四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泸县五中2023年春期高一期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式可求出，再根据交集定义求解.
【详解】由解得，所以，
所以，
故选:A.
2. 已知复数满足(其中为虚数单位)，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得，然后利用复数模的公式计算．
【详解】因为，
所以.
故选：.
3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，
高中生的近视人数为，故选B.
【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.

4. 某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（ ）
A. 15人 B. 30人 C. 45人 D. 60人
【答案】D
【解析】
【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.
【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为，所以.因为，所以.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为.
故选：D
5. 为平行四边形两条对角线的交点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，再由向量的减法结合条件可得答案.
【详解】．
故选: D．

6. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】ABD均可举出反例，
由线面垂直的性质可得得到C正确.
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；

对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，

满足，，但相交，B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，
如图3，满足，，但相交，故D错误.

故选：C.
7. 已知在△ABC中，，则＝
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由余弦定理可得利用可得结果.
详解：在中，由余弦定理得，
的夹角等于，
根据向量的数量积定义，

，故选B.
点睛：本题考查利用定义求平面向量数量积，及余弦定理的应用,属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
8. 已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，，，则关于事件A与B关系正确的是（ ）
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可
【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
，所以，又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误
故选：BC
10. 在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A. B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆的半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误, 结合余弦定理可得B，C的正误.
【详解】由题意,设,
解得;
所以,
所以A 正确;
由以上可知最大,

所以为锐角,
所以B错误;
由以上可知最小,
,
,
即,
因为为锐角,为锐角,所以
所以C正确;
因为，所以,
设外接圆的半径为,则由正弦定理可得
所以
所以D正确.
故选: ACD.
11. 如图，点位于以为直径的半圆上（含端点，），是边长为2的等边三角形，则的取值可能是（ ）

A. B. 0 C. 1 D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求，化简求其范围，由此可得结论.
【详解】如图所示，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，.

令，其中，则，，
所以.
因，所以，所以，
所以.
故选：BC.
12. 如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成（不在平面内），若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）

A. 与不可能垂直
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若都在同一球面上，则该球的表面积是
D. 直线与所成角取值范围为（）
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则；
对于B选项：取的中点，连接，根据，则平面平面时，三棱锥体积的最大值，从而可判断；
对于C，根据，可得都在同一球面上，且球的半径为，从而可判断；
对于D选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围.
【详解】解：对于A选项：由，则，当时，且，此时满足平面，因此，故A错误；
对于B，取的中点，连接，
则，且，
因为，
当平面平面时，三棱锥体积的最大值，
在中，，则，
此时，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以都在同一球面上，且球半径为，
所以该球的表面积是，故C正确；
对于D，作，
因为为的中点，所有，
，所以，
所以，所以，
可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，
所以与夹角为，与夹角为，又不在平面内，
，，
所以与所成角的取值范围，所以正确，
故选：BCD.

【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用平均数和方差的运算性质可求出值，再求即可.
【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1，
所以的平均值为，方差为，
所以，，所以.
故答案为:
14. 向量在向量方向上的投影向量的模为________．
【答案】2
【解析】
【详解】根据投影的定义可得：
在方向上的投影向量为：．
所以在方向上的投影向量的模为
故答案为：2
15. 已知非零向量，的夹角为，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.
【详解】非零向量，的夹角为，，则由得：，即，
于是得，所以.
故答案为：
16. 奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东，仰角为，则歼-15飞机飞行高度为_______千米（结果保留根号）.
【答案】##
【解析】
【分析】作出图形，用点表示歼-15舰载飞机，用点表示阅兵舰，然后由正弦定理求得，再在直角三角形中求得．
【详解】如图，是阅兵舰，是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，是飞机在地面上的射影，
由已知千米，，是正北方向，
因此，，，
，，
由正弦定理，即，解得，
在直角三角形中，．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.
（1）求复数z；
（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用模长和为纯虚数列出方程组，结合复数z在复平面内所对应的点在第一象限，求出；
（2）利用向量垂直得到方程，求出的值.
【小问1详解】
设，则，
为纯虚数，则，
且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，
可得，复数
【小问2详解】
由题意可得，，
，
由，得
解得：.
18. 年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．

（1）求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
【答案】（1）；平均值为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可
【小问1详解】
由频率分布直方图，可得，
则①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以，
则②
将①与②联立，解得．
所以平均值为．
【小问2详解】
根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则
．
①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
．
②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得
．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：
．
19. 如图，在直三棱柱中，，点E为边中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）利用线面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）连接，交于点，
连接，如图，

由点E为边中点.
则，平面，平面，
平面.
（2），
，即为正方形，
即，，
在直三棱柱中，则平面，
即，，
平面，，
，
平面
20. 已知函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）单调递增区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化简函数，再求函数的单调递增区间；
（2）由（1）的结果求得，再利用角的变换，结合两角差的正弦公式，即可求解.
【小问1详解】
，
令，，则，，
因，所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为，所以．因为，所以，
所以，所以

21. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.点是的中点，作，交于点.

（1）设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；
（2）求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可.
（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，
（3）根据线面角的定义进行求解即可，
【详解】（1）证明：连结交交于，
∵是正方形，∴为的中点，
又∵是的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
又平面，平面平面，∴.

（2）∵平面，平面，
∴，
设正方形的边长为4，
∵，
∴的中线，，，
同理，，，
∵，，
∴为正三角形，中线，且，
∵，，
∴，同理，
∴是二面角的一个平面角，
又∵在正三角形中，
∴，
则平面与平面所成的较小的面角的余弦值为.

（3）同（2）中，得，
又∵在正方形中，，，平面，平面，
∴平面，
同理平面，
同理面，
∴是直线与平面所成的角，
∵在和中得，
∴直线与平面所成角的正切值为.

22. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.

（1）求中线的长度；
（2）设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出，再由结合数量积的运算性质即可求解；
（2）设，再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用共线和基本定理，利用数量积运算求解.
【小问1详解】
，由正弦定理：，
由余弦定理：.
因为为中点，所以，设的夹角为，

又，
，即，
解得或，又，∴,∴；
【小问2详解】
设，则，
∵的面积为面积的一半，∴，∴.
设，则，
又共线，∴可设，
则，
∴，解得：.
∴，
又，
∴
.
又，化简得，