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2023年辽宁省大连市名校联盟中考数学最后一练（含解析）
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这是一份2023年辽宁省大连市名校联盟中考数学最后一练（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省大连市名校联盟中考数学最后一练
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的绝对值是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在平面直角坐标系中，点P(2,−3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (2,3) B. (2,−3) C. (−2,3) D. (−2,−3)
4. 下列计算正确的是( )
A. 10 5=2 B. 3 2− 2=3
C. (−2)2=−2 D. ( 3+ 2)( 3− 2)=1
5. 如图，已知AE//BD，∠1=120°，∠2=30°，则∠C的度数是( )
A. 20° B. 22° C. 25° D. 30°
6. 中国共产党第二十次全国代表大会指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元.数据81000用科学记数法可表示为( )
A. 81×104 B. 8.1×104 C. 8.1×105 D. 0.81×106
7. 一元二次方程x2+x−2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8. 某中学八年级甲、乙两个班进行了一次跳远测试，测试人数每班都为40人，每个班学生的跳远成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图．
根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 甲班A等级的人数在甲班中最少 B. 乙班D等级的人数比甲班少
C. 乙班A等级的人数与甲班一样多 D. 乙班B等级的人数为14人
9. 如图，在△ABC中，AC=6，分别以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BCE的周长为10，则BC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10. 如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，则下列结论：
①abc>0；②2a+b=0；③a−b+c<0.其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算(12)−1−30= ______ ．
12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛.若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是______ ．
13. 水果超市花费960元购进樱桃80千克，在运输和销售过程中有20%的损耗.为了避免亏本，设该樱桃售价为x元/千克，则可列不等式为______ ．
14. 我国古代《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉.”翻译后的大致意思是：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷(1斗=10升)？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4 2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AC于点E，则图中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，在△ABC中，AB=AC=x，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，设CE的长为y，当x>0时，y关于x的函数解析式为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
计算(xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1．
18. (本小题10.0分)
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩(初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七，八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
七年级
8.3
8.5
a
1.41
50%
八年级
8.3
8
7
1.61
m%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，m= ______ ；
(2)若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
(3)根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由.(写出一条理由即可)
19. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F.求证：AE=CF．
20. (本小题10.0分)
如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？
(结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， 2≈1.4)
21. (本小题9.0分)
某商场将进价为每盒20元的商品以每盒36元售出，平均每天能售出40盒.经市场调查发现：当售价每降低1元时，平均每天就可以多销售10盒.商场要使这种商品每天的利润达到750元，并希望尽快减少库存，应将每盒的售价定为多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，平面直角坐标系中，点A(a, 3)，B(−3,b)在反比例函数y=6 3x的图象上，过A作AC⊥y轴于点C，过C作CD⊥AB于点D．
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)求CD的长．
23. (本小题10.0分)
如图1，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过D作DE//AC交BA的延长线于点E．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)如图2，连接AD，若AE=2，DE=4，求AD的长．
24. (本小题11.0分)
如图，△ABC中，CD⊥AB于D.AC=10cm，AD=8cm，点E在AC上，且CE=CD，连接DE，点F从点A出发，以2cm/s的速度沿AC边向终点C运动，过F作FG⊥AB于G，FH⊥CD于H，得到矩形FGDH，DE与矩形FGDH的边交于点M，连接DF，当点F不与点A、E、C重合时，设点F的运动时间为t(s)，△FDM的面积为S(cm2).
(1)求AE的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25. (本小题11.0分)
如图1，△ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，连接BD，点E在BC边上，连接AE交BD于点F，且∠BAE=∠DBC，点G在BC边上，∠AGB=45°．
(1)求证：∠BAG=∠EAD；
(2)如图2，过D作DH⊥AE于H，交AB于点M，过F作FN//AG，求证：AM=BN；
(3)在(2)的条件下，AB=3BN，BF=kFN，求k的值．
26. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2−4ax−1(a>0)的顶点为A．
(1)如图1，当a=1时，点A的坐标为______ ；
(2)在(1)的条件下，点C，D是抛物线C1上不同的两点，点C的横坐标为m，点D的横坐标为2−m，将此抛物线上C、D两点之间的部分(包括C、D两点)记为图象G，顶点A在图象G上(点A不与点C、D重合)，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)如图2，直线y=−1与抛物线C1交于点E，F(点E在点F左侧)将抛物线C1沿直线y=−1翻折，得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为B，当四边形AFBE为正方形时，AB与EF的交点为G，点P在抛物线C2上，直线AP与线段GF交点为M，过M作MN⊥AM交BE于点N，连接AN，设△AMN的面积为S1，正方形AFBE的面积为S2，当S1=516S2时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.【答案】A
【解析】解：从左边看上下各一个小正方形．
故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】A
【解析】解：点P(2,−3)关于x轴对称的点的坐标是：(2,3)．
故选：A．
利用关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A． 10 5= 105= 2，所以A选项不符合题意；
B.3 2− 2=2 2，所以B选项不符合题意；
C. (−2)2=2，所以C选项不符合题意；
D.( 3+ 2)( 3− 2)=3−2=1，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据平方差公式对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AE//BD，∠1=120°，
∴∠CBD=∠1=120°，
∴∠CDB=∠2=30°，
∵∠C+∠CBD+∠CDB180°，
即∠C+120°+30°=180°，
∴∠C=30°，
故选：D．
首先根据平行线的性质得∠CBD=∠1=120°，再根据对顶角相等得∠CDB=∠2=30°，然后利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数．
此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质，难点是应用转化思想，将∠1，∠2转化到△BCD中．
6.【答案】B
【解析】解：81000=8.1×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】A
【解析】解：△=b2−4ac=12−4×1×(−2)=9，
∵9>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△>0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△<0，没有实数根．
8.【答案】D
【解析】解：A、由条形统计图可知，甲班A等的人数最少，故选项A不合题意；
B、由扇形统计图可知，乙班D等级的人数为：40×20%=8(人)，甲班D等级的人数为14人，故乙班D等的人数比甲班少，故选项B不合题意；
C、乙班A等级的人数为：40×(1−35%−40%−20%)=2(人)，甲班A等级的人数为5人，故选项C不合题意；
D、乙班C等级的人数为：40×35%=14(人)，故选项D符合题意．
故选：D．
根据条形统计图中的数据可判断选项A，根据扇条形图和形统计图的数据分别求出乙班A，B，C，D四个等级的人数，然后比较大小即可解答本题．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】C
【解析】解：由作图知，直线MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为10，
∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=10，
∵AC=6，
∴BC=10−6=4，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
本题主要考查了垂直平分线和勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误，
∵对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确，
∵抛物线与x轴左边的交点−1
故选B．
根据抛物线特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与x轴交点位置可判断③．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：(12)−1−30=2−1=1，
故答案为：1．
根据负整数指数幂，零指数幂计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12.【答案】38
【解析】解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛，
∴这名学生是女生的概率是38．
故答案为：38．
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】(1−20%)x≥96080
【解析】解：设商家把售价应该定为x元/千克，
根据题意得：(1−20%)x≥96080，
故答案为：(1−20%)x≥96080．
设商家把售价应该定为x元/千克，因为销售中有20%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为(1−20%)x，根据题意列出不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价≥进价”列出不等式即可求解．
14.【答案】5x−11=7y7x−25=5y
【解析】解：∵5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷，
∴5x−11=7y；
∵7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，
∴7x−25=5y．
∴根据题意可列方程组5x−11=7y7x−25=5y．
故答案为：5x−11=7y7x−25=5y．
根据“5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】8−2π
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠ABC=90°，AB=BC，
∵AC=4 2，
∴AB=BC=4，
∴S阴=S△ABC−S扇形ABE=12×4×4−45π×42360=8−2π．
故答案为：8−2π．
根据S阴=S△ABC−S扇形ABE，求解即可．
本题考查了扇形的面积的计算及正方形的性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．
16.【答案】y=23x
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠ADC=180°−∠C−∠DAE=120°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠ADC−∠EDC=30°，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AC=x，CE=y，
∴DE=AE=AC−CE=x−y，
∵DE=12EC，
∴x−y=12y，
∴y=23x.
故答案为：y=23x.
由等腰三角形的性质，垂直的定义推出∠DAE=∠ADE=30°，得到AE=DE，又AC=x，CE=y，由直角三角形的性质得到DE=12EC因此，x−y=12y，即可得到y=23x.
