数学八年级下暑假培优专题复习（7）

这是一份数学八年级下暑假培优专题复习（7），共45页。试卷主要包含了 三角形的中位线等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题七、 三角形的中位线（一）
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目录
【考点1 利用三角形的中位线求角度】..................................................................................1
【考点2 利用三角形的中位线求线段长度】..........................................................................2
【考点3 利用三角形的中位线求周长】................................................................................. 4
【考点4 利用三角形的中位线求面积】.................................................................................5
【考点5 利用三角形的中位线求最值】.................................................................................6
【典例剖析】
【知识点 三角形的中位线】
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
【考点1 利用三角形的中位线求角度】
【典例1-1】如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．
  
(1)求证：．
(2)已知，若，求的度数．
【典例1-2】如图所示，在中，，D，E分别在，上，，，的中点分别是M，N，直线分别交，于P，Q，求的度数．

针对训练1
【变式1-1】如图，是等边三角形，点D在边上（点D与点A、B不重合），过点D作交于点E，连接．M、N、P分别为、、的中点，顺次连接M、N、P．

(1)求证：．
(2)的大小是___________度．
【变式1-2】在四边形中，，点E，F分别是边，的中点．

(1)如图1，点P为对角线的中点，连接，，若，则______度；
(2)如图2，直线分别与，的延长线交于点M，N．求证：
【考点2 利用三角形的中位线求线段长度】
【典例2-1】如图，中，平分于点D．
  
(1)请用尺规作图作边的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设与交于点E，连接，若，求的长．
【典例2-2】已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．

(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．
针对训练2
【变式2-1】在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠点落在点处．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式2-2】（1）【方法探究】如图1，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点．求证：；
（2）【方法应用】
①如图2，在四边形中，，，，点P、Q分别为、的中点，求的长；
②如图3，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，则 ．

【考点3 利用三角形的中位线求周长】
【典例3-1】如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO=DO，∠BCA=∠CAD．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长．
【典例3-2】如图，为的中位线，在外取点，连接，，，与相交于点，，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的周长．
针对训练3
【变式3-1】如图，在中，点D是边的中点，平分，连接交于点F，，连接．已知．

(1)求证：；
(2)求△ABC的周长．
【变式3-2】已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在上，且，．

(1)求证：；
(2)若的周长为3，求的周长．
【考点4 利用三角形的中位线求面积】
【典例4-1】如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．
【典例4-2】如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的面积为，求的面积．
针对训练4
【变式4-1】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．

【变式4-2】如图，在中，对角线相交于点O，，，点E，F分别是的中点，连接，，垂足为点M，交于点N．

(1)求证：；
(2)若，求的面积
【考点5 利用三角形的中位线求最值】
【典例5-1】如图，在中，，将平移4个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．
  
【典例5-2】已知，等腰直角中，，，为边上的一点，连接，以为斜边向右侧作直角，连接并延长交的延长线于点．

(1)如图1，当，，时，求线段的长；
(2)如图2，当时，求证：点为线段的中点；
(3)如图3，点与点重合，，为边上一点，为边上一点，连接，当取最大值时，请直接写出三角形周长的最小值．
针对训练4
【变式5-1】在和中，，，如图（1），以为边作平行四边形，以为边作平行四边形，点F，G分别是的中点，当绕点C旋转时，

(1)证明：；
(2)①求的面积（用含a，b的代数式表示）；
②直接写出的长度的最大值为（用含a，b的代数式表示）．
【变式5-2】如图1，在中，点D在的延长线上，且，分别过点D作交的延长线于点E，连接，交于点G，

(1)求的长，并证明；
(2)如图1，在射线上只用圆规作一点Q，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别取的中点M、N，动点H在上运动，求的最小值
















数学八年级下暑假培优专题训练
专题七、 三角形的中位线（一）（解析版）
【典例剖析】
【考点1 利用三角形的中位线求角度】
【典例1-1】如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．
  
(1)求证：．
(2)已知，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到是的中位线，得到，进而证明出，然后由得到，即可证明出；
（2）根据平行线和等边对等角性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和求解即可．
【详解】（1）∵点E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【典例1-2】如图所示，在中，，D，E分别在，上，，，的中点分别是M，N，直线分别交，于P，Q，求的度数．


【答案】
【分析】取的中点H，连接，，根据中位线可得线平行及等量关系，从而得到，，，结合三角形内角和定理整体代换即可得到答案；
【详解】解：取的中点H，连接，，

∵M，H为，的中点，
∴，，
∵N，H为，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，，
∴；
【点睛】本题考查三角形中位线定理及三角形内角和定理，解题的关键根据中位线得到线相等及平行．
针对训练1
【变式1-1】如图，是等边三角形，点D在边上（点D与点A、B不重合），过点D作交于点E，连接．M、N、P分别为、、的中点，顺次连接M、N、P．

(1)求证：．
(2)的大小是___________度．
【答案】(1)见解析
(2)120
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质，得出，证明是等边三角形，得出，证明，根据中位线的性质，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵M、N分别为、的中点，
∴，
∵N、P分别为、的中点，
∴，
∴．
（2）解：∵，

∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-2】在四边形中，，点E，F分别是边，的中点．

(1)如图1，点P为对角线的中点，连接，，若，则______度；
(2)如图2，直线分别与，的延长线交于点M，N．求证：
【答案】(1)128
(2)见解析
【分析】(1)根据三角形中位线定理，易证明是等腰三角形，根据“等腰三角形的两个底角相等”的性质和三角形内角和定理，可求得的度数；
(2)连接BD，取线段BD的中点G，连接GE，GF．首先根据三角形中位线定理，易证明是等腰三角形，，，，据此即可证得．
【详解】（1）解：点E，F分别是边，的中点，点P为对角线的中点，
是的中位线，是的中位线，
， ，
，
，

