数学苏科版9.5 多项式的因式分解精练

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专题1.10 因式分解法（知识梳理与考点讲解）

【知识点1】用因式分解法求解一元二次方程
（1） 定义：
若（x+a）（x+b）=0,则必有x+a=0或x+b=0，进而求出方程的解，这种解法叫做因式分解法。
（2） 因式分解法求解一元二次方程的步骤：
（1） 把方程的右边化为0；
（2） 把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式；
（3） 令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式；
（4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。
【例1】解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，； (2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用十字相乘法求解即可．
（1）解：， （2），
因式分解得：， 因式分解得：，
或， 或，
解得：，； 解得：，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键．
【变式】用因式分解法解下列方程．
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解：， （2）解：
∴， ∴，
∴， ∴，
∴或， ∴．
∴．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【知识点2】选择适合（指定）方法解一元二次方程
一元二次方程的解法选择
（1） 在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：直接开平方法——因式分解法——公式法——配方法；
（2） 对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式；
（3） 对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根。
【例2】用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
(2) ． (4) ．
【答案】(1) ； (2) ；
（3）； (4)
【分析】（1）原方程利用直接开平方法求解即可； （2）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；
（3）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；（4）原方程利用公式法求解即可.
（1）解：原方程即为， （2）解：移项，得，
两边开平方，得， 即为，
解得：； ∴或，
解得：；
（3）解：移项得，
即为，
∴或，
解得：；
（4）方程中，，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，根据方程的特点、选取合适的解法是解题的关键.
【变式】用指定的方法解方程：
(1) （用配方法）； (2) （用公式法）；
(3) （用因式分解法）； (4) （用适当的方法）
【答案】(1) ； (2)
(3) (4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可； （4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）移项，得：，
系数化1，得：，
配方，得：，
，
，
∴，；
（2）原方程可变形为，
，，，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（3）原方程可变形为：，
整理得：，
解得，；
（4）原方程可变形为：，
整理得：，
，
∴，
【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．

【考点一】解含字母参数的一元二次方程
【例1】解关于x的一元二次方程
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
【变式】解关于x的方程：；
【答案】 ；
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【考点二】换元法解一元二次方程
【例2】解方程：
【答案】
【分析】将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解．
解：
移项，整理得：
令，原式变为
解得，（舍去）
∴，即
解得，
故答案为 ，．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根．
【变式】解方程：
【答案】原方程的解为或
【分析】令，将方程转化为，解出或，再代回中，即可解答．
解：令，则原方程转化为：，
整理得：，
解得：或，
经检验：或都是方程的根，
当时，即，
去分母得：，解得：或
经检验，或是方程的根，
当时，，
去分母得：，
整理得：
∵，
∴方程无解，
综上，原方程的解为或．
【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为．
【考点三】解含绝对值的一元二次方程与纠错问题
【例3】阅读下面的例题，解方程的过程如下：
①当时，原方程化为，解得：（舍去）．
②当时，原方程可化为，解得：（舍去）．
原方程的解：．
请参照例题解方程：．
【答案】
【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．
解：当时，原方程化为，解得：（舍去）．
当时，原方程可化为，解得：（舍去）．
原方程的解：．
【点拨】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题干中给出的解方程的方法，是解题的关键．
【考点四】分式的化简与一元二次方程综合
【例4】先化简，再求值：，其中m的值是方程的根．
【答案】，
【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解：


．
∵方程的两根是，．
∴当，原代数式无意义，故舍去．
当时，原式．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

【变式】先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】，
【分析】先运用分式的混合运算法则，进行化简，解一元二次方程求出的值，再代入求值即可．
解：


．
解方程，得或．
又∵，
∴．
∴原式．
【点拨】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程．熟练掌握分式的混合运算法则，因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
【考点五】用一元二次方程解决几何问题
【例5】已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1) 请判断的形状；
(2) 当，时，求一元二次方程的解．
【答案】(1) △ABC为直角三角形； (2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．
解：（1）∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式】已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________
【答案】15
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．
解：若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
此时能构成三角形，的周长为：
若为底，则，即方程有两个相等的实根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得：的周长为15．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．