本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，函数关系式，关键是由等腰三角形的性质推出AE=DE．
17.【答案】解：原式=[xx(x+1)−1]÷(x+1)(x−1)(x+1)2
=(1x+1−x+1x+1)⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1
=x1−x．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】9 45
【解析】解：(1)∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10，
∴9分的人数最多，七年级成绩的众数为a=9，
八年级的优秀率是4+520×100%=45%，
∴m=45，
故答案为：9；45；
(2)900×520=225(人)，
答：估计八年级进入复赛的学生为225人；
(3)根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：50%、45%，
故七年级的学生初赛成绩更好．
(1)根据众数定义、优秀率的定义即可求出a、m的值；
(2)用900乘以满分的百分比即可求解；
(3)根据优秀率进行评价即可．
本题考查了众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体，掌握从图中获取信息，优秀率、众数的定义是关键．
19.【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠1=∠2．
∵O是BD的中点，
∴OD=OB．
在△DOF和△BOE中，
∠1=∠2,∠DOF=∠BOE,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(AAS)，
∴DF=BE，
∴CD−DF=AB−BE，
∴AE=CF．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，证明AB//CD，AB=CD，可得∠1=∠2.再证明OD=OB.证明△DOF≌△BOE(AAS)，可得DF=BE，从而可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
20.【答案】解：如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5−2.5=8，
∴AH=BH=8．
在Rt△AHC中，tan65°=CHAH，
∴CH≈8×2.1=16.8，
∴BC=CH−BH=16.8−8≈9(米)．
答：云梯需要继续上升的高度BC约为9米．
【解析】如图，作AH⊥CN于H.想办法求出BH、CH即可解决问题；
本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21.【答案】解：设每盒商品降价x元，
根据题意，得(36−x−20)(40+10x)=750，
整理得x2−12x+11=0，
解得x1=11，x2=1，
因为要减少库存，
所以x=11，
36−11=25，
所以，应将每盒的售价定为25元．
【解析】利用每一盒的利润×销售的数量=获得的利润列出方程解答即可．
此题考查一元二次方程应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】6 −2 3
【解析】解：(1)∵点A(a, 3)，B(−3,b)在反比例函数y=6 3x的图象上，
∴a=6 3 3=6，b=6 3−3=−2 3，
故答案为：6，−2 3；
(2)如图，连接BC，
∵点A(6, 3)，B(−3,−2 3)，
∴AB= (6+3)2+( 3+2 3)2=6 3，
∴S△ABC=12AC⋅|yA−yB|=12AB⋅CD，
即12×6×( 3+2 3)=12×6 3×CD，
解得CD=3，
答：CD=3．
(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、点B坐标代入即可求出a、b的值；
(2)求出线段AB的长，再根据三角形面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将图象上点的坐标代入函数关系式是常用解题方法．
23.【答案】(1)证明：连接OD交AC于点I，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∵DE//AC，
∴∠ODE=∠OIA=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
(2)解：如图2，∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∵AD=CD，
∴∠EBD=∠CAD，
∴∠EDA=∠EBD，
∵∠E=∠E，
∴△EDA∽△EBD，
∴ADDB=DEBE=AEDE=24=12，
∴BE=2DE=2×4=8，DB=2AD，
∴AB=BE−AE=8−2=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD2+DB2=AB2，
∴AD2+(2AD)2=62，
解得AD=6 55或AD=−6 55(不符合题意，舍去)，
∴AD的长是6 55．
【解析】(1)连接OD交AC于点I，由∠ABC的平分线交⊙O于点D，得AD=CD，则OD垂直平分AC，因为DE//AC，所以∠ODE=∠OIA=90°，即可证明DE为⊙O的切线；
(2)先证明△EDA∽△EBD，得ADDB=DEBE=AEDE=12，则BE=2DE=8，DB=2AD，所以AB=BE−AE=6，再根据AB是⊙O的直径，证明∠ADB=90°，由勾股定理得AD2+(2AD)2=62，即可求得AD=6 55．
此题重点考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、切线的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ACD中，AC=10cm，AD=8cm，
∴CD= AC2−AD2=6(cm)，
∵CD=CE，
∴CE=6cm，
∴AE=AC−CE=10−6=4(cm)，
答：AE=4cm；
(2)①当点F在线段AE上时，此时0
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴△AFG∽△ACD，
∴AFAC=AGAD=FGCD，
即2t10=AG8=FG6，
解得AG=8t5，FG=6t5=DH，
∵FH⊥CD，AD⊥CD，
∴FH//AB，
∴△EFM∽△EAD，
∴EFAE=FMAD，
即4−2t4=FM8，
∴FM=8−4t，
∴S=12FM⋅DH
=12×(8−4t)×6t5
=−125t2+245t(0
∵EN//CD，
∴△AEN∽△ACD，
∴AEAC=ENCD=ANAD，
即410=EN6=AN8，
解得EN=125，AN=165，
∴ND=AD−AN=245，
由①可得AG=8t5，FG=6t5，
∵FG⊥AB，AB⊥CD，
∴FM//CD，
∴△EFM∽△ECD，
∴FMCD=EFEC，
即FM6=2t−46，
∴FM=2t−4，
∴S=12FM⋅DG
=12×(2t−4)×(8−16t5)
