数学必修 第二册6.2 平面向量的运算教案设计

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算教案设计，共12页。
课题
6.2.4向量的数量积






教学目标


（一）知识与技能
1.理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角，提高抽象概括能力；
2.知道平面向量数量积的含义并会计算；
3.理解a在b上的投影向量的概念，并且掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用；
（二）过程与方法
掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；，从而养成科学的学习方法。
（三）情感、态度与价值观
通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识，从而进一步增加学习数学的热情，提高学习数学的兴趣。
教学重、难点
重点：充分条件、必要条件的概念.
难点：判断命题的充分条件、必要条件.
教学方法
指导学生掌握“观察-猜想-归纳-应用”这一思维 方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，
课型
新授课
教学过程
（一）创设情境，引入新课
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？
2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？
4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
（二）探索新知，整体认知
探究点1：平面向量的数量积运算
例1：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b）·（a＋3b）．

（2）如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：①·；②·．
解：（1）（a＋2b）·（a＋3b）
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．
（2）①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·COS0°＝3×3×1＝9．
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·COS120°
＝4×3×＝－6．
互动探究：
变问法：若本例（2）的条件不变，求·．
解：因为＝＋，＝－，
所以·＝（＋）·（－）
＝2－2＝9－16＝－7．
规律方法：向量数量积的求法
（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
探究点2：向量模的有关计算
例2：（1）已知平面向量A与B的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝（ ）
A． B．2
C．4 D．12
（2）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝（ ）
A． B．
C． D．
解析：（1）|a＋2b|＝＝
＝
＝＝2．
（2）由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝．
答案：（1）B
（2）B
规律方法：求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
（三）初步应用，理论迁移
探究点3：向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________；
（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为______．
解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2
＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72，
所以24cosθ＝36＋72－96＝12，
所以cosθ＝．
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
（2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以COSθ＝．又因为|a|＝2|b|，
所以cosθ＝＝．
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
答案：（1）
（2）
命题角度二：证明两向量垂直
例4：已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋tb）．
证明：因为|a＋tb|＝＝＝，
所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·（a＋tb）＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2
＝a·b－a·b＝0．所以b⊥（a＋tb）．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
例5：（1）已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为（ ）
A．－ B．
C．± D．1
（2）已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
解析：（1）因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以（3a＋2b）·（ka－b）＝0，
所以3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0．
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
所以12k－18＝0，k＝．
（2）由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），
即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcos，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．
答案：（1）B
（2）－8或5
规律方法：求向量A与B夹角的思路
（1）求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
（2）在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cosθ的值．
(四)课堂练习，及时反馈
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝．又0≤θ≤π，所以θ＝．
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B．因为c·d＝0，所以（2a＋3b）·（ka－4b）＝0，
所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6．
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
解析：设a与b的夹角θ，则
cosθ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝3×e
＝－e．
答案：－e
4．已知|a|＝1，|b|＝．
（1）若a∥b，求a·b；
（2）若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
（3）若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ．
（1）当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－．
（2）|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝．
（3）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，cosθ＝＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．
（五）梳理小结，深化理解
1．两向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．

（2）特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．
规定零向量与任一向量的数量积为0．
3．投影向量
如图（1），设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影（project），叫做向量a在向量b上的投影向量．

如图（2），在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．

（2）若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cosθe．
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
（1）a·e＝e·a＝|a|cosθ．
（2）a⊥b⇔a·b＝0．
（3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
（4）|a·b|≤|a||b|．
5．向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a（交换律）．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．
（六）布置作业，深入研究
教材第20页练习第1-3题。




板书设计



1．两向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．
3．投影向量
4．向量数量积的性质
a·e＝e·a＝|a|cosθ．
a⊥b⇔a·b＝0．
|a·b|≤|a||b|．
5．向量数量积的运算律
a·b＝b·a
（a＋b）·c＝a·c＋b·c
6.2.4向量的数量积








课件展示

例1







例2








练习1


练习2









教学反思






























过程确认
主备人签字： 备课组长签字：
教研组长签字： 教科室负责人签字：