山东省济南市章丘区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市章丘区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济南市章丘区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知“”，则下列不等式中，不成立的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．15或6
6．在，，是边的垂直平分线，垂足为D，交边于点E，连接，则的周长是（　　）

A．8 B．10 C．14 D．16
7．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段BC的延长线上，且，则旋转角的度数为（　　）

A．60° B．70° C．100° D．110°
9．若不等式－1≤2－x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x＋m＜1成立，则m的取值范围是（    ）
A．m＜－ B．m≤－ C．m＞－ D．m≥－
10．如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（      ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题
11．因式分解： ．
12．点与点关于原点对称，则 ．
13．若不等式组无解，则m的取值范围为 ．
14．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，则的度数是 ．

15．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为 度．

16．如图在中，，，，P为AD上的一动点，E在AB上，则的最小值为 ．


三、解答题
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

18．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，DE垂直平分AB，求∠DBC的度数．

20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C 的坐标分别为A(-3，5)、C(0，3)

                                             备用图
(1)请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标
(2)将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1
(3)在x轴上是否存在点P，使PA＋PC的值最小，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由
21．如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF．求证：RtBDE≌RtCDF．

22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解．如．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：


；
再如．通过观察，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，
然后再利用提取公因式法进行分解：


；
对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
(1)；
(2)．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．

(1)求证：CF＝EB；
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
24．为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
25．【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN．

(1)请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN；

【类比延伸】
(2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明．

26．如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．

(1)求的长；
(2)若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
(3)已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．

参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项成立，不符合题意；    
B. ，故该选项成立，不符合题意；    
C. ，故该选项不成立，符合题意；    
D. ，故该选项成立，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．B
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可，因式分解是将一个多项式写成几个整式的乘积的形式
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B. ，是因式分解，故该选项符合题意；
C. ，不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；    
D. ，不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；    
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；如果一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心．
4．B
【分析】首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
，
，
在数轴上表示为：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画）．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
5．B
【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可．
【详解】解：根据题意，，
解得，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
6．D
【分析】由是边的垂直平分线，可得，又由在，，利用勾股定理即可求得的长，继而由的周长，求得答案．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
的周长，
故选：D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
7．B
【分析】根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
【详解】解：由图象知：时，直线在直线的上方，
所以的不等式的解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握利用图象获取信息的能力．
8．C
【分析】旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
【详解】绕点按逆时针方向旋转，得到
，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
9．A
【分析】首先解出两个一元一次不等式，然后根据题意得出一个关于m的等式，解不等式即可．
【详解】 ，
解得 ．
，
解得 ．
∵不等式的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式成立，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式，能够根据题意得出两个不等式的解集之间的关系是解题的关键．
10．C
【分析】连接，根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，则把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】解：连接，如图所示，
∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∴，故①正确；
∵为等边三角形，
∴，
∴把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，
∴可以由绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确；
∴，
∵，
∴在中，，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴点D到的距离为3，故④正确；
∵，
∴ ，故③错误；
∵四边形的面积，故⑤正确．
故选C．

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
11．
【详解】解：=；
故答案为
12．1．
【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可．
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴a=2，b= -1，
∴a+b=2-1=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键．
13．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了列出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式得：，
∵且不等式组无解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．/36度
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由是由绕点O顺时针旋转后得到的图形可知：，
∵，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．100
【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
16．4
【分析】过点C作于点E，交于点P，此时有最小值即的长．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴点C是点B关于的对称点，
过点C作于点E，交于点P，此时有最小值即的长，

在Rt中，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质-最短路径问题，理解等腰三角形的性质，掌握含30°的直角三角形的性质是解题关键．
17．，见解析
【分析】分别求解不等式组中每一个不等式解集，再根据“大大同大，小小同小，大小小大，中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组的解集，再用数轴表示不等式的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下，

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握根据不等式确定出不等式组的解集是解题的关键．
18．(1)
(2)

【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式y，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：


（2）


【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19．∠DBC＝15°
【分析】根据等边对等角以及已知条件即可求得，进而根据垂直平分线的性质可得，可得，进而即可求得．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°
∵DE垂直平分AB
∴DA＝DB
∴∠ABD＝∠A＝50°
∴∠DBC＝65°-50°=15°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)作图如图所示，点B的坐标为(-2，1)
(2)作图如图所示
(3)存在点，使得PA＋PC的值最小．