=−165t2+725t−16(2
(2)分两种情况，即点F在AE上，点F在CE上，分别画出相应的图形，利用相似三角形的判定和性质进行计算即可．
本题考查函数关系式，掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
25.【答案】(1)证明：∵AB=AD，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴∠AGB=∠ADB=45°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠DAG=∠DBC，
∵∠BAE=∠DBC，
∴∠DAG=∠BAE，
∴∠BAG=∠EAD；
(2)证明：如图，过点B作BP⊥AB交AE的延长线于点P，
∵∠BAC=90°，BP⊥AB，
∴∠BAC=∠ABP=90°，
∴AC//BP，
∴∠P=∠EAD，∠BNF=∠BAG，
∵∠BAG=∠EAD，
∴∠P=∠BNF，
∵∠ABD=45°，BP⊥AB，
∴∠ABD=∠PBD=45°，
又∵BF=BF，
∴△BFN≌△BFP(AAS)，
∴BN=BP，
∵AE⊥DM，
∴∠BAP+∠P=90°=∠BAP+∠AMD，
∴∠AMD=∠P，
又∵AB=AD，
∴△ADM≌△BAP(AAS)，
∴AM=BP，
∴BN=AM；
(3)解：如图，过点F作FS⊥AB于S，FR⊥BP于R，
∴四边形BRFS是矩形，
设BN=x，
∵AB=3BN，BN=AM=BP，
∴BN=AM=MN=BP=x，AB=AC=3x，
∵∠ABD=∠PBD=45°，FS⊥AB，FR⊥BP，
∴FS=FR，
∴四边形BRFS是正方形，
∴BS=FS，BF= 2FS，
∵S△ABP=12×BP⋅AB=12×AB⋅FS+12×BP⋅FR，
∴3x⋅x=3x⋅FS+x⋅FS，
∴FS=34x，
∴BF=3 24x，BS=34x，
∴NS=14x，
∴NF= NS2+FS2= 104x，
∴BFNF=3 55，
∴BF=3 55NF，
∴k=3 55．
【解析】(1)通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠DAG=∠DBC，即可求解；
(2)由“AAS”可证△BFN≌△BFP，可得BN=BP，由“AAS”可证△ADM≌△BAP，可得AM=BP，即可求解；
(3)通过证明四边形BRFS是正方形，可得BS=FS，BF= 2FS，由面积法可求FS=34x，则可求FN，BF的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加其恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】(2,−5)
【解析】解：(1)∵a=1，
∴y=x2−4x−1=(x−2)2−5，
∴顶点坐标A(2,−5)，
故答案为：(2,−5)；
(2)由(1)知，C1的对称轴为直线x=2，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，最低点为A(2,−5)，
当点C在对称轴左侧，点D在对称轴右侧时，m<2−mm<22−m>2，解得m<0；
点C到对称轴的距离为2−m，点D到对称轴的距离为−m，
∵2−m>−m，
∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∴点C为图象G的最高点，
∴h=yC—yA=m2−4m−1−(−5)=m2−4m+4；
当点D在对称轴左侧，点C在对称轴右侧时，m>2−mm>22−m<2，解得m>2，
点D到对称轴的距离为2−(2−m)=m，点C到对称轴的距离为m−2，
∵m>m−2，
∴点D为图象G的最高点，
∴h=yD−yA=(2−m−2)2−5−(−5)=m2，
综上所述，h=m2−4m+4(m<0)m2(m>2)；
(3)∵直线y=−1与抛物线C1交于点E，F，
令ax2−4ax−1=−1，
∵a>0，
∴x2−4x=0，
∴x=0或x=4，
∴E(0,−1)，F(4,−1)，
∴EF=4，
∵C1：y=ax2−4ax−1=a(x−2)2−4a−1，
∴A(2,−4a−1)，点A关于直线y=−1的对称点B(2,4a−1)，
∴C2：y=−a(x−2)2+4a−1=−ax2+4a−1，且AB=4a−1−(4a−1)=8a，
∵四边形AFBE为正方形，
∴AB=EF，即8a=4，
∴a=12，
∴抛物线C2的解析式为y=−12x2+2x−1；
如图2，连接BM，
∵四边形AFBE为正方形，
∴AF=BF，∠BFM=∠AFM，FM=FM，
∴△AFM≌△BFM(SAS)，
∴AM=BM，
∴∠FAM=∠FBM，
∴∠MAE=∠MBE，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN=∠AEN=90°，
∴∠EAM+∠ENM=180°，
∴∠EAM=∠BNM，
∴∠MNB=∠MBN，
∴MB=MN，
∴△AMN为等腰直角三角形；
∵S△AMN=516S正方形AFBE，
12AM2=516×12EF2，
∴AM= 5，
在Rt△AMG中，AG=2，MG=1，
∴M(3,−1)；
∵a=12，
∴A(2,−3)，
∴直线AM的解析式为：y=2x−7，
令2x−7=−12x2+2x−1，
解得x=2 3或x=−2 3，
∴P(2 3,4 3−7)或(−2 3,−4 3−7)．
(1)将a=1代入抛物线，将表达式化成顶点式即可得出结论；
(2)由题意可得，抛物线的最低点为A(2,−5)，再进行分类讨论：当点C在对称轴左侧，点D在对称轴右侧时，m<2−mm<22−m>2，解得m<0；当点D在对称轴左侧，点C在对称轴右侧时，m>2−mm>22−m<2，解得m>2，找到最高点，表达h即可得出结论；
(3)由对称得出C2：y=−a(x−2)2+4a−1=−ax2+4a−1，且AB=4a−1−(4a−1)=8a，根据四边形AFBE为正方形，列出方程可得，抛物线C2的解析式为y=−12x2+2x−1；连接BM，易证△AFM≌△BFM(SAS)；进而证明△AMN为等腰直角三角形；根据S△AMN=516S正方形AFBE，觉得12AM2=516×12EF2，解之AM= 5，进而可得M(3,−1)，A(2,−3)，直线AM的解析式为：y=2x−7，联立2x−7=−12x2+2x−1，可得x=2 3或x=−2 3，进而可得点P的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，分类讨论思想等相关知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
2023年辽宁省大连市名校联盟中考数学最后一练
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的绝对值是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在平面直角坐标系中，点P(2,−3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (2,3) B. (2,−3) C. (−2,3) D. (−2,−3)
4. 下列计算正确的是( )
A. 10 5=2 B. 3 2− 2=3
C. (−2)2=−2 D. ( 3+ 2)( 3− 2)=1
