北师大版数学八年级上册课件第五章 二元一次方程

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第五章 二元一次方程北师大版初二上册鸡兔同笼问题上图是历史长河中经典的数学题，本章的内容正是来教给我们如何解决这一类的问题。认识二元一次方程组它们各自驮了多少个？设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此你能得到怎样的方程?设他们中有x个成人、y个儿童.由此你能得到怎样的方程?上面两个问题中，我们分别得到方程x-y=2,x+1=2(y-1)和x+y=8,5x+3y=34,这些方程各含有几个未知数?含未知数的项的次数是多少?含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中，x所代表的对象相同吗?y呢?方程x+y=8和5x+3y=34中，x,y所代表的对象分别相同，x代表成人，y代表儿童.因而x,y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34.把它们联立起来，得x+y=8,5x+3y=34.像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.如x=6,y=2是方程x+y=8的一个解， （1）方程x+y=8的另一个解，记作 （2）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.（1）（2）都满足方程x+y=8，但只有（2）同时满足x+y=8和5x+3y=34.所以，（2）是这个方程组的公共解。小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元.小明买了两种邮票各多少枚?求解二元一次方程组前文提到了老牛和小马到底各驮了几个包裹的问题，解决问题这就需要解方程组，也就是：x-y=2, ①x+1=2(y-1). ②由①,得y=x-2. ③由于方程组中相同的字母代表同一对象，所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.这样有x+1=2(x-2-1). ④解所得的一元一次方程④,得x=7.再把x=7代入③,得y=5.这样，我们得到二元一次方程组的解。因此，老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹. 前面的解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.x-y=2, ①x+1=2(y-1). ②由①,得y=x-2. ③用x-2代替方程②中的y.这样有x+1=2(x-2-1). ④解方程④,得x=7.再把x=7代入③,得y=5.怎样解下面的二元一次方程组呢?3x+5y=21,①2x-5y=-11.②两个方程相加，可以得到5x=10,x=2.将x=2代入①,得6+5y=21,y=3.所以方程组的解是x=2y=3.上面解方程组的基本思路仍然是“消元”.主要步骤是:通过两式相加(减)消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.两个方程相加，可以得到5x=10,x=2.将x=2代入①……3x+5y=21,①2x-5y=-11.②应用二元一次方程组——鸡兔同笼问题开头我们引入了鸡兔同笼问题，现在我们运用所学知识来尝试解题。"雉兔同笼”题为：“今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何?”设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组x+y=35,2x+4y=94.解这个方程组，得x=23,y=12.所以笼中有鸡23只、兔12只.前有鸡兔同笼，后有以绳测井：若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何?题目大意是：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺?解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，得应用二元一次方程组——增收节支问题某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有根据上表，可以列出方程组________________解得____________因此，去年的总收入是________总支出是____________（1+0.2）x (1-0.1)y20％=0.2，0.2x指的是增加的部分，总收入应该是原有的加上增加的部分，也就是x+0.2x，也就是（1+0.2）xx-y=2001.2x-0.9y=780（1+0.2）x —(1-0.1)y=780医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?列出方程。分析：设每餐需甲原料xg、乙原料yg,则有解：设每餐需甲原料xg、乙原料yg,根据题意，得0.5x+0.7y=35, 蛋白质x+0.4y=40. 铁质应用二元一次方程组——里程碑上的数小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1h看到的里程情况.你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗?12点：是一个两位数，它的两个数字之和为7.13点：十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了.14点：比12:00时看到的两位数中间多了个0.如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么(1)12:00时小明看到的数可表示为根据两个数字之和是7,可列出方程 (2)13:00时小明看到的数可表示为 12:00～13:00间摩托车行驶的路程是 (3)14:00时小明看到的数可表示为 13:00～14:00间摩托车行驶的路程是x+y=710y+x10y+x-(10x+y)100x+y1oox+y-(1oy+x)12点时，小明看到的是xy，这里的x是指十位上的数字，比如32里的3表示十位是3，如果拆开，就是30+2，用字母表示就是10x+y(4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?根据以上分析，得方程组x+y=7,(100x+y)-(10y+x)=(10y+x)-(10x+y).x=1,y=6.因此，小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.这两段时间，摩托车速度不变，且都是间隔一小时，所以路程相等解得二元一次方程与一次函数(1)方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗?(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗?(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?方程x+y=5的解有无数个.以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同，是同一条直线.想一想在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗?做一做一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.用二元一次方程组确定一次函数表达式某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元.(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?解：(1)设y=kx+b,根据题意，得5=60k+b,①10=90k+b.②②-①,得30k=5,即k=1/6将k=1/6代入①,得b=-5.所以y=1/6x-5.(2)令y=0,即1/6x-5=0,解得x=30;当x>30时，y>0.所以旅客最多可免费携带30kg的行李.像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.待定系数法三元一次方程组如图是一个三元一次方程组，尝试求解在这个方程组中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程.像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.解方程组：x+y+z=23,①x-y=1, ②2x+y-z=20.③解：由方程②得x=y+1.④把④分别代入①③,得2y+z=22,⑤3y-z=18.⑥解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得y=8,⑦z=6.⑧把y=8代入④,得x=9.经检验，x=9,y=8,z=6适合原方程组所以原方程组的解是x=9y=8,z=6.END