山东省聊城市东昌府区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市东昌府区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省聊城市东昌府区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在实数，，，，中，有理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列说法中正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数 D．两个无理数的和一定是无理数
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．﹣a＞b B．﹣a＞c C．bc＞a D．|c|＞|a|+|b|
4．最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
5．下列语句正确的有个（ ）
①的平方根是；②一对相反数的立方根之和为；③平方根等于本身的数有和；④与是同类二次根式．
A． B． C． D．
6．如图，已知某广场菱形花坛的周长是米，，则花坛对角线的长等于（    ）米．
  
A． B． C． D．
7．如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是（ ）

A． B． C． D．
8．若不等式组无解，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1
9．若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
10．某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（ ）折．
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（    ）
①，；
②；
③四边形是菱形；
④．
  
A．个 B．个 C．个 D．个

二、填空题
13．计算的结果是 ．
14．关于x的一元一次不等式组恰有一个整数解，则m的取值范围是 ．
15．实数、在数轴上的位置，化简 ．

16．若方程组的解满足，则k取值范围是 ．
17．若，为实数，，则的平方根是 ．

三、解答题
18．解不等式组并求出它的正整数解：．
19．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
20．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，，过点B作，交DE的延长线于点F．求证：四边形BCEF是菱形．

21．已知＋＝b＋8
（1）求a的值；
（2）求a2－b2的平方根．
22．已知：如图，BE，BF分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点E，，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．

求证：
(1)四边形AFBE是矩形；
(2)．
23．解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．
24．疫情防控期间，学校准备购买甲、乙两种洗手液，已知购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液共需90元；购买1瓶甲种洗手液和2瓶乙种洗手液共需55元．
（1）求甲、乙两种洗手液每瓶各需多少元？
（2）如果学校要购买甲、乙两种洗手液共30瓶，且总费用不超过527元，求至少要购买甲种洗手液多少瓶？
25．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，
（1）证明：PC=PE；  
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．


参考答案：
1．C
【分析】根据有理数的意义即可解答．
【详解】解：在实数，，，，中，有理数有，，，共有个．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．
2．B
【分析】根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、无限循环小数是有理数，故本选项错误；
B、无理数都是无限小数符合无理数的定义，故本选项正确；
C、实数可以分为正实数和负实数和0，故本选项错误；
D、当两个无理数互为相反数时，此和为有理数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的分类，解答此类问题的关键是熟练掌握实数按定义分类和按正负性质分类的两种分类方法．
3．B
【分析】根据数轴上的点的位置可得：﹣3＜c＜﹣2，0＜a＜1，2＜b＜3，然后对每个选项进行判断即可.
【详解】解：由数轴可得：﹣3＜c＜﹣2，0＜a＜1，2＜b＜3，
∴﹣a＜b，﹣a＞c，bc＜a，|c|＜3＜|a|+|b|，
故选B．
【点睛】本题考点：实数与数轴.
4．B
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可；
【详解】由题意得：3m﹣1=2，
解得：m=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键．
5．C
【分析】根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可．
【详解】解：，的平方根是，故正确；
一对相反数的立方根之和为，故正确；
平方根等于本身的数是，故错误；
与是同类二次根式，故正确．
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键．
6．D
【分析】由四边形是菱形，，得于点，， ，则，，所以是等边三角形，因为菱形的周长是米，所以米，则米，米，由勾股定理求得米，则米，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，它的两条对角线交于点，，
，于点，，，
，，
是等边三角形，
菱形的周长是米，
米，
米，
米，
米，
米，
花坛对角线的长等于米，
故选：D．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
7．D
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据线直角三角形斜边中线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：，分别是，的中点，
， ，
，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质质、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．D
【详解】解：，
由①得，x≥-a，
由②得，x＜1，
∵不等式组无解，
∴-a≥1，
解得：a≤-1
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组．
9．D
【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：．
【详解】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．C
【分析】设至多打折，用标价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
【详解】解：设至多打折，
由题意得，，
解得：．
答：至多打折．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
11．B
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝3﹣x＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
12．B
【分析】根据已知得出，可求得与关于直线对称，进而求得，；因为，故不会全等于．先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形；可通过面积转化进行解答．
【详解】解：连接，
  
