2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场平安着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，展现了中国航天科技的新高度.下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )
A. 中国探火 B. 中国行星探测
C. 航天神舟 D. 中国火箭
2. 若x A. x−6>y−6 B. 5x>5y C. x+2>y+2 D. −x3>−y3
3. 不等式组x−1≥0−2x<2的解集在数轴上用阴影表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
4. 五边形的内角和为(    )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
5. 下列命题中，属于真命题的是(    )
A. 多边形的外角和都等于360°
B. 直角三角形30°角的对边等于另一直角边的一半
C. 一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合
6. 如图，△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置.如果∠ECD=30°，那么∠ACE等于(    )
A. 70°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
7. 如图，△ABC中，∠B=90°，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，分别交AB，AC于点E和点F.若BC=3，AB=9，则BE的长为(    )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6


8. 如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AE⊥BC.若BE=5，AE=12，则AD的长为(    )

A. 13 B. 17 C. 18 D. 25
9. 赛龙舟是端午节的主要习俗之一，也是中国民俗传统与运动精神的完美结合.2019年起，深圳大沙河生态长廊龙舟邀请赛连续4年举办，已然成为深圳市标志性的体育赛事.2022年龙舟邀请赛设置了标准龙舟(22人龙舟)500米直道竞速赛项目，其中甲、乙两队参加比赛(比赛起点相同)，甲队每秒的速度比乙队快0.5米，结果甲队比乙队提前14秒到达终点.设甲队的速度为x米/秒，下列方程正确的是(    )
A. 500x=500x+0.5−14 B. 500x−0.5=500x−14
C. 500x=500x−0.5−14 D. 500x+0.5=500x−14
10. 如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=4，CD=6，∠A=90°，∠B=∠C=120°，则AD的长度为(    )

A. 5 3 B. 6 3 C. 7 3 D. 2 3+3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 当x=______时，分式x+1x−1的值为0．
12. 若m+n=3，mn=2，则m2n+mn2的值为______ ．
13. 如图，等腰△ABC中，AE为底边BC上的高，点F为AC的中点.若AB=8，则EF= ______ ．


14. 如图，已知函数y=−2x+m(m为常数)和y=nx−2(n为常数且n≠0)的图象交于点P(2,a)，则关于x的不等式−2x+m
15. 为了让学生更直观地认识等腰直角三角形，林老师制作了一个等腰直角三角形教具，课余时间他把教具挂在墙上.如图，教具Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A，B，C位于同一平面内，这三个顶点到地面的距离分别为AF=175cm，BE=145cm，CG=135cm，则AB的长为______ cm．


三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)a−4a3；
(2)3x2−6xy+3y2．
17. (本小题6.0分)
解不等式组2(x+1)≥xx2−1−x3<1，并写出不等式组的非负整数解．
18. (本小题7.0分)
先化简，再求值(x+2−x2x−2)÷4x2−4，其中x=−1．
19. (本小题8.0分)
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2,1)，B(0,2)，C(−1,3)．
(1)作△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1(点A的对应点为A1，点C的对应点为C1)；
(2)把△A1BC1向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2(点A1的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C1的对应点为C2)；
(3)y轴上存在点P，使得PC1+PB2的值最小，则点P的坐标是______ ．

20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)已知AB=5，AC=6，若CD=12BE，求△BDE的周长．

21. (本小题9.0分)
【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
(1)如图1，在▱ABCD中，AB=2，AD=3，∠BAD=60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是______ .同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成.我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是______ ．
(2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌.小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．
①请问两种瓷砖每块各多少元？
②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要______ 元.


22. (本小题9.0分)
在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
(1)【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为______ ；
(2)【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上(不与点A，B重合)，试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)【灵活应用】
当AB=3，CF=3 2时，直接写出线段BD的长为______ ．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】D 
【解析】解：A、∵x ∴x−6 故A不符合题意；
B、∵x ∴5x<5y，
故B不符合题意；
C、∵x ∴x+2 故C不符合题意；
D、∵x ∴−x3>−y3，
故D符合题意；
故选：D．
利用不等式的基本性质判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：x−1≥0①−2x<2②，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x>−1，
∴原不等式组的解集为：x≥1，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：A．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：五边形的内角和是(5−2)×180°=540°.故选B．
n边形的内角和是180°(n−2)，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．

5.【答案】A 
【解析】解：A、多边形的外角和都等于360°，正确，是真命题，符合题意；
B、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等腰三角形的底边的高、底边的中线和顶角的平分线互相重合，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
利用多边形的外角和定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．