5. 如图，已知AE//BD，∠1=120°，∠2=30°，则∠C的度数是( )
A. 20° B. 22° C. 25° D. 30°
6. 中国共产党第二十次全国代表大会指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元.数据81000用科学记数法可表示为( )
A. 81×104 B. 8.1×104 C. 8.1×105 D. 0.81×106
7. 一元二次方程x2+x−2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8. 某中学八年级甲、乙两个班进行了一次跳远测试，测试人数每班都为40人，每个班学生的跳远成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图．
根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 甲班A等级的人数在甲班中最少 B. 乙班D等级的人数比甲班少
C. 乙班A等级的人数与甲班一样多 D. 乙班B等级的人数为14人
9. 如图，在△ABC中，AC=6，分别以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BCE的周长为10，则BC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10. 如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，则下列结论：
①abc>0；②2a+b=0；③a−b+c<0.其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算(12)−1−30= ______ ．
12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛.若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是______ ．
13. 水果超市花费960元购进樱桃80千克，在运输和销售过程中有20%的损耗.为了避免亏本，设该樱桃售价为x元/千克，则可列不等式为______ ．
14. 我国古代《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉.”翻译后的大致意思是：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷(1斗=10升)？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4 2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AC于点E，则图中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，在△ABC中，AB=AC=x，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，设CE的长为y，当x>0时，y关于x的函数解析式为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
计算(xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1．
18. (本小题10.0分)
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩(初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七，八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
七年级
8.3
8.5
a
1.41
50%
八年级
8.3
8
7
1.61
m%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，m= ______ ；
(2)若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
(3)根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由.(写出一条理由即可)
19. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F.求证：AE=CF．
20. (本小题10.0分)
如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？
(结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， 2≈1.4)
21. (本小题9.0分)
某商场将进价为每盒20元的商品以每盒36元售出，平均每天能售出40盒.经市场调查发现：当售价每降低1元时，平均每天就可以多销售10盒.商场要使这种商品每天的利润达到750元，并希望尽快减少库存，应将每盒的售价定为多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，平面直角坐标系中，点A(a, 3)，B(−3,b)在反比例函数y=6 3x的图象上，过A作AC⊥y轴于点C，过C作CD⊥AB于点D．
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)求CD的长．
23. (本小题10.0分)
如图1，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过D作DE//AC交BA的延长线于点E．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)如图2，连接AD，若AE=2，DE=4，求AD的长．
24. (本小题11.0分)
如图，△ABC中，CD⊥AB于D.AC=10cm，AD=8cm，点E在AC上，且CE=CD，连接DE，点F从点A出发，以2cm/s的速度沿AC边向终点C运动，过F作FG⊥AB于G，FH⊥CD于H，得到矩形FGDH，DE与矩形FGDH的边交于点M，连接DF，当点F不与点A、E、C重合时，设点F的运动时间为t(s)，△FDM的面积为S(cm2).
(1)求AE的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25. (本小题11.0分)
如图1，△ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，连接BD，点E在BC边上，连接AE交BD于点F，且∠BAE=∠DBC，点G在BC边上，∠AGB=45°．
(1)求证：∠BAG=∠EAD；
(2)如图2，过D作DH⊥AE于H，交AB于点M，过F作FN//AG，求证：AM=BN；
(3)在(2)的条件下，AB=3BN，BF=kFN，求k的值．
26. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2−4ax−1(a>0)的顶点为A．
(1)如图1，当a=1时，点A的坐标为______ ；
