北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题

这是一份北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在平面直角坐标系中，，则向量（    ）
A． B． C． D．
2．在以下4项调查中：
①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间；
②调查某省的一种结核病的发病率；
③调查一批食品的合格率；
④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例；
适合用全面调查的是（    ）
A．① B．② C．③ D．④
3．复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量，若，则实数（    ）
A． B． C．1 D．4
5．某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（    ）
A．14 B．16 C．28 D．32
6．若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．已知非零向量满足，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
9．如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（    ）
  
A． B． C． D．
10．已知半圆的直径为圆心，圆周上有两动点满足．设弦与弦的长度之和与的关系为，则最大值为（    ）
    
A．3 B． C． D．

二、填空题
11． .
12．已知是复数的共轭复数，，其中是虚数单位，则 ．
13．在中，，则 ．

三、双空题
14．为了解某小区6月份的用电量情况，近过随机抽样获得其中300户居民的月用电量（单位：度），发现都在之间．将所有数据按照分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．
  
则 ；该小区居民6月份用电量的分位数大约是 ．

四、填空题
15．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，有以下四个说法：
①可能与相交；
②与不可能平行；
③与是异面直线；
④三棱锥的体积为定值；
其中，所有正确说法的序号是 ．
  

五、解答题
16．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)求方程的解集．
17．某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
14
客场1
18
6
主场2
15
12
客场2
13
5
主场3
22
8
客场3
21
7
主场4
23
17
客场4
18
15
(1)从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；
(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；
(3)记是表中8场命中率的平均数，是表中4个主场命中率的平均数，是表中4个客场命中率的平均数，比较的大小．（只需写出结论）》
18．已知平面直角坐标系中，等边的顶点坐标为，点在第一象限，点是平面内任意一点．
(1)若四点能构成一个平行四边形，求点的坐标；（写出所有满足条件的情况）
(2)若点为线段边上一动点（包含点），求的取值范围．
19．在中，．
(1)求；
(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：边上的高为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．
20．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点．
  
(1)求证：//平面；
(2)求证：；
(3)若平面，求实数的值．
21．设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．
(1)若，求的一个二阶划分，使得；
(2)若．求证：不存在的二阶划分满足；
(3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．

参考答案：
1．B
【分析】利用起点和终点坐标求向量坐标.
【详解】依题意，，.
故选：B
2．A
【分析】根据全面调查的定义判断即可.
【详解】根据全面调查的定义可知，①适合用全面调查，②③④适合用抽样调查.
故选：A
3．B
【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.
【详解】，故对应的点为，位于第二象限，
故选：B
4．C
【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量，且，则，则.
故选：C
5．C
【分析】根据抽样比即可按比例求解.
【详解】高一年级应抽取人，
故选：C
6．C
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合几何关系，数形结合，即可判断.
【详解】必要性：如图，，平面与平面交于，平面交平面交于，，，平面是相交平面，所以与，与是相交直线，
所以与是异面直线，
且，，所以，同理，
    
所以满足必要性，
充分性，
若异面直线平移至点，成为相交直线，当直线都与平面平行时，
  
则所确定的平面都与平行，
此时，所以“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分条件，
由以上可知，“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分必要条件.
故选：C
7．A
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
所以，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
8．C
【分析】由，结合模长公式以及数量积公式得出夹角.
【详解】因为，所以，
，即与的夹角为.
故选：C
9．D
【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式即可求解.
【详解】设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，，
剩下几何体的体积．
故选：D
10．B
【分析】根据题意，分别表示出，得到函数关系式，然后换元，由二次函数的最值即可得到结果.
【详解】    
由题意可得，，且，
做于点，于点，
则，
，
则，
令，因为，则，所以，
所以，，
对称轴，则.
故选：B
11．
【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题.
12．
【分析】由共轭复数的定义结合模长公式计算即可.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：
13．或
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得,由于,所以或，
故答案为：或
14． 0.0044 175
【分析】根据频率和为1求；再根据百分位数公式，结合频率分布直方图，即可求解.
【详解】根据频率分布直方图可知，，
得，
设小区居民6月份用电量的分位数
，
.
故答案为：；
15．①③④
【分析】分别取和的中点，可证得平面平面，从而可得点的轨迹是线段，再逐一判断即可.
【详解】如图：
  
