数学八年级下暑假培训专题复习（2）

这是一份数学八年级下暑假培训专题复习（2），共36页。试卷主要包含了二次根式的运算及化简等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题二、二次根式的运算及化简
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目录
【考点一 二次根式的乘除】................................................1
【考点二 最简二次根式】..................................................2
【考点三 二次根式的加减】................................................3
【考点四 二次根式的混合运算】............................................4
【考点五 二次根式的化简求值】............................................5
【考点六 二次根式的分母有理化】..........................................7
【典例剖析】
【考点一 二次根式的乘除】
（1）①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
（2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
进行二次根式的除法运算时a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。
（3） 在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
【典例1】计算的结果是　　
A．16 B． C．4 D．
【典例2】计算的结果是　　
A． B．3 C． D．
【变式1-1】蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（    ）平方米．
A． B． C． D．
【变式1-2】若，则化简（    ）
A．m B．-m C．n D．-n
【变式1-3】计算：，则□中的数是（    ）
A．6 B． C．2 D．
【变式1-4】如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．

1
b
3
a
2

6
c

【变式1-5】计算：
【考点二 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【典例2-1】如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ）
A．11 B．13 C．21 D．27
【典例2-2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）
A． B． C． D．
【变式2-1】化简：________．
【变式2-2】将化为最简二次根式，其结果是 __．
【变式2-3】．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______．
【变式2-4】化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________.
【变式2-5】如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值．
【考点三 二次根式的加减】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变
【典例3-1】一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（    ）

A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断
【典例3-2】计算的值是_____．
【变式 3-1】（1）计算：；
（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：
……第1步
………第2步
…………………………第3步
．………………………………第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______（用字母表示）；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
【变式 3-2】（1）计算：；
（2）下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
…………………………………………………………………………第一步
……………………………………………………………………第二步
………………………………………………………………………………第三步
……………………………………………………………………………第四步
．………………………………………………………………………………………第五步
任务一：小明同学的解答过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
任务二：请你写出正确的计算过程．
【考点四 二次根式的混合运算】
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。
在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
【典例4-1】估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　）

A． B． C． D．
【典例4-2】在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
(1)当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
(2)如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【变式4-1】嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．
解：．
(1)在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质        B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则    D．通分
(2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
【变式4-2】小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
(1)他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
(2)他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
【变式4-3】．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【考点五 二次根式的化简求值】
把二次根式化简为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简
1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽
2.如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简.
3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简
方法①　 二次根式乘除运算的方法★★★
二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数，则要先将其化为假分数。
方法②　 二次根式加减运算的方法★★★
将各个二次根式化成最简二次根式，找出化简后被开方数相同的二次根式，将其合并.若有括号，则先去掉括号再运算.另外，有理数的加法交换律结合律都适合于二次根式的运算。


【典例5-1】若，则的值是（    ）
A． B．4 C．1 D．8
【典例5-2】请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【变式5-1】已知，．
(1)求的值；
(2)求的值
【变式5-2】在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)，则　 　．
(2)若，求的值．
【变式5-3】先化简，再求值：，其中．
【变式5-4】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【变式5-5】在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
(1)请用以上两种方法化简：；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【考点六 二次根式的分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．
【典例6-1】先阅读，后解答：
，；
像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)将下列式子进行分母有理化：
①______；②______；③______；④______．
(3) 类比（2）中④的计算结果，计算：
【变式6-1】）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
(1)计算：______；____；
(2)计算：；
(3)比较和的大小，并说明理由．
【变式6-2】阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一：；
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简；
(2)下面是甲、乙两个同学对分母有理化的过程：
甲：
乙：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（    ）
A．甲、乙都对            B．甲对乙错            C．甲错乙对        D．甲、乙都错
(3)化简：























数学八年级下暑假培优专题训练
专题二、二次根式的运算及化简（解析版）
【典例剖析】
【考点一 二次根式的乘除】
【典例1】计算的结果是　　
A．16 B． C．4 D．
【解答】解：原式．故选：．
【典例2】计算的结果是　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：．故选：．
【变式1-1】蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（    ）平方米．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形面积公式结合二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：∵长方形田地的长为米，宽为米，
∴该长方形田地的面积为平方米，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键．
【变式1-2】若，则化简（    ）
A．m B．-m C．n D．-n
【答案】B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m