(2)在(1)的条件下，点C，D是抛物线C1上不同的两点，点C的横坐标为m，点D的横坐标为2−m，将此抛物线上C、D两点之间的部分(包括C、D两点)记为图象G，顶点A在图象G上(点A不与点C、D重合)，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)如图2，直线y=−1与抛物线C1交于点E，F(点E在点F左侧)将抛物线C1沿直线y=−1翻折，得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为B，当四边形AFBE为正方形时，AB与EF的交点为G，点P在抛物线C2上，直线AP与线段GF交点为M，过M作MN⊥AM交BE于点N，连接AN，设△AMN的面积为S1，正方形AFBE的面积为S2，当S1=516S2时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.【答案】A
【解析】解：从左边看上下各一个小正方形．
故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】A
【解析】解：点P(2,−3)关于x轴对称的点的坐标是：(2,3)．
故选：A．
利用关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A． 10 5= 105= 2，所以A选项不符合题意；
B.3 2− 2=2 2，所以B选项不符合题意；
C. (−2)2=2，所以C选项不符合题意；
D.( 3+ 2)( 3− 2)=3−2=1，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据平方差公式对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AE//BD，∠1=120°，
∴∠CBD=∠1=120°，
∴∠CDB=∠2=30°，
∵∠C+∠CBD+∠CDB180°，
即∠C+120°+30°=180°，
∴∠C=30°，
故选：D．
首先根据平行线的性质得∠CBD=∠1=120°，再根据对顶角相等得∠CDB=∠2=30°，然后利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数．
此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质，难点是应用转化思想，将∠1，∠2转化到△BCD中．
6.【答案】B
【解析】解：81000=8.1×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】A
【解析】解：△=b2−4ac=12−4×1×(−2)=9，
∵9>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△>0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△<0，没有实数根．
8.【答案】D
【解析】解：A、由条形统计图可知，甲班A等的人数最少，故选项A不合题意；
B、由扇形统计图可知，乙班D等级的人数为：40×20%=8(人)，甲班D等级的人数为14人，故乙班D等的人数比甲班少，故选项B不合题意；
C、乙班A等级的人数为：40×(1−35%−40%−20%)=2(人)，甲班A等级的人数为5人，故选项C不合题意；
D、乙班C等级的人数为：40×35%=14(人)，故选项D符合题意．
故选：D．
根据条形统计图中的数据可判断选项A，根据扇条形图和形统计图的数据分别求出乙班A，B，C，D四个等级的人数，然后比较大小即可解答本题．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】C
【解析】解：由作图知，直线MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为10，
∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=10，
∵AC=6，
∴BC=10−6=4，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
本题主要考查了垂直平分线和勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误，
∵对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确，
∵抛物线与x轴左边的交点−1
故选B．
根据抛物线特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与x轴交点位置可判断③．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：(12)−1−30=2−1=1，
故答案为：1．
根据负整数指数幂，零指数幂计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12.【答案】38
【解析】解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛，
∴这名学生是女生的概率是38．
故答案为：38．
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】(1−20%)x≥96080
【解析】解：设商家把售价应该定为x元/千克，
根据题意得：(1−20%)x≥96080，
故答案为：(1−20%)x≥96080．
设商家把售价应该定为x元/千克，因为销售中有20%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为(1−20%)x，根据题意列出不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价≥进价”列出不等式即可求解．
14.【答案】5x−11=7y7x−25=5y
【解析】解：∵5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷，
∴5x−11=7y；
∵7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，
∴7x−25=5y．
∴根据题意可列方程组5x−11=7y7x−25=5y．
故答案为：5x−11=7y7x−25=5y．
根据“5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】8−2π
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠ABC=90°，AB=BC，
∵AC=4 2，
∴AB=BC=4，
∴S阴=S△ABC−S扇形ABE=12×4×4−45π×42360=8−2π．
故答案为：8−2π．
根据S阴=S△ABC−S扇形ABE，求解即可．
本题考查了扇形的面积的计算及正方形的性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．
16.【答案】y=23x
