北京市通州区2023届高三数学模拟考试试题（Word版附解析）

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通州区2023年高三年级模拟考试
数学试卷
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】全集，集合，
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.
【详解】，.
故选：A
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数单调性及奇偶性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数在上递减，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数，
又函数在单调递增，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意；
对于D，函数，
因为，所以函数不是增函数，故D不符题意.
故选：B.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 80 B. 10 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可.
【详解】的展开式的通项公式，
令，解得，
可得，即的系数为.
故选：D.
5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出渐近线，得出b，继而求出焦点坐标.
【详解】令，解得双曲线渐近线为，即，
，由此可得双曲线焦点坐标为.
故选：B
6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，，，，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解.
【详解】在正四棱锥中，连接交于点，连接，
则即为正四棱锥的高，
，，
所以，，
所以该几何体的体积为.

故选：B.
7. 声强级（单位：）与声强x（单位：）满足．一般噪音的声强级约为80，正常交谈的声强级约为50，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案.
【详解】当时，即，解得，
即一般噪音的声强约，
当时，即，解得，
即正常交谈的声强约，
所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的倍.
故选：A.
8. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质求解即可.
【详解】由图知：，则，故，
则，
由，则，
所以，，
又，故，
综上，，
故选：C.
9. 已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，//，则“a与b异面”是“直线b与l相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若“a与b异面”，反证：直线b与l不相交，由于，则//，
∵//，则//，
这与a与b异面相矛盾，故直线b与l相交，
故“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分条件；
若“直线b与l相交”，反证：若a与b不异面，则a与b平行或相交，
①若a与b平行，∵//，则//，这与直线b与l相交相矛盾；
②若a与b相交，设，即，
∵，，则，
即点A为，的公共点，且，
∴，
即A为直线a、l的公共点，这与//相交相矛盾；
综上所述：a与b异面，即“a与b异面”是“直线b与l相交”的必要条件；
所以“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分必要条件.
故选：C.
10. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得A为圆任意一点，设圆的圆心为M，从而得到为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．
【详解】由，则，
又，且A为线段中点，则，
所以A为圆任意一点，
设圆的圆心为M，则，
又，所以圆O与圆M相离，
所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以，
，
所以的取值范围为．

故选：A．
【点睛】关键点点睛：依题意得的几何意义为圆与圆这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知向量，，若，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，，，
所以，解得.
故答案为：.
12. 已知等差数列的公差，且，则的前5项和__________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：0.
13. 抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且点A到直线的距离是线段长度的2倍，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析运算.
【详解】由题意可得：抛物线C：的焦点为，准线为，
注意到，可得，点A到直线的距离为，
则，解得.
故答案为：2.
14. 设函数，若函数有且只有一个零点，则实数a的一个取值为__________；若函数存在三个零点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，直接解方程，结合图象分类讨论即可；第二空，由图象分析即可.
【详解】，解得在上单调递增，在和上单调递减，
解方程可得：其根依次记为，而的根记为，可得其草图如下：

第一空：若函数有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为或.
（i）若零点为只需，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上，如图所示；

（ii）若函数零点为由函数解析式及图象可知，只需，如图所示，

第二空：若函数存在三个零点，则零点为，只需，如图所示，

故答案为：；
15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如，．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
①；
②，恒有；
③若m，n（）都是素数，则；
④若（），其中为素数，则．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为___________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据欧拉函数的函数值的定义，求出，，即可判断①②；若m是素数，m与前m－1个正整数均互素，可得，同理得，又不超过正整数且与互素的正整数共有个，可得，即可判断③；若，其中为素数，不超过的正整数共有，其中的倍数有个，则不超过且与互素的正整数有个，可得，即可判断④．
【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则，故①正确；
不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则，则，故②错误；
若m是素数，m与前m－1个正整数均互素，则；
同理，若n是素数，则，
故；
若m，n（）都是素数，则不超过的正整数中，除去与及外，其他的正整数均与互素，共有个，则，
所以，故③正确；
若（），其中为素数，不超过的正整数共有，其中的倍数有个，则不超过且与互素的正整数有个，则，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；
（2）由（1）可得，若选条件①：利用余弦定理可求得，进而面积公式分析运算；若选条件②：分为锐角和为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得，利用余弦定理结合面积公式运算求解.
【小问1详解】
∵，则，
∴
【小问2详解】
由（1）可得，由正弦定理可得，
若选条件①：由余弦定理，即，
注意到，解得，则，
由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，
∵，则，
可得，
∴的面积.
若选条件②：∵，可得，则有：
若为锐角，则，
由余弦定理，即，
整理得：，且，解得，则；
若为钝角，则，
由余弦定理，即，
整理得：，且，解得，则；
综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.
若条件③：由题意可得：，即，
解得，则，
由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，
由余弦定理可得，
则，可得，
∴的面积.
17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，D为棱上一点，平面．

