广西百色市2022-2023学年高一上学期期末教学质量调研测试数学试题

这是一份广西百色市2022-2023学年高一上学期期末教学质量调研测试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广西百色市2022-2023学年高一上学期期末教学质量调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ）
  
A． B．
C． D．
2．设命题，则的否定为（    ）
A． B．
C． D．
3．的值为（    ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则的定义域为（    ）
A． B．
C． D．
5．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是（    ）
  
A． B． C． D．
6．设，则的零点所在大致区间为（    ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
8．设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（    ）
A．函数的图像恒过定点
B．是的充分不必要条件
C．函数的最小正周期为
D．函数的最小值为
11．函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（    ）
A．. B．
C． D．
12．已知奇函数对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）
A．函数是奇函数
B．为函数的一条对称轴
C．若，则有
D．函数在区间上单调递减

三、填空题
13．若点在角的终边上，则 ．
14．幂函数在区间上单调递增，则 ；
15．已知，则 .
16．已知函数，若关于的方程有个不同根，则整数的取值范围是 .

四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
18．已知集合，，，
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．已知
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知函数的部分图象如图所示.
  
(1)求的解析式；
(2)若在上单调递增，求的取值范围.
21．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22．已知函数.
（1）求证：是奇函数；
（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.

参考答案：
1．B
【分析】根据图表示的进行计算即可.
【详解】图中阴影部分表示的集合是，
因为，，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据特称命题的否定即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3．A
【分析】利用诱导公式和三角函数的两角和的正弦公式求解.
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：A
4．D
【分析】根据题意列式求解定义域即可.
【详解】由题意得：，所以，
所以的定义域为.
故选：D
5．A
【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可得解.
【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是，
扇形COD的面积是．
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．
故选：A
6．C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】因为与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，且为连续函数，
又，，即，
所以的零点所在大致区间为.
故选：C
7．D
【分析】根据指数函数和对数函数结合指数幂的运算，利用中间量法即可得出答案.
【详解】，
，
因为，所以，
所以.
故选：D.
8．B
【分析】先得到为奇函数，根据奇函数的性质得出上的单调性，然后分类讨论解不等式.
【详解】由和定义域可得，为奇函数，
由在上单调递增，由奇函数的性质得在上是增函数，且，
显然不满足，
又，
于是由，可得或，解得，
类似的，的解集为，
所以不等式等价为，解得，
或，解得，
综上所述，的解为.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.
【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；
对于B，当时，不成立，B错误；
对于C，由于，故，C正确；
对于D，因为，则，
故，故，D正确，
故选：ACD
10．ABC
【分析】对于A，根据指数型函数相关性质直接计算；
对于B，根据充分不必要条件的相关概念直接判断；
对于C，根据三角函数周期性直接判断；
对于D，根据基本不等式，结合取等条件进行判断即可.
【详解】对于A，令，得，此时，该函数图像恒过定点，故A正确；
对于B，是的充分不必要条件显然正确，故B正确；
对于C，函数的最小正周期为显然正确，故C正确；
对于D，函数，
当且仅当时取等，此时，无实数解，故取不到最小值2，即函数的最小值不为2，故D错误.
故选：ABC
11．BD
【分析】根据指数函数图像性质直接判断.
【详解】由题意得，中若，，则，
若，，则；
中表示纵截距.
对于A，图像中，图像中，故A错误；
对于B，图像中，图像中，故B正确；
对于C，图像中，图像中，故C错误；
对于D，图像中，图像中，故D正确；
故选：BD
12．BC
【分析】利用已知条件求出的周期可得，再利三角函数图象的平移伸缩变换得的解析式，利用诱导公式化简得可判断A；由是否取得最值可判断B；利用正弦的二倍角公式计算可判断C：求出的范围，根据正弦函数的单调性可判断D.
【详解】，
对于都有成立，所以，，
所以对于都成立，
可得的周期，所以，所以，
又函数为奇函数有，即，由可求，
故函数，图象向右平移个单位长度可得，
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得，
对于选项A：，
因为是偶函数，所以是偶函数，故选项A错误；
对于选项B：函数，
所以是它的一条对称轴，故选项B正确；
对于选项C：若，则有，
于是，故C正确：
对于选项D：当时，，所以函数在区间上单调递增，故选项D错误.
故选：BC.
13．
【解析】根据正弦函数的定义可求的值.
【详解】因为，故，故，
故答案为：.
14．2
【分析】根据幂函数相关性质直接求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，则，
当时，在区间上单调递增，符合题意；
当时，在区间上单调递减，不符合题意.
所以.
故答案为：2
15．
【分析】对平方，结合的平方关系，计算.
【详解】因为，可得，所以.
故答案为：
16．
【分析】令，结合函数图象，可知有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上，构造，结合二次函数根的分布，列出不等式，解出的范围，可得结论.
【详解】作出函数的图象如图：关于x的方程有6个不同根，
令，，即方程有2个不同的解，
可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.
令，
若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得，
若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解，
综上，∴.
故答案为：
  .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于作出的图象，结合二次函数的性质判断概的位置，从而得解.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据根式的运算，化简可得答案；
（2）根据对数的运算法则即可求得答案.
【详解】（1）；
（2）



.
18．(1)或
(2)或

【分析】（1）根据条件得到，再结合交集和补集运算求解即可；
（2）根据得到，根据和分类讨论即可.
【详解】（1）当时，，
又因为，
所以，
因为，
所以或
（2）若，则有，即    
当时，则，得；
当时，则，即，则；
综上，实数m的取值范围为或
19．(1)
(2)或

【分析】（1）由诱导公式化简可得，再由两角和的正切展开式即可求出；
（2）由、可求解.
【详解】（1）依题意，，
即可得，
于是；
（2）由（1）有，又，
解得，，又与同号，
于是或.
20．(1)
(2)

【分析】（1）结合图像的最高点可求出，根据轴上的数据可求出周期，然后在代入一个点可求出解析式；
（2）根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦函数的单调性求解.
【详解】（1）依题意，由图知，，，即，
得，所以，
又，所以，，
即，，由得，所以.
（2）由（1）可知，，
则，    
因为，所以，
根据正弦函数在上递增可知，
所以，即，
所以m的取值范围为.
21．(1)
(2)当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．

【分析】（1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当时利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后再比较即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
；
（2）当时，，
这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，
当时，，
，当且仅当即时，等号成立，
，
即当时，取到最大值2300，
，
当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）计算化简，得出即可证明；
（2）根据奇函数得出，再根据单调性得出，进而得出恒成立，令，可得，利用单调性求出的最大值即可.
【详解】（1）证明：的定义域是R，又，
且，
所以，是奇函数.
（2）解：由，
得，
因为是奇函数，
所以，
即.
又因为在R上单调递增，
所以，
即，
所以，对任意，恒成立，
设，.
则.
因为函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以，实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用函数是奇函数和单调递增得出恒成立，换元得出，再利用单调性求出最大值.