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠ADC=180°−∠C−∠DAE=120°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠ADC−∠EDC=30°，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AC=x，CE=y，
∴DE=AE=AC−CE=x−y，
∵DE=12EC，
∴x−y=12y，
∴y=23x.
故答案为：y=23x.
由等腰三角形的性质，垂直的定义推出∠DAE=∠ADE=30°，得到AE=DE，又AC=x，CE=y，由直角三角形的性质得到DE=12EC因此，x−y=12y，即可得到y=23x.
本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，函数关系式，关键是由等腰三角形的性质推出AE=DE．
17.【答案】解：原式=[xx(x+1)−1]÷(x+1)(x−1)(x+1)2
=(1x+1−x+1x+1)⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1
=x1−x．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】9 45
【解析】解：(1)∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10，
∴9分的人数最多，七年级成绩的众数为a=9，
八年级的优秀率是4+520×100%=45%，
∴m=45，
故答案为：9；45；
(2)900×520=225(人)，
答：估计八年级进入复赛的学生为225人；
(3)根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：50%、45%，
故七年级的学生初赛成绩更好．
(1)根据众数定义、优秀率的定义即可求出a、m的值；
(2)用900乘以满分的百分比即可求解；
(3)根据优秀率进行评价即可．
本题考查了众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体，掌握从图中获取信息，优秀率、众数的定义是关键．
19.【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠1=∠2．
∵O是BD的中点，
∴OD=OB．
在△DOF和△BOE中，
∠1=∠2,∠DOF=∠BOE,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(AAS)，
∴DF=BE，
∴CD−DF=AB−BE，
∴AE=CF．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，证明AB//CD，AB=CD，可得∠1=∠2.再证明OD=OB.证明△DOF≌△BOE(AAS)，可得DF=BE，从而可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
20.【答案】解：如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5−2.5=8，
∴AH=BH=8．
在Rt△AHC中，tan65°=CHAH，
∴CH≈8×2.1=16.8，
∴BC=CH−BH=16.8−8≈9(米)．
答：云梯需要继续上升的高度BC约为9米．
【解析】如图，作AH⊥CN于H.想办法求出BH、CH即可解决问题；
本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21.【答案】解：设每盒商品降价x元，
根据题意，得(36−x−20)(40+10x)=750，
整理得x2−12x+11=0，
解得x1=11，x2=1，
因为要减少库存，
所以x=11，
36−11=25，
所以，应将每盒的售价定为25元．
【解析】利用每一盒的利润×销售的数量=获得的利润列出方程解答即可．
此题考查一元二次方程应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】6 −2 3
【解析】解：(1)∵点A(a, 3)，B(−3,b)在反比例函数y=6 3x的图象上，
∴a=6 3 3=6，b=6 3−3=−2 3，
故答案为：6，−2 3；
(2)如图，连接BC，
∵点A(6, 3)，B(−3,−2 3)，
∴AB= (6+3)2+( 3+2 3)2=6 3，
∴S△ABC=12AC⋅|yA−yB|=12AB⋅CD，
即12×6×( 3+2 3)=12×6 3×CD，
解得CD=3，
答：CD=3．
(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、点B坐标代入即可求出a、b的值；
(2)求出线段AB的长，再根据三角形面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将图象上点的坐标代入函数关系式是常用解题方法．
23.【答案】(1)证明：连接OD交AC于点I，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∵DE//AC，
∴∠ODE=∠OIA=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
(2)解：如图2，∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∵AD=CD，
∴∠EBD=∠CAD，
∴∠EDA=∠EBD，
∵∠E=∠E，
∴△EDA∽△EBD，
∴ADDB=DEBE=AEDE=24=12，
∴BE=2DE=2×4=8，DB=2AD，
∴AB=BE−AE=8−2=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD2+DB2=AB2，
∴AD2+(2AD)2=62，
解得AD=6 55或AD=−6 55(不符合题意，舍去)，
∴AD的长是6 55．
【解析】(1)连接OD交AC于点I，由∠ABC的平分线交⊙O于点D，得AD=CD，则OD垂直平分AC，因为DE//AC，所以∠ODE=∠OIA=90°，即可证明DE为⊙O的切线；
(2)先证明△EDA∽△EBD，得ADDB=DEBE=AEDE=12，则BE=2DE=8，DB=2AD，所以AB=BE−AE=6，再根据AB是⊙O的直径，证明∠ADB=90°，由勾股定理得AD2+(2AD)2=62，即可求得AD=6 55．
此题重点考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、切线的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ACD中，AC=10cm，AD=8cm，
∴CD= AC2−AD2=6(cm)，
∵CD=CE，
∴CE=6cm，
∴AE=AC−CE=10−6=4(cm)，
答：AE=4cm；
(2)①当点F在线段AE上时，此时0
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴△AFG∽△ACD，
∴AFAC=AGAD=FGCD，
即2t10=AG8=FG6，
解得AG=8t5，FG=6t5=DH，
∵FH⊥CD，AD⊥CD，
∴FH//AB，
∴△EFM∽△EAD，
∴EFAE=FMAD，