【分析】（1）根据A、C 的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，从而画出平面直角坐标系，并得到点B的坐标
（2）根据旋转的定义作图即可
（3）根据图形对称性质，作点C关于x轴的对称点C2，连接A C2，则A C2交x轴于点P，此时PA＋PC的值最小．此时由A(-3，5)，C2(0，-3)，求得直线A C2的解析式，进而求出直线A C2与x轴的交点，即得P点坐标．
【详解】（1）解：由A、C 的坐标分别为A(-3，5)、C(0，3)，可得平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(-2，1)．
（2）解：作图如图所示，

（3）解：存在点，使得PA＋PC的值最小．
作点C关于x轴的对称点C2，连接A C2，则A C2交x轴于点P，此时PA＋PC的值最小．

∵C(0，3)，点C2为点C关于x轴的对称点，
∴C2(0，-3)，
∵ A(-3，5)，C2(0，-3)，
设直线A C2的解析式为：，将A(-3，5)，C2(0，-3)代入解析式中，
可得，，
解得，，
∴直线A C2的解析式为：，
令，得，
故存在，使得PA＋PC的值最小．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，图形的旋转及对称性质，熟练掌握图形的旋转及对称变换是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据已知条件直接利用HL证明即可求解．
【详解】证明： DE⊥AB，DF⊥AC，

D是BC的中点，

在与中

RtBDE≌RtCDF（HL）
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22．(1)
(2)

【分析】（1）前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解；
（2）前两项可以利用平方差公式分解因式，再提取公因式与后两项进行分解因式即可．
【详解】（1）解：


；
（2）解：


．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)AF+BE＝AE，理由见解析

【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）解：AF+BE＝AE．理由如下：
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
24．(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元
(2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析

【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．
由题意得，，解得，
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元，
由题意得，，
由题意得，解得，
因为随的增大而增大，所以当时取得最小值．
答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
25．(1)见详解
(2)见详解

【分析】（1）将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE， 由旋转的性质可得DM=BE，AM=AE，∠MAE=90°， 证明三点共线，∠EAN=45°，再证明△EAN≌△MAN即可得到结论；
（2）将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，由旋转的性质可得 AM= AE，DM= BE，∠MAE=90°，结合正方形的性质同理可得：共线，再证明△EAN≌△MAN，利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD，

将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
由旋转的性质可得DM=BE，AM=AE，∠MAE=90°，
∴三点共线，
∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=45°，
在△AMN与△AEN中
又∵AN=AN
∴△EAN≌△MAN
∴EN=MN，

∵EB+BN=EN
∴DM+BN=MN
（2）DM+MN=BN．理由如下：
将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
由旋转的性质可得 AM= AE，DM= BE，∠MAE=90°，
结合正方形的性质同理可得：共线，

∵∠MAN=45°，
∴ ∠EAN =90°-∠MAN = 45°，
在△AMN与△AEN中
又∵AN=AN，  
∴△EAN≌△MAN，
∴EN=MN，
∵BE+EN=BN，
∴DM+MN=BN．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的利用旋转构建全等三角形是解本题的关键．
26．(1)
(2)或
(3)满足条件的P点坐标为或或或．

【分析】（1）先求出直线与两轴交点坐标，，再由垂直平分线性质得，设，由勾股定理得，则，解得：，所以，即可求解；
（2）点，则；根据，则，求解即可；
（3）分三种情况∶①当B为顶点，时，②当C为顶点，时，③当P为顶点，时，分别求解即可．
【详解】（1）解：令时，则；令，则；
所以直线与两轴交点分别为，．
∵垂直平分；
∴．
设，在中，根据勾股定理得：，
则 解得：；
∴，
∴．
（2）解：设点，则；
∵D为的中点；
∴；
A、E在x轴上，， ；
∴，
∴，
解得：或18．
∴点E坐标为：或．
（3）解：P在y轴上，设．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①当B为顶点，时，由（1）得；
∴，解得：或9．
∴或，
②当C为顶点，时，
又∵，，
∴．
∴，即．
∴
③当P为顶点，时，
在中，根据勾股定理得：
，即：．
解得：．
综上：满足条件的P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点，一次函数图象与性质，直线围成的三角形面积，勾股定理，等腰三角形判定与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．