北京市通州区2023届高三数学下学期2月月考试题（Word版附解析）

这是一份北京市通州区2023届高三数学下学期2月月考试题（Word版附解析），共21页。

2023北京通州高三2月月考
数学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，集合，则（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果.
【解答】因为集合，集合，
所以，故AC均错误；
，故B正确，D错误．
故选：B．
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可
【详解】双曲线的焦点在轴上，坐标为，即
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.
【详解】，，，
所以.
故选：A
4. 已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据cosα求出tanα，根据角的终边关于y轴对称可知．
【详解】∵是第一象限角，∴，，
∵角的终边关于y轴对称，∴．
故选：D．
5. 已知数列满足为其前n项和.若，则（ ）
A. 20 B. 30 C. 31 D. 62
【答案】C
【解析】
【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.
【详解】因为，所以为等比数列，且，
又，所以，则.
故选：C.
6. 已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．
【详解】．
故选：C﹒
7. 已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】解：当直线，且，，则，或，与相交，故充分性不成立，
当直线，且，时，，故必要性成立，
所以，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则( )

A B. C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法法则，，再利用数量积的运算法则计算即可.
【详解】
.
故选：C.
9. 已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为（ ）
A. 13 B. 14 C. 17 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，再结合为整数可求得，即可得解.
【详解】解：在等差数列中，因为，
则，即，
故或或或或
或或或，
所以的最小值为14.
故选：B.
10. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它区
营业收入占比





净利润占比





该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过.
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.
【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；
生鲜区的净利润占比，故②正确；
生鲜区的营业利润率为，故④正确；
熟食区的营业利润率为；
乳制品区的营业利润率为；
其他区的营业利润率为；
日用品区为，最高，故③正确．
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线的准线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.
【详解】抛物线的准线方程是.
【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.
12. 复数满足，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得，
∴．
13. 已知圆和直线，则圆心坐标为___________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为___________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.
【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；
由直线方程知：恒过点，则，
当时，圆心到距离最大，
又圆的半径，.
14. 已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)
【解析】
【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y=的图象如图所示：

∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，
故当或时，函数在上不是增函数．
故答案为：-2．
15. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.给出下列四个结论：
①的最小正周期是；
②在上有3个零点；
③在上是增函数；
④的最大值为.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②④
【解析】
【分析】对①，分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期；
对②，直接求零点即可；
对③④，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断
【详解】对①，因为：，
的最小正周期是，的最小正周期是，
所以的最小正周期是，故①不正确；
对②，即，即，故或，又，故，或，即在上有3个零点，故②正确；
对③由题，，
由，
令得，，，
当，，为增函数，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以在，上单调递增，在上为单调递减，故③不正确；
由于，，所以的最大值为，所以④正确
综上，②④正确
故答案为：②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，．
（1）求∠A；
（2）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上的高．
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再结合理解和的正弦公式求解；
（2）选择条件①：由，得到sinB，再由sinC＝sin（A+B）求解判断；选择条件②：由A＝和 sinB＝，求得B＝，再利用sinC＝sin（A+B）求解；然后由BC边上的高h＝bsinC求解．选择条件③：由的面积S＝bcsinA＝×2×c×＝，求得边c，再利用余弦定理求得边a，然后利用等面积法求解.
【小问1详解】
由正弦定理及，知，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinB＝cosAsinB，
因为sinB≠0，所以cosA＝，
又A∈（0，π），所以A＝．
【小问2详解】
选择条件①：因为，且B∈（0，π），
所以sinB＝＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝+＝＜0，
故该不存在．
选择条件②：因为A＝，所以B∈（0，），
由sinB＝，知B＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝，
所以BC边上的高h＝bsinC＝2×＝．
选择条件③：的面积S＝bcsinA＝×2×c×＝，所以c＝+1，
由余弦定理知，,
所以a＝，
因为，所以BC边上高h＝．
17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，．

（1）求证：平面；
（2）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据几何关系证明，根据底面得，进而证明结论；
（2）根据题意，两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设，再根据坐标法求解异面直线所成角的余弦值即可.
【小问1详解】
设中点为E，连接，
易知为正方形，且
所以，所以
因为底面底面，所以
又面,面，
所以平面
【小问2详解】
因为底面，在正方形中，所以两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系
设
则，所以，
设平面的法向量为，则
即，取，则
由（1）知，平面的法向量为
因为平面与平面的夹角为，
所以，解得，

设异面直线PB与CD所成角为，则

18. 北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
时间人数类别
[0，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中