6.【答案】C 
【解析】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置，
∴∠ACD=70°，
∵∠ECD=30°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECD=40°，
故选：C．
由旋转的性质可得∠ACD=70°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：由作图得：MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=CE=9−x，
∵∠B=90°，
∴EC2−BE2=BC2，即：(9−x)2−x2=32，
解得：x=4，
故选：B．
根据线段的垂直平分线的性质及勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质及勾股定理的应用是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵BE=5，AE=12，
∴AB= BE2+AE2= 52+122=13，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=DC=13，AD=BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=DC=13，
∴AD=BC=BE+EC=5+13=18．
故选：C．
先根据勾股定理求出AB的长，然后根据平行四边形的性质求出DC，再根据等腰三角形的性质求出EC即可解答．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．

9.【答案】C 
【解析】解：∵甲队的速度为x米/秒，甲队每秒的速度比乙队快0.5米，
∴乙队的速度为(x−0.5)米/秒．
根据题意得：500x=500x−0.5−14．
故选：C．
根据甲、乙两队速度之间的关系，可得出乙队的速度为(x−0.5)米/秒，利用时间=路程÷速度，甲队比乙队提前14秒到达终点，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：延长AB，DC交于E，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠EBC=∠ECB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=CE=BC=4，∠E=60°，
∴AE=5，DE=10，
∴AD= AE2−AD2=5 3，
故选：A．
延长AB，DC交于E，根据邻补角的定义得到∠EBC=∠ECB=60°，求得△BCE是等边三角形，推出BE=CE=BC=4，∠E=60°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等边三角形 的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

11.【答案】−1 
【解析】解：由题意可得x+1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为−1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．

12.【答案】6 
【解析】解：∵m+n=3，mn=2，
∴m2n+mn2=mn(m+n)=3×2=6．
故答案为：6．
将所求式子提取公因式mn，分解因式后，将mn与m+n的值代入即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，分解因式的方法为提取公因式法，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．

13.【答案】4 
【解析】解：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE，
∵点F为AC的中点，
∴AF=CF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB=4，
故答案为：4．
根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

14.【答案】x>2 
【解析】解：如图，函数y=−2x+m(m为常数)和y=nx−2(n为常数且n≠0)的图象交于点P(2,a)，则关于x的不等式−2x+m2．
故答案为：x>2．
找出直线y=−2x+m落在y=nx−2的下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

15.【答案】50 
【解析】解：过点A作DH//EG，分别过点B，C作BE⊥DH于点D，CH⊥DH于点H，则四边形AFED，AFGH是矩形，
∴DE=HG=AF，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠ACH=90°−∠CAH，
在△ABD和△CAD中，
∠BAD=∠ACH∠ADB=∠CHA=90°AB=AC，
∴△ABD≌△CAD(AAS)，
∴DA=CH=HG−CG=AF−CG=175−135=40(cm)，BD=DE−BE=AF−BE=175−145=30(cm)，
在Rt△ABD中，AB= AD2+BD2= 302+402=50(cm)．
故答案为：50．
过点A作DH//EG，分别过点B，C作BE⊥DH于点D，CH⊥DH于点H，证得△ABD≌△CAD，求出DA，根据勾股定理即可求出AB．
本题主要考查了全等三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线并证得△ABD≌△CAD是解决问题的关键．

16.【答案】解：(1)原式=a(1−4a2)
=a(1+2a)(1−2a)；
(2)原式=3(x2−2xy+y2)
=3(x−y)2． 
【解析】(1)先提取公因式a，再用平方差公式分解；
(2)先提取公因式3，再用完全平方公式分解．
本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．

17.【答案】解：2(x+1)≥x①x2−1−x3<1②，
解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x<85，
所以不等式组的解集是−2≤x<85，
所以不等式组的非负整数解是0，1． 
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的非负整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．

18.【答案】解：原式=[(x+2)(x−2)x−2−x2x−2]⋅(x+2)(x−2)4
=x2−4−x2x−2⋅(x+2)(x−2)4
=−4x−2⋅(x+2)(x−2)4
=−x−2．
当x=−1时，原式=1−2=−1． 
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=−1代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

19.【答案】(0,54) 
【解析】解：(1)如图所示，△A1BC1即为所求，

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，

(3)如图，找到点C1关于y轴的对称点C′，连接C′B2，交y轴于点P，
根据“将军饮马”模型可得，点P即为所求，使得PC1+PB2的值最小，
由图可知：点C1(1,1)，点C′(−1,1)，点B2(3,2)，
设直线lB2C′：y=kx+b，将点C′(−1,1)，B2(3,2)代入解析式，
得−k+b=13k+b=2，
解得k=14b=54，
∴lB2C′：y=14x+54，
∴点P的坐标为(0,54)，
故答案为：(0,54).

