精品解析：江西省吉安市宁冈中学2022-2023学年高一下学期6月期末考试数学试题（解析版）

这是一份精品解析：江西省吉安市宁冈中学2022-2023学年高一下学期6月期末考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合，则下列元素属于A的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合中元素特征即可求解.
【详解】，故，所以ABD错误，C正确，
故选：C
2. 已知，则“”的一个必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件，
由不能得到，，，比如，
故选：D
3. 设函数是上的减函数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性列出相应的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意函数是上的减函数，
则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数，
故，
故选：D
4. 计算，结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【详解】.
故选：B
5. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解.
【详解】因为，由有：
，故B，C，D错误.
故选：A.
6. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】由题意向量，，且，
则，
故选：A
7. “不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（ ）

A. B. △ABC周长为
C. △ABC周长为 D. 圆形木板的半径为
【答案】B
【解析】
【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可.
【详解】对于D：由题意可得：圆形木板的直径，
即半径，故D错误；
对于A：由正弦定理，可得，故A错误；
对于B、C：由题意可得：，解得，
因为，则，可知为锐角，可得，
余弦定理，即，
解得，所以△ABC周长为，故B正确，C错误；
故选：B
8. 棱长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别为棱AB，的中点，则经过E，F球的截面面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设中点为P，球O半径为R.经过E，F球的截面面积的最小时，OP，
又截面为圆面，则圆面对应半径.
【详解】设球O半径为R.因为正方体内接于球，所以，.设G为AD中点，中点为P.由题，.
.
延长FO与BC交于M，延长EO与交于N，
由题可得N，M分别为，BC中点.
则，
.
经过E，F球的截面面积的最小时，OP .因截面为圆面，则圆面对应半径.
则此时截面面积为：.
故选：C

二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知复数，，则（ ）
A.
B. 复数的虚部为2
C. 复数与在复平面内所对应的点位于同一象限
D. 复数在复平面内对应的点在函数的图像上
【答案】BC
【解析】
【分析】直接求出模，即可判断A；直接求出，即可判断B；利用复数的几何意义判断C；把复数对应的点代入直接判断.
【详解】由题可知，故A错误；
，故复数的虚部为2，故B正确；
复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，在复平面内所对应的点也位于第一象限，故C正确；
复数在复平面内对应的点为，因为当时，，所以复数在复平面内对应的点不在函数的图像上，故D错误.
故选：BC
10. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）

A. 是钝角三角形
B. 的面积是的面积的2倍
C. 是等腰直角三角形
D. 的周长是
【答案】CD
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.
【详解】根据斜二测画法可知，
在原图形中，O为的中点，，
因为，
所以，,，
则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：

所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.
在中，，
过作轴垂线，垂足为，，
所以，
所以的面积是，的面积是，
的面积是的面积的倍，故B错误.
故选：CD
11. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为钝角三角形
C. 若，则的面积是
D. 若外接圆半径是，内切圆半径为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由正弦定理得到A选项；由大边对大角确定C最大，由余弦定理求出得到答案；C选项，由角C的余弦求出角C的正弦，再用面积公式求解；D选项，正弦定理求出外接圆半径,设出内切圆半径，利用面积列出方程，求出内切圆半径.
【详解】设，则，
对于A ，，故A不正确；
对于B ，c最大，所以C最大，，故B正确；
对于C，若，则，，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若正弦定理，
的周长，，所以内切圆半径为，
所以.故D正确.
故选：BD
12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，且，则
B. 若在上恰有9个零点，则的取值范围为
C. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到图象关于轴对称
D. 若在上单调递增，则的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简，判断函数的相关性质即可.
【详解】因为，
所以
对于A：若，，且，则，
所以，所以，故A正确；
对于B：，则，
因为在上恰有9个零点，所以，
所以，所以B不正确；
对于C：，的图象向右平移个单位长度后得到
，使得图象关于轴对称，
则，所以，所以不存在，
所以C不正确；
对于D：若在上单调递增，，
所以，解得，
所以D正确.
故选：AD.
三、填空题（共20分）
13. 若函数为偶函数， 且当时，， 则________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
【详解】当时，，所以，
又因为为偶函数，所以．
故答案为：.
14. 角是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆的交点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解.
【详解】由题意知：，
则，
，
所以角终边与单位圆交点的坐标为，
故答案为：
15. 直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上．
【答案】BD##DB
【解析】
【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置.
【详解】由，，，、，故，，
同理，，故，

