专题21.29 一元二次方程（挑战综合压轴题分类专题）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

这是一份专题21.29 一元二次方程（挑战综合压轴题分类专题）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版），共36页。
专题21.29 一元二次方程（挑战综合压轴题分类专题）
【挑战综合题】
【考点1】一元二次方程➽➼➻可化为一元二次方程的分式方程
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）解方程：．




2．（2012·山东德州·中考真题）解方程：




3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解分式方程：





【考点2】一元二次方程的解★★分式的化简（整体思想）
4．（2023·山东德州·二模）先化简，再求值：，其中x满足．






5．（2012·甘肃兰州·中考真题）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．




6．（2023·江苏连云港·校考二模）先化简，再求值：，其中a是方程的根．




【考点3】解一元二次方程★★配方法的应用（应用）
7．（2023·浙江·一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当，时，，，．
②当，时，，，．
③当，时，，，．
④当，时，，，________2xy．
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式的最小值．






8．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方；
（2）已知，求的值．






【考点4】一元二次方程根的判别式★★根与系数关系
9．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．







10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．






11．（2021·北京·统考中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．






【考点5】一元二次方程➽➼➻几何问题
12．（2019·辽宁沈阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B，

（1）k的值是　 　；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．







13．（2013·黑龙江黑河·中考真题）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2

（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．







14．（2011·山东淄博·中考真题）已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？






【考点6】一元二次方程的应用➽➼➻增长率图形问题★★销售利润问题
15．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？










16．（2023·湖北孝感·统考三模）随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架型无人机的成本是300元．若生产两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产型无人机多少架？






17．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车月份投放了辆，月份投放了辆．
(1)若该品牌共享自行车前个月的投放量的月平均增长率相同，则月份投放了多少辆？
(2)考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产型车的成本价为元辆，售价为元辆，生产型车的成本价为元辆，售价为元辆．根据定制要求，型车的数量超过辆，且型车的数量不少于型车的倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？








【挑战压轴题】
【考点1】解一元二次方程➽➼➻分式方程★★无理方程★★高次方程
18．（2023·浙江温州·校考一模）解方程：
(1) ； (2) ； (3)









19．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程：．









20．（2023·江苏·九年级假期作业）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．






【考点2】一元二次方程★★➽➼➻分式方程★★不等式解集★★勾股定理
21．（2023·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程，若满足，．
(1)求参数a的取值范围；
(2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程的一个根，试求该直角三角形的周长．





22．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
23．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC=，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有，
解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；
当AC为斜边时，有，
解这个方程，得．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点拨】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．
24．(1)A（－3，），B（－6，0），C（0，3）；(2)y＝x＋3；(3)点Q的坐标为（，）或（，）或（－3，3）．
【分析】（1）在中，分别令x＝0，y＝0可求出点C、B的坐标，联立两函数解析式可求出点A的坐标；
（2）由△COD的面积为3，列出式子求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CD的函数解析式；
（3）分情况讨论：①当OC是对角线时，可得点P、Q在OC的垂直平分线上，求出P点坐标可得Q点坐标；②当OC是边，OP是对角线时，根据CP＝CO列式求出P点坐标，进而可得Q点坐标；③当OC是边，OP也是边时，此时菱形OPQC是正方形，进而可得Q点坐标．
解：在中，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝－6，
∴B（－6，0），C（0，3），
联立，解得：，
∴A（－3，）；
（2）设D（x，），
∵△COD的面积为3，
∴，
解得：x＝－2，
∴D（－2，1），
设直线CD的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0），
把C（0，3），D（－2，1）代入得：，
解得：，
∴直线CD的函数表达式为：y＝x＋3；
（3）分情况讨论：
①当OC是对角线时，如图，点P、Q在OC的垂直平分线上，
则点P、Q的纵坐标为，
把代入y＝x＋3得：，
∴P（，），
∴Q（，）；

②当OC是边，OP是对角线时，如图，
设P（a，a＋3），
由CP＝CO得：，
解得：或（舍去），
∴P（，），
设Q（x，y），
则，解得：，
∴Q（，）；

③当OC是边，OP也是边时，如图，
∵∠POC＝90°，
∴此时菱形OPQC是正方形，
∵OP＝OC＝3，
∴Q（－3，3），

综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）或（－3，3）．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
25．(1)b=7；点F（2，6）不是“状元点”；(2)点B的坐标为（-3，4）；(3)-7≤n≤1．
【分析】（1）由m+mn=n变式为=1-m，可知P（m，1-m），所以在直线y=1-x上，点A（0，7）在直线y=x+b上，求得b的值，点F（2，6）代入y=1-x即可得到点F（2，6）是否为“状元点”；
（2）由（1）求得直线AM：y=x+7，进而求得点B的坐标；
（3）设设C（n，1-n），利用两点之间的距离公式列不等式，求解即可．
(1)解：∵m+mn=n且m，n是正实数，
∴+m=1，即=1-m，
∴P（m，1-m），
∴点P在直线y=1-x上，
当x=2时，1-x=-1，
∴点F（2，6）不是“状元点”；
∵点A（0，7）在直线y=x+b上，
∴7=0+b，
∴b=7；
(2)解：由（1）求得直线AM：y=x+7，
∵“状元点”B在直线AM上，且满足y=1-x，
∴，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，4）；
(3)解：∵点C是“状元点”，
∴设C（n，1-n），
∴AC=≤5，
整理得≤0，
解得：-7≤n≤1．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，解不等式，勾股定理的应用等，确定“状元点”在直线y=1-x上是解本题的关键．
26．（1）；（2）y=；（3）见分析
【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过点作于点，根据正方形的性质可得，，然后求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标即可；
（2）过点作轴于点，同理求出点的坐标，设直线的解析式为，、为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点与点重合时，为等腰三角形；点为点关于点的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可．
解：（1）解方程得，，
，
，，
过作于点，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（2）过点作轴于点，

同上可证得，
，，
，
，
设直线的解析式为，、为常数），
代入，得，，
解得，
；
（3）在直线上存在点，使为等腰直角三角形，理由如下：如图，

当点与点重合时，，
当点与点关于点对称时，．
综上所述：点的坐标为或．
【点拨】本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．