分别取和的中点，连接，
则，，
因为平面，平面，所以平面，
同理得平面，
又，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以点的轨迹是线段.
对于①，连接交于，当在点处时，与相交，故①正确；
对于②，当在的中点处时，，故②错误；
对于③，假设与不是异面直线，则与共面且相交，
因为，，
所以由和可确定平面，由和可确定平面，
显然平面与平面不是同一平面，
这与三条两两相交直线（不交于同一点）确定一个平面矛盾，
所以假设不成立，即与是异面直线，故③正确；
对于④，由，平面，平面，
所以平面，三棱锥的高为到平面的距离，
又因为在线段上运动，所以等于点到平面的距离，为定值，
又底面三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故④正确.
故答案为：①③④
16．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的周期公式即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）最小正周期.
（2）∵在上单增，
∴令，
∴，
∴的单增区间为.
（3）令即，
∴或，
∴或，
∴方程的解集是或
17．(1)0.5
(2)
(3)

【分析】（1）统计8场比赛中的投中率，即可求解，
（2）根据独立事件的概率公式即可求解，
（3）由平均数的定义即可结合表中数据求解.
【详解】（1）根据投篮统计数据，在8场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的有4场，分别是主场1，主场2，主场4，客场4．
∴在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率是0.5．
（2）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5”．
则相互独立．
根据投篮统计数据，．
故
∴在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5的概率是．
（3），
理由：根据表中数据可知主场的4场比赛中，投篮命中率的平均数显然高于客场的，所以，由于，所以.
18．(1)或或
(2)

【分析】（1）根据四点能构成一个平行四边形，分类讨论或者或者，根据向量相等的概念求解即可；
（2）根据题意设，得到，进而求得取值范围即可.
【详解】（1）∵等边的顶点坐标为，点在第一象限
∴点的坐标为
又∵若四点能构成一个平行四边形
∴或者或者
设，则
由可得即∴
由可得即∴
由可得即∴
∴D的坐标为或或
（2）∵点为边上一动点（包含点），
∴可设
∴
∴
∴当时，的最大值为4，
当时，的最小值为2．
∴的取值范围是
19．(1)
(2)

【分析】（1）利用降幂公式和二倍角的余弦公式化简即可得解；
（2）选①②，先利用正弦定理求出边，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
选①③，先根据边上的高求出边，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
选②③，先根据边上的高求出边，再利用正弦定理求出角，即可得解.
【详解】（1）在中，，
∴
∴，即，
∵在中，，
∴；
（2）选择①②，则，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴.
选择①③，∵边上的高为，，
∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴.
选择②③，∵边上的高为，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴或，此时不唯一．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）根据线线平行即可求证，
（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直,
（3）根据线面垂直得到线线垂直，进而根据边角关系即可求解.
【详解】（1）∵,平面,平面
∴平面
  
（2）∵为等边三角形，为的中点，∴
又∵平面平面，平面平面，平面
∴平面，
又∵平面，∴
（3）延长文于点,
∵平面,平面，
∴,∴,即，
∵,∴，
∵，
∴，
∴，又为的中点，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∴即，
21．(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）根据二阶划分的定义，结合第一问的条件，即可求解；
（2）首先假设存在的二阶划分满足，再计算，即可推出矛盾，即可证明；
（3）根据二阶划分的定义，并结合奇数集合和偶数集合，即可推理求解.
【详解】（1）中所有元素之和为中所有元秦之和为
且
∴
∴，即可知
∵
∴
（2）假设存在符合条件的一个二阶划分满足，
则，从而是3的倍数
又∴
∵55不是3的倍数
∴假设不成立
∴不存在的二阶划分满足
（3）任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以2，…经过次以后．
商必为奇数，此时记商为，即，其中为奇数．
∵，则，即
∴若为奇数时，，即；当为偶数时，；
∴A中的任意一个偶数的位置都是确定的，且与的位零相关．
∴可知是由中的奇数1，3，5，…的位置确定．
设表示中所有的奇数的集合，则等于的子集的个数．
当是奇数时，中的奇数个数有个，此时的子集个数有个，即
当是偶数时，中的奇数个数有个，此时的子集个数有个，
即
所以
【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义问题，以及推理证明的综合应用，难度较大，本题的关键是理解二分划分的定义，以及理解的定义.