（1）求证：D为中点；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形为平行四边形，根据边长关系即可求证；
（2）根据勾股定理得到，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D为坐标原点，为z轴，为x轴，为y轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值.
【小问1详解】
⸪平面，平面，平面平面，
⸫，又因为，
⸫四边形为平行四边形，且因为为的中点，
⸫，
⸫ D为中点.
【小问2详解】
根据勾股定理可知，，且，
再根据勾股定理可得，故，
又因为，，平面，
所以平面，
如图建立以D为坐标原点，为z轴，为x轴，为y轴的空间直角坐标系，

，，，
，，，，，
设平面法向量为，
则，令，解得，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：
营业情况
分行业
营业收入单位（亿元）
营业成本单位（亿元）
分行业1
41
38
分行业2
12
9
分行业3
8
2
分行业4
6
5
分行业5
3
2
分行业6
2
1
分行业7
0.8
0.4
（一般地，行业收益率．）
（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；
（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；
（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率；
（2）根据X的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望；
（3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小.
【小问1详解】
分行业1行业收益率：，
分行业2行业收益率：，
分行业3行业收益率：，
分行业4行业收益率：，
分行业5行业收益率：，
分行业6行业收益率：，
分行业7行业收益率：，
行业收益率不低于50%的有4个行业，
故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为.
【小问2详解】
有（1）可知X的取值有0、1、2、3，
，，
，，
分布列如下：
X
0
1
2
3
P





【小问3详解】
7个分行业营业收入的平均值为：，

7个分行业营业成本的平均值为：，

故.
19. 已知椭圆C：（）过点，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点A关于y轴的对称点为B，直线l与平行，且与椭圆C相交于，N两点，直线，分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形为菱形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于的方程组求解即可；
（2）求出直线OA的斜率为，设直线的方程为，代入椭圆方程，设，则．由直线AM的方程得点的纵坐标为，点的纵坐标为，结合韦达定理求得，进而可得线段AB，PQ垂直且平分，从而得证.
【小问1详解】
由题意可知，解得．
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
点关于轴对称点为点的坐标为．
直线OA的斜率为．

因为直线与OA平行，设直线的方程为．
由得,
由，得，且,
设，则,
直线AM的方程为，
令，得点的纵坐标为．
同理可得点的纵坐标为．

，
所以线段PQ中点坐标为．
又线段AB中点坐标也为，
所以线段AB，PQ垂直且平分．
所以四边形APBQ为菱形．
20. 已知函数，（）．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得，从而得到，，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；
（2）先求，要判断是否存在极值，即判断在上单调情况，即判断在上的符号情况；
（3）将原恒成立条件转化为对于任意，不等式恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域上的最值即可求得k的取值范围．
【小问1详解】
由，则，所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由，，
则，，
令，，
则，，
当，即时，，此时单调递减；
当，即时，，此时单调递增，
所以，
所以对任意，都有，
所以在上单调递增，即不存在极值．
【小问3详解】
当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，则，，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，即，
故k的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键．
21. 设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足：
①，，…，均非空；
②，，…，中任意两个集合交集为空集；
③．
则称，，…，为集合A的一个m阶分拆．
（1）若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；
（2）若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值；
（3）设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
【答案】（1）；；；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.
（2）令，设出集合及所其元素和，根据定义求出的元素和，求出结合不等式性质求解作答.
（3）设、及中元素的和，按为奇数、偶数推理判断作答.
【小问1详解】
，集合A的所有2阶分拆是：；；.
【小问2详解】
依题意，不妨设，，
则，
而，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是.
【小问3详解】
依题意，，，与中元素的和相等，
设与中元素的和为，集合中所有元素之和为，于是，
①当集合中存在元素为奇数时，
因为是偶数，于是是奇数，对于任意，均有，
因此此时集合中元素均为奇数，因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，
所以n为奇数；
②当集合中存在元素为偶数时，
因为是偶数，于是是偶数，对于任意，均有，
因此此时集合中的元素均为偶数，对于一个偶数，均存在正整数和奇数，使得，
显然集合中的元素除以2，仍然满足条件，将集合中的元素不断除以2，直至有一个奇数，
此时，由①可得n为奇数，
综上得：n为奇数.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.