四边形是矩形，
，、互相平分，
为中点，
也过点，
，
，，
是等边三角形，
，，
在与中
，
，
与关于直线对称，
，；
正确，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
正确，
，
与不全等．
错误，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等的知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
13．0
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式

．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14．
【分析】确定不等式组的解集，结合不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之可得答案．
【详解】根据题意有x的解集为：，
∵x恰有一个整数解，
∴该整数解为3，
∴m的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据不等式组的整数解得出关于m的不等式组是解答此题的关键．
15．
【分析】由数轴得：，，，根据二次根式的性质化简即可.
【详解】解：由数轴得：，，

故答案为：.
【点睛】本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
16．
【分析】根据题目中的方程组的特点，可以得到x+y的值，然后根据0≤x+y＜1，即可求得k的取值范围．
【详解】解：，
①+②，得5x+5y=k+4，
∴x+y=，
∵0≤x+y＜1，
∴0≤＜1，
解得，-4≤k＜1，
故答案为：-4≤k＜1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围．
17．±
【分析】要求的平方根，一要先求出，的值，要求、的值就要根据：与同时成立，根号里的数一定是0．依此来求、的值．
【详解】解：与同时成立，
故只有，即，
又，
，，
，
故的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根式成立的条件，解题的关键是根据与同时成立，得到的值．
18．，正整数解为1，2
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定它们的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集是：．
则正整数解是：， ．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式组的解，若较小的数、较大的数，那么解集介于两数之间．
19．(1)1
(2)
(3)6
(4)9

【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值和乘方，再计算加减即可；
（2）根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；
（3）根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；
（4）根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式

；
（4）原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．证明见解析
【分析】由题意知是的中位线，则，，进而可证四边形BCEF是平行四边形，由，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵，
∴，
∴是菱形．
【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，菱形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．（1）17；（2）±15
【分析】（1）根据二次根式的性质可得：，即可解得，然后再代入可得b＝﹣8；
（2）根据（1）代入可求得a2﹣b2＝225，根据平方根的意义可解
【详解】根据题意得：，
解得：a＝17，
（2）b＋8＝0，
解得：b＝﹣8，
则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则a2－b2的平方根是：±15
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析


【分析】（1）如图，由角平分线的定义可得，，求得，由，，可得，进而结论得证；
（2）由矩形的性质可知，则，，可得，进而结论得证．
【详解】（1）证明：如图，

∵BE、BF分别是与的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形AEBF为矩形．
（2）证明：∵四边形AEBF为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，矩形的判定与性质，等边对等角，平行线的判定等知识．解题的关键在于熟练掌握矩形的判定与性质．
23．原式=，当x=2，原式=1．
【分析】先解不等式组求得x的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得．
【详解】解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3，
解不等式＜，得：x＞0，
则不等式组的解集为 0＜x≤3，
所以不等式组的整数解为 1、2、3，
原式=•[ ]
=•
=，
∵x≠±3、1，
∴x=2， 则原式=1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，熟练掌握分式混合运算的顺序是解题的关键.
24．（1）甲种洗手液每瓶15元，乙种洗手液每瓶20元；（2）至少购买甲种洗衣液15瓶
【分析】（1）设甲种洗手液每瓶x元，乙种洗手液每瓶y元，由题意：购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液共需90元；购买1瓶甲种洗手液和2瓶乙种洗手液共需55元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进甲种洗手液a瓶，则购进乙种洗手液（30﹣a）瓶，由题意：总费用不超过527元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设甲种洗手液每瓶x元，乙种洗手液每瓶y元，
依题意，得：，
解得：，
答：甲种洗手液每瓶15元，乙种洗手液每瓶20元；
（2）设购进甲种洗手液a瓶，则购进乙种洗手液（30﹣a）瓶，
依题意，得：15a+20×（30﹣a）≤527，
解得：a，
∵a为整数，
∴a至少为15，
答：至少购买甲种洗衣液15瓶．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式．
25．（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析
【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；
(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；
(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．
【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
又∵ PB=PB，
∴△ABP ≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；

(3)AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，  
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．