2023八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测试题（人教版附解析）

这是一份2023八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测试题（人教版附解析），共7页。

勾股定理
一、选择题（每题3分,共18分）
1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：因为，故选（C）
2．在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个
直角三角形的面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：由勾股定理知，另一条直角边的长为，所以这个直角三角形的面积为.
3．如图1,一架2.5米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( )
(A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米
解:依题设.在中,由勾股定理,得

图1

由,
得.
在中, 由勾股定理,得

所以
故选(C)
4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）
（A）132 （B）121 （C）120 （D）以上答案都不对
解：设直角三角形的斜边长为,另外一条直角边长为,则.
由勾股定理,得.
因为都是自然数，则有.
所以.
因此直角三角形的周长为121+11=132.
故选（A）
5．直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解:设两直角边分别为,斜边为,则,.
由勾股定理,得.
所以.
所以.所以.
故选（C）
6. 直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )
（A）61 （B）71 （C）81 （D）91
解:因为.根据题意,有.

图2
整理,得.所以.
所以.
即该直角三角形的三边长是.
因为只有81是3的倍数.
故选（C）
二、填空题（每题3分,共24分）
7. 如图2，以三角形的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.
解:根据题意，有，即
.
整理,得.
故此三角形为直角三角形.
8. 在中,,则边的长为______.
解：本题在中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：
当为直角时,为斜边，由勾股定理,得，
∴ ；
当不为直角时, 是直角边，为斜边，由勾股定理，得，

图3
∴
因此,本题答案为4或.
9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.
解：由勾股定理，知最短距离为.

图4
10. 如图4，已知中，，以的各边为边在外作三个正方形，分别表示这三个正方形的面积，，则
解：由勾股定理，知，即，所以．

图5
11．如图5,已知，中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，则斜边之长为______.
解： 、是中线，设，由已知，，
所以两式相加，
得，所以

图6
12.如图6，在长方形中，,在上存在一点,沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为,那么折叠的面积为_____.
解:由折叠的对称性,得.
由,得.
在中,由勾股定理,得.所以.
设,则.
在中,,即.解得.
故.
13.如图7，已知：中，， 这边上的中线长， ，则为_____.
解:因为为中线，所以,于是.

图7
但,故,即.又,两边平方,得.
而由勾股定理,得.
所以.故.
即.
14．在中,,边上有2006个不同的点,
记,则=_____.
解:如图8,作于,因为,则.

图8
由勾股定理,得.所以
.
所以.
因此.
三、解答题（每题10分,共40分）
15．如图9，一块长方体砖宽，长，上的点距地面的高，地面上处的一只蚂蚁到处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结，则的长即为处到处的最短路程．
在中，因为，，
所以．
所以．
因此蚂蚁爬行的最短路径为．
　　　　　　　　　　　　　　　　
　图10
　图9　









16．如图11所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．
解：连结，在中，由勾股定理，得
，即，所以．
在中，由，即．
所以为直角三角形，．
所以．
所以这块地的面积为．

图11






17．如图12所示，在中,,且,
,求的长.
图12答图13
解:如图13,因为为等腰直角三角形,所以.
所以把绕点旋转到,则.
所以.连结.
所以为直角三角形.
由勾股定理,得.所以.
因为所以.
所以.
所以.
18．中，，若，如图14，根据勾股定理，则，若不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。

图14 图15 图16
解：若是锐角三角形，则有
若是钝角三角形，为钝角，则有
当是锐角三角形时，如图17,

证明：过点作，垂足为设为，则有，


图17
根据勾股定理，得
即
∴
∵ ， ∴
∴
当是钝角三角形时，图18,

图18
证明：过点作，交的延长线于点
设为，则有
根据勾股定理，得
即
∴
∵ ，∴
∴