(1)分别找到点A、C关于点B对称的点A1，C1，连接即可；
(2)将A1BC1各个顶点向右平移三个单位得到对应点A2，B2，C2，连接即可；
(3)利用“将军饮马”模型求解即可．
本题主要考查平面直角坐标系中的图形的平移变换，对称变换及中心对称变换，熟练掌握图形的变换特征是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)解：∵AD=BC，CE=BC，
∴AD=CE=BC，
∵AD//BC，
∴AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=6，
∵CD=12BE，
∴∠BDE=90°，BE=2CD=2AB=10，
∴BD= BE2−DE2= 102−62=8，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)先证明四边形ACED是平行四边形，得出DE=AC=6，再证明△BDE是直角三角形，根据勾股定理求出BD，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

21.【答案】3  18 3  520 
【解析】解：(1)∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，
∴平移的距离就是AD的长，
∵AD=3，
∴平移的距离是3；
由平移的性质可知：平移前后不改变图形的大小，
∴由平行四边形经过两次切割平移而成的图4的面积与▱ABCD的面积相等，
如图1，过D作DE⊥BC于E，

∵▱ABCD中，AB=2，AD=3，∠BAD=60°，
∴CE=12CD=1，BC=AD=3，
根据勾股定理可得：DE= 22−12= 3，
∴▱ABCD的面积=BC×DE=3 3，
∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形(图4)的面积等于3 3，
∵图5由6个基本图形组成，
∴图5的面积=6×3 3=18 3，
故答案为：3；18 3；
(2)设一块正三角形瓷砖的单价为x元，则一块正六边形瓷砖的单价为(x+40)元，
由题意得：500x=2500x+40，
去分母得：2500x=500(x+40)，
解得：x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
x+40=10+40=50(元)，
答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块50元；
(3)∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍，
每个边长为1的正六边形的单价等于边长为1的正三角形的单价的5倍，
∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少，
如图7，

图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多，
∴总费用最少，
∵正六边形8个，正三角形12个，
∴最少费用=8×50+12×10=520(元)．
故答案为：520．
(1)根据平移的意义及性质即可知道平移的距离等于AD的长，根据平移后的图4中的图形与▱ABCD的面积相等求出一个基本图形的面积，再看图5中有几个基本图形即可求出图5的面积；
(2)设一块边长为1的正三角形瓷砖x元，根据题意列出分式方程，解方程并检验后即可求出一块边长为1的正三角形瓷砖的单价，易得一块边长为1的正六边形瓷砖的单价，即可解决问题；
(3)根据一块边长为1的正三角形瓷砖与一块边长为1的正六边形瓷砖的单价与面积之间的关系推出哪种瓷砖更实惠，然后在图7中多用哪种瓷砖，即可求出费用最少的方案及最少费用．
本题是四边形综合题，主要考查平面图形的镶嵌，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，分式方程的应用等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．

22.【答案】AB=CF+BD 3 2−3或3+3 2 
【解析】解：(1)AB=CF+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB，∠CBA=∠CBD=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠AEC=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，∠FCE+∠CFE=90°，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠BAF=∠FCE，
∴△CBD≌△ABF(ASA)，
∴BF=BD，
∵CB=CF+BF，
∴CB=CF+BD，
∴AB=CF+BD，
故答案为：AB=CF+BD．
(2)CF=AB+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB，∠ABC=∠ABF=90°，
∵AE⊥CD，∠AEC=∠CEF=90°，
∴∠BCD+∠CDB=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠CDB=∠ADE，
∴∠BCD=∠DAE，
∴△CBD≌△ABF(ASA)，
∴BD=BF，
∵CF=CB+BF，
∴CF=AB+BD；
(3)①如图，点D在线段AB的延长线上，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB，∠CBA=∠CBD=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠AEC=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，∠FCE+∠CFE=90°，
∵∠CFE=∠AFB，∠BCD=∠ECF，
∴∠BAF=∠BCD，
∴△CBD≌△ABF(ASA)，
∴BF=BD，
∵BF=CF+BC，
∴BD=CF+BC，
∴BD=CF+AB，
∵AB=3，CF=3 2，
∴BD=AB+CF=3+3 2；

②如图，点D在线段AB上，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB，∠ABC=∠ABF=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠CEF=90°，
∴∠BCD+∠CDB=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠CDB=∠ADE，
∴∠BCD=∠DAE，
∴△CBD≌△ABF(ASA)，
∴BD=BF，
∵CF=CB+BF，
∴CF=AB+BD，
∵AB=3，CF=3 2，
∴BD=CF−AB=3 2−3．

故答案为：3 2−3或3+3 2．
(1)根据等腰直角三角形的性质可知BC=AB，∠CBA=∠CBD=90°，再利用垂直的定义及余角的定义可知△CBD≌△ABF(ASA)，最后利用全等三角形的性质即可解答；
(2)根据等腰直角三角形的性质可知BC=AB，∠ABC=∠ABF=90°，再利用垂直的定义及余角的定义可知△CBD≌△ABF(ASA)，最后利用全等三角形的性质即可解答．
(3)根据题意，分①点D在线段AB的延长线上，②点D在线段AB上两种情况讨论即可解答．
本题考查了三角形的综合应用，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．