10

高中
m
13
12
7
5
4

（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50，60）的概率；
（2）从参加体育实践活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1，μ2，当m满足什么条件时，μ0≥．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；
（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，代入求解的范围即可.
【小问1详解】
女生共有6+9+10+10+6+4＝45人，
记事件A为“从所有调査学生中随机抽取1人，女生被抽到”，
事件B为“从所有调査学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50，60）”，
由题意可知，，
因此，
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，
估计该学生参加体育活动时间在[50，60）概率为.
【小问2详解】
由题知，X的所有可能值为0，1，2，
时间在[80，90）的学生有10+5＝15人，
活动时间在[90，100）的初中学生有8+4﹣4＝8人，
记事件C为“从参加体育活动时间在[80，90）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在[90，100）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，
由题意知，事件C，D相互独立，
且,
所以,
,
,
所以x的分布列为：








故X的数学期望.
【小问3详解】
根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
时间人数类别
[0，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中
11﹣m
8
11
11
10
8
高中
m
13
12
7
5
4
[50，100）内初中生的总运动时间t1＝8×55+11×65+11×75+10×85+8×95＝3590，
[50，100）内高中生的总运动时间t2＝13×55+12×65+7×75+5×85+4×95＝2825，
则由题，m＝1，2，3…11，
又，，，
由可得，
当m＝2，3…9时成立，故m的取值范围.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证： 函数存在极小值；
（3）请直接写出函数的零点个数.
【答案】（1）y=0；
（2）证明见解析； （3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答.
（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答.
【小问1详解】
由函数求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是y=0.
【小问2详解】
函数的定义域为，由（1）知，，
因，则当时，，，，则有，函数在上递减，
当时，，，，则有，函数在上递增，
于是得当时，函数取得极小值，
所以当时，函数存在极小值.
【小问3详解】
函数的定义域为，，
显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
，，即有，在，上都递减，
令，，当时，，当时，，
在上递增，在上递减，，
即，恒有，当且仅当时取“=”，
当时，，当时，，
因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，
于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
20. 已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.
（1）求椭圆C的方程和离心率；
（2）已知点，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线与椭圆C的另一个交点为Q.若的面积等于，求直线的斜率.
【答案】（1）椭圆，离心率；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；
（2）设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M,Q的坐标，进而表达出面积，然后结合根与系数的关系求出答案.
小问1详解】
由题设，得，则，所以椭圆C的方程为，离心率.
【小问2详解】
设直线的方程为，由得，
解得.
设，则，，即同号.
根据椭圆对称性知，，所以
，整理得，
解得，（满足）
所以，或.
【点睛】本题运算量较大，对于用“根与系数的关系”解决问题是个老套路，但本题对于面积的处理有一定的技巧，平常注意对此类题型的训练.
21. 已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.
（1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
（2）已知，求证：；
（3）若，求数集A中所有元素的和的最小值.
【答案】（1）不具有性质P，具有性质P，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）75．
【解析】
【分析】(1)对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，使得成立，故可判断它具有性质P；
(2)根据题意可知，从而，故而可得，将这些式子累加即可得，从而可变形为要证的结论；
(3)根据题中已知条件可得该数集，，从而可得该数集元素均为整数，再根据可构造一个满足性质P的数集或，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．
【小问1详解】
∵，∴不具有性质P；
∵，∴具有性质P；
【小问2详解】
∵集合具有性质P：
即对任意的，使得成立，
又∵，
∴，∴，
即，
将上述不等式相加得，
∴，由于，
∴，∴；
【小问3详解】
最小值为75．
首先注意到，根据性质P，得到，
∴易知数集A的元素都是整数．
构造或者，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75．
下面，证明75是最小的和：
假设数集，满足(存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)．
第一步：首先说明集合中至少有7个元素：
由(2)可知，…
又，∴；
∴；
第二步：证明；
若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；
假设，根据性质P，对，有，使得，
显然，∴，
而此时集合A中至少还有4个不同于的元素，
从而，矛盾，
∴，进而，且；
同理可证：；
(同理可以证明：若，则)．
假设．
∵，根据性质P，有，使得，
显然，∴，
而此时集合A中至少还有3个不同于的元素，
从而，矛盾，
∴，且；
至此，我们得到了，
根据性质P，有，使得，
我们需要考虑如下几种情形：
①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，
则；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；
③，此时集合的和最小，为75；
④，此时集合的和最小，为75．
【点睛】本题第二问考察对题设条件的理解，根据数集要满足性质P，得到其元素之间应该满足的大小关系，利用数列的累加法思想即可得数集的“前n项和”的范围；本题第三问采用枚举法即可证明，根据题设信息不断地确定数集A中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想．