即4−2t4=FM8，
∴FM=8−4t，
∴S=12FM⋅DH
=12×(8−4t)×6t5
=−125t2+245t(0
∵EN//CD，
∴△AEN∽△ACD，
∴AEAC=ENCD=ANAD，
即410=EN6=AN8，
解得EN=125，AN=165，
∴ND=AD−AN=245，
由①可得AG=8t5，FG=6t5，
∵FG⊥AB，AB⊥CD，
∴FM//CD，
∴△EFM∽△ECD，
∴FMCD=EFEC，
即FM6=2t−46，
∴FM=2t−4，
∴S=12FM⋅DG
=12×(2t−4)×(8−16t5)
=−165t2+725t−16(2
(2)分两种情况，即点F在AE上，点F在CE上，分别画出相应的图形，利用相似三角形的判定和性质进行计算即可．
本题考查函数关系式，掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
25.【答案】(1)证明：∵AB=AD，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴∠AGB=∠ADB=45°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠DAG=∠DBC，
∵∠BAE=∠DBC，
∴∠DAG=∠BAE，
∴∠BAG=∠EAD；
(2)证明：如图，过点B作BP⊥AB交AE的延长线于点P，
∵∠BAC=90°，BP⊥AB，
∴∠BAC=∠ABP=90°，
∴AC//BP，
∴∠P=∠EAD，∠BNF=∠BAG，
∵∠BAG=∠EAD，
∴∠P=∠BNF，
∵∠ABD=45°，BP⊥AB，
∴∠ABD=∠PBD=45°，
又∵BF=BF，
∴△BFN≌△BFP(AAS)，
∴BN=BP，
∵AE⊥DM，
∴∠BAP+∠P=90°=∠BAP+∠AMD，
∴∠AMD=∠P，
又∵AB=AD，
∴△ADM≌△BAP(AAS)，
∴AM=BP，
∴BN=AM；
(3)解：如图，过点F作FS⊥AB于S，FR⊥BP于R，
∴四边形BRFS是矩形，
设BN=x，
∵AB=3BN，BN=AM=BP，
∴BN=AM=MN=BP=x，AB=AC=3x，
∵∠ABD=∠PBD=45°，FS⊥AB，FR⊥BP，
∴FS=FR，
∴四边形BRFS是正方形，
∴BS=FS，BF= 2FS，
∵S△ABP=12×BP⋅AB=12×AB⋅FS+12×BP⋅FR，
∴3x⋅x=3x⋅FS+x⋅FS，
∴FS=34x，
∴BF=3 24x，BS=34x，
∴NS=14x，
∴NF= NS2+FS2= 104x，
∴BFNF=3 55，
∴BF=3 55NF，
∴k=3 55．
【解析】(1)通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠DAG=∠DBC，即可求解；
(2)由“AAS”可证△BFN≌△BFP，可得BN=BP，由“AAS”可证△ADM≌△BAP，可得AM=BP，即可求解；
(3)通过证明四边形BRFS是正方形，可得BS=FS，BF= 2FS，由面积法可求FS=34x，则可求FN，BF的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加其恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】(2,−5)
【解析】解：(1)∵a=1，
∴y=x2−4x−1=(x−2)2−5，
∴顶点坐标A(2,−5)，
故答案为：(2,−5)；
(2)由(1)知，C1的对称轴为直线x=2，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，最低点为A(2,−5)，
当点C在对称轴左侧，点D在对称轴右侧时，m<2−mm<22−m>2，解得m<0；
点C到对称轴的距离为2−m，点D到对称轴的距离为−m，
∵2−m>−m，
∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∴点C为图象G的最高点，
∴h=yC—yA=m2−4m−1−(−5)=m2−4m+4；
当点D在对称轴左侧，点C在对称轴右侧时，m>2−mm>22−m<2，解得m>2，
点D到对称轴的距离为2−(2−m)=m，点C到对称轴的距离为m−2，
∵m>m−2，
∴点D为图象G的最高点，
∴h=yD−yA=(2−m−2)2−5−(−5)=m2，
综上所述，h=m2−4m+4(m<0)m2(m>2)；
(3)∵直线y=−1与抛物线C1交于点E，F，
令ax2−4ax−1=−1，
∵a>0，
∴x2−4x=0，
∴x=0或x=4，
∴E(0,−1)，F(4,−1)，
∴EF=4，
∵C1：y=ax2−4ax−1=a(x−2)2−4a−1，
∴A(2,−4a−1)，点A关于直线y=−1的对称点B(2,4a−1)，
∴C2：y=−a(x−2)2+4a−1=−ax2+4a−1，且AB=4a−1−(4a−1)=8a，
∵四边形AFBE为正方形，
∴AB=EF，即8a=4，
∴a=12，
∴抛物线C2的解析式为y=−12x2+2x−1；
如图2，连接BM，
∵四边形AFBE为正方形，
∴AF=BF，∠BFM=∠AFM，FM=FM，
∴△AFM≌△BFM(SAS)，
∴AM=BM，
∴∠FAM=∠FBM，
∴∠MAE=∠MBE，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN=∠AEN=90°，
∴∠EAM+∠ENM=180°，
∴∠EAM=∠BNM，
∴∠MNB=∠MBN，
∴MB=MN，
∴△AMN为等腰直角三角形；
∵S△AMN=516S正方形AFBE，
12AM2=516×12EF2，
∴AM= 5，
在Rt△AMG中，AG=2，MG=1，
∴M(3,−1)；
∵a=12，
∴A(2,−3)，
∴直线AM的解析式为：y=2x−7，
令2x−7=−12x2+2x−1，
解得x=2 3或x=−2 3，
∴P(2 3,4 3−7)或(−2 3,−4 3−7)．
(1)将a=1代入抛物线，将表达式化成顶点式即可得出结论；
(2)由题意可得，抛物线的最低点为A(2,−5)，再进行分类讨论：当点C在对称轴左侧，点D在对称轴右侧时，m<2−mm<22−m>2，解得m<0；当点D在对称轴左侧，点C在对称轴右侧时，m>2−mm>22−m<2，解得m>2，找到最高点，表达h即可得出结论；
(3)由对称得出C2：y=−a(x−2)2+4a−1=−ax2+4a−1，且AB=4a−1−(4a−1)=8a，根据四边形AFBE为正方形，列出方程可得，抛物线C2的解析式为y=−12x2+2x−1；连接BM，易证△AFM≌△BFM(SAS)；进而证明△AMN为等腰直角三角形；根据S△AMN=516S正方形AFBE，觉得12AM2=516×12EF2，解之AM= 5，进而可得M(3,−1)，A(2,−3)，直线AM的解析式为：y=2x−7，联立2x−7=−12x2+2x−1，可得x=2 3或x=−2 3，进而可得点P的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，分类讨论思想等相关知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
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