定正确，不正确．故选：．
2.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
答案
解析 根据他先前进了，得图象是一段上升的直线，
由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线，
由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了，得图象是一段下降的直线，
由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，
综合，得图象是，故选：．
1.某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
答案
解析 当时，距离学校最远，不可能是，排除，
先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除，
故选：．
2.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合．
对第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；
对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓，正确；
同理可分析第三个图、第四个图都是正确的．
故只有第一个图不正确，因此选．
3.已知，则有( )
A．B．
C．D．
答案
解析 设，，则，
，，，．故选：．
4.若，是，这两个函数中的较小者，则的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
答案
解析 由题目可获取的信息是：
①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；
②是两个函数中的较小者．
解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出的图象，再求其最大值．
在同一坐标系中画出函数，的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数的图象．
故时，，应选．
答案：
5.设函数，若，则实数的值为 ．
答案
解析 由题意知，；
当时，有，解得，(不满足条件，舍去)；
当时，有，解得(不满足条件，舍去)或．
所以实数的值是：．
6.已知，则的解集为 .
答案
解析 ，
令，则，
，
，
由，得，解得或，
的解集为．
7.已知函数，则不等式的解集为 ．
答案
解析 时，，解得，
因为，故；
时，，解得，
综上所述，不等式的解集为
故答案为：.
8.设是一次函数，且，求的解析式.
答案 或
解析 设，
则
或
或.
9.已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.
答案
解析 函数的图象，如图，
不妨设，则关于直线对称，故，
且满足；
则的取值范围是：；
即．
10.已知函数．
(1)画出函数图象；
(2)求，的值；
(3)当时，求的取值范围．
解析 (1) 函数的图象如图，
(2) ，；
(3) 方法1 由图象可知，当时，．
方法2 当时，，解得，即；
当时，满足，所以；
当时，，解得；
综上可得的取值范围是．
11.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品(百台)，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产台的生产成本为万元(总成本 SKIPIF 1 < 0 固定成本 SKIPIF 1 < 0 生产成本)，销售收入满足，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
答案 (1) (2) 元 SKIPIF 1 < 0 台
解析 依题意，，设利润函数为，则

(1)要使工厂有盈利，即解不等式，当时，
解不等式．即．
．
当时，解不等式，得．
．
综上，要使工厂盈利，应满足，
即产品应控制在大于台，小于台的范围内．
(2)时，，
故当时，有最大值．
而当时，所以，当工厂生产万台产品时，盈利最多．
又时，(元 SKIPIF 1 < 0 台)，故此时每台产品售价为(元 SKIPIF 1 < 0 台)．
高中要求
1在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法)表示函数；
2 通过具体实例,了解简单的分段函数，并能简单应用；
3 掌握求解函数解析式的方法.