由，，则，，故，同理可得，
又直线直线，故，即，
所以必在的交线上.
故答案为：
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用和差公式和二倍角公式得到，确定，原式化简为，再利用均值不等式计算得到最值.
【详解】，
即，
即，，，
故，整理得到，
即，且，
，


，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，确定，转化为均值不等式是解题的关键.
四、解答题（共70分）
17. 已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位.
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到，即可求解；
（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，设，其中且，
可得，
因为为实数，可得，解得，即.
【小问2详解】
解：由，则，
因为复数所表示的点在第一象限，可得且，
解得，所以实数的取值范围为.
18. 如图，在三棱锥中，底面，，垂直平分且分别交于点，又，求二面角的大小．

【答案】60°
【解析】
【分析】根据题意证得，得到是所求二面角的平面角，由底面，得到，设，结合，求得,进而得到，即可求解.
【详解】因为且是的中点，所以是等腰底边的中线，可得，
又因为，且平面，
所以平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，所以是所求二面角的平面角，
因底面，且底面，所以，
设，则，
因为，可得，所以,
又由，所以，即所求的二面角等于．

19. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：

（1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
（2）求频率分布直方图中a值；
（3）估计当天游客满意度分值的分位数.
【答案】（1）50，40，10
（2）0.020 （3）82.5
【解析】
【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；
（2）利用频率之和为1列出方程，求出的值；
（3）利用百分位数的定义进行求解.
【小问1详解】
老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人；
小问2详解】
由题意可得，，解得：；
【小问3详解】
设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的分位数为.
20. 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
【答案】（1）；
（2）最小值为12100，最大值为20200．
【解析】
【分析】（1）函数关系近似满足，，即可得到商品的日销售金额关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（2）由函数关系近似满足，判断函数的单调性判断出函数的最值，即该商品的日销售金额的最值．
【小问1详解】
由题意，得

小问2详解】
①当时，因为，当且仅当，
即时取等号.
所以当t＝10时，有最小值12100；
当t＝1时，有最大值20200；
②当时，∵在[25，30]上递减，
∴当t＝30时，有最小值12400
∵12100＜12400，∴当t＝10时，
该商品的日销售金额取得最小值为12100，最大值为20200．
21. 合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B,C等距的一点O处建立一个蓄水池，并铺设管道OA、OB、OC．

（1）设，记铺设的管道总长度为，请将y表示为的函数；
（2）当管道总长取最小值时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解，
（2）利用，结合三角函数的最值可得，即可利用辅助角公式求解.
【小问1详解】
由于,在的垂直平分线 上，
若设，则, ∴
则；
【小问2详解】
令得
故，又，故则
此时：，即得
又，故,故
22. 如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．

（1）若△的面积，求木栈道长；
（2）如图2，若景区中心与木栈道段连线得，求木栈道的最小值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）应用得，由得，最后利用余弦定理列方程求木栈道长；
（2）设圆与、分别切于、，易证，，由且，可得，再由得到关于的关系式，应用基本不等式求最值，注意取值条件.
【小问1详解】
在中，因为，解得，
所以，则，
所以，则，
由余弦定理得，，即，则，
则，解得；
【小问2详解】
设圆与、分别切于、，则，，，

所以，，则，，
由，得，
由，得，则，
则，；


，
当且仅当时等号成，则的最小值6．
【点睛】关键点点睛：第二问，利用三角函数的定义及边角关系得到得到关于的关系式，结合基本不等式求最值.