高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案设计，共6页。教案主要包含了情景导入，点然激情，合作探究，师生释疑，拓展延伸，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 正弦定理
教材分析：
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。
《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
教学目标及核心素养：
课程目标
学科素养
A理解并掌握正弦定理的推导过程；
B.运用正弦定理解三角形；
C.探索正弦定理的多种证明方法。
1.数学抽象：正弦定理的识记；
2.逻辑推理：正弦定理的证明；
3.数学运算：用正弦定理解三角形；

教学重点：
正弦定理的几种形式以及两类主要的应用。
学习难点：
正弦定理的推导与证明。
学习方法：自主学习、合作探究
教学手段：多媒体辅助教学
教学过程：
一、情景导入，点然激情
从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．
二、合作探究、“三会”培养
探究1　观察：
在直角三角形ABC中，内角A, B, C的对边的长分别a,b,c.则各角的正弦如何表示？
sinA= ,sinB= ,sinC= =
c= = =
在Rt中，我们得到。
探究2 猜想：对于任意三角形，这个结论还成立吗？
(1)
， ，
(2)
， ，
(3)
， ，
(4)
， ，
三、师生释疑、深度学习
把学生分成两组：第一组，验证结论对于锐角三角形是否成立；
第二组，验证结论对于钝角三角形是否成立．
师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．
经过讨论，可归纳出如下证法．
证法一：
（1）直角三角形（已证）
（2）锐角三角形
D
证明：（1）过点C作CD⊥AB
则
因此，。
同理可得
（1）的证明
（2）的证明
(3)钝角三角形（与在锐角三角形中的证明有何异同）
相同之处:原理相同，转化的思想
不同之处：sinB的表示



（结探究过程：观察—类比—猜想—证明;分类讨论；转化的思想）
得到结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即

证法二　利用三角形的面积转化，先作出三边上的高、、，则，，．
所以= =，每项同时除以，
得
探究3　充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
在中，有，设为最大角，过点作于，（图3），于是，设与的夹角为，则，其中，当为锐角或者直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此．
这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．
探究4　正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法求出这个比值吗？
A
B
C
D

由此可得，任意三角形中，每一条边长和对角正弦的比值都等于三角形外接圆直径。
正弦定理内容：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理（law of sines），即在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即：
根据正弦定理这个等式，如果把期中某一个量看做未知量，那么根据方程思想，我们就可以解决三角形的哪些问题呢？
（1）如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一个角和另两边。如：；
（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两个角。如：
四、拓展延伸、升华素养
1.例题讲解：
例1：在中，已知解三角形。
分析：已知三角形中两角及一边，求其他元素，第一步可由三角形内角和求出第三个角，再由正弦定理求其他两边。

例2：在中，已知解三角形。
分析：已知三角形两边与其中一边的对角，第一步可以根据正弦定理得到B的正弦，会出现两种情形，接下来就要进行分类讨论。


2.能力提升：
（1） 在中，a=3,b=3 ,B=60,求a边所对角的正弦值。
（2）在中，A=60，B=75，a=10,求边c。

五、课堂小结
本节课你学到了哪些知识？有什么收获？（学生小结，相互补充。）
1、正弦定理的内容（）及其证明的思想方法；
2、正弦定理的主要应用：已知三角形的两角及一边，求其他元素；‚已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他元素；
3、转化化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想。
六、课后作业
教材48页1，2，3题。

【教学反思】
本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，这一个引入做的还是很成功的。
本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交流讨论，让他们有了一定的结论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，又给予了他们展示自己解决问题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励，让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动力和兴趣。
本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的发展过程，这是数学的灵魂。
本节课的第三个探究环节是探寻比值的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了很好的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。
在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的习惯，又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。
总的来说，本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，都有所收获。数学知识也在欢乐和谐的氛围中主动的进入了学生的大脑。