，
故答案为：；
（2）证明：连接，取线段的中点G，连接，．

点E，F分别是边，的中点，点G为对角线的中点，
是的中位线，是的中位线，
， ，，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的判定与性质，等腰三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键。
【考点2 利用三角形的中位线求线段长度】
【典例2-1】如图，中，平分于点D．
  
(1)请用尺规作图作边的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设与交于点E，连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）按照尺规作图作线段垂直平分线的方法进行即可；
（2）延长交于点F，则可证得，则，再由垂直平分线的性质得，则可得是的中位线，由已知可求得的长度，从而可得的长度．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
  
（2）解：延长交于点F，
∵平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴是的中位线
∴，
又∵，
∴，
∴，            
答：的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，作线段垂直平分线及线段垂直平分线的性质等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【典例2-2】已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．

(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)的长为或

【分析】（1）根据证明即可；
（2）连接，根据直角三角形性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点Q与点N重合时，为直角三角形，当时，分别画出图形，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵D，E分别是线段，的中点，
∴，，，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴，
在和中，
∴．
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：

∵，，E为的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设与的交点为N，

∵，，
∴，
当点Q与点N重合时，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵D为的中点，，
∴，
∵，，
∴，
；
当时，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握这些基本的性质，数形结合，并注意分类讨论．
针对训练2
【变式2-1】在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠点落在点处．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）由折叠的性质可知，，，进而得到，推出，再根据平角的性质和三角形内角和定理，得到，即可证明结论；
（2）连接交于点G，由折叠的性质可知，垂直平分，进而推出为的中位线，得到，设，利用勾股定理列方程，解得，即可求出的长．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，，，
是边的中点，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：由题意可知，为对称轴，点B、F为对应点，
连接交于点G，
由折叠的性质可知，垂直平分，
，点G为的中点，
是边的中点，
为的中位线，
，
设，则，
，
，，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键．
【变式2-2】（1）【方法探究】如图1，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点．求证：；
（2）【方法应用】
①如图2，在四边形中，，，，点P、Q分别为、的中点，求的长；
②如图3，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，则 ．

【答案】（1）见解析（2）5（3）
【分析】（1）利用三角形的中位线定理，即可得证；
（2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理和勾股定理进行求解即可；
（3）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，推出为等腰三角形，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解（1）∵点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，取的中点，连接，

∵点P、Q分别为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（3）连接，取的中点，连接，

∵点P、Q分别为、的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线
【考点3 利用三角形的中位线求周长】
【典例3-1】如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO=DO，∠BCA=∠CAD．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据已知可得，然后再利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
（2）连接DF，利用平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：在与中，

，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，，
∵点是的中点，，
∴
∵点，点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长=，
∴的周长为24．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【典例3-2】如图，为的中位线，在外取点，连接，，，与相交于点，，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线的性质得出，则，根据已知，得出，根据已知条件，四边形内角和为，可得，，进而证明，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，，根据中位线的性质得出，，，进而根据三角形周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形；
∴，，
∵为的中位线，，，，
∴，，，
∴的周长．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
针对训练2
【变式3-1】如图，在中，点D是边的中点，平分，连接交于点F，，连接．已知．

(1)求证：；
(2)求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)35
【分析】（1）根据可得，结合平分运用等腰三角形“三线合一”的性质即可证明结论；
（2）先说明是的中位线，进而求得，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
【变式3-2】已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在上，且，．

(1)求证：；
(2)若的周长为3，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据题意得到四边形是平行四边形，利用平行四边形性质证明，再证明，即可解决问题；
（2）根据题意得到是的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵平分，
∴
∴是的中位线，
∴，
∵的周长为3，
∴的周长为6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键
【考点4 利用三角形的中位线求面积】
【典例4-1】如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据三角形中位线定理可得，同理可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）连接，先根据三角形中位线定理可得，根据同底等高可得，同理可得，从而可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后利用同样的方法即可求出四边形的面积．
【详解】证明：（1）分别是的中点，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图，连接，

分别是的中点，
，
（同底等高），
同理可得：，
，
又是的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得：，
即四边形的面积为4．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、三角形的中线等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用到三角形中位线定理和三角形的中线是解题关键．

【典例4-2】如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的面积为，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】（1）先说明为的中位线，可得、，又，则根据一组对边平行且相等则为平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再说明的面积的面积，进而说明的面积的面积，最后根据图形即可解答．
【详解】证明：∵，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
解：∵四边形是平行四边形，
∴的面积的面积．
∵是的中点，
∴的面积的面积．
∵是的中点，
∴的面积的面积，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线以及三角形的面积计算，掌握平行四边形的判定与性质成为解答本题的关键．
针对训练4
【变式4-1】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，
∴四边形EBCF是等腰梯形；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，

∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，
∴四边形EFGC是平行四边形，
又∵四边形EBCF是等腰梯形，
∴FG=EC=BF，
∵EF=CG，FC=BE，
∴△EFB≌△CGF（SSS），
∴，
∵GC=EF=1，且EF=BC，
∴BC=2，
∴BG=BC+CG=1+2=3．
∵FG//EC，
∴∠GFB=∠BOC=90°，
∴FH=BG=，
∴．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式4-2】如图，在中，对角线相交于点O，，，点E，F分别是的中点，连接，，垂足为点M，交于点N．

(1)求证：；
(2)若，求的面积
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，进而推出，均为等腰直角三角形，可得，从而得到是的中位线，等量代换可得；
（2）由（1）知，，，可求出的面积，根据，所以，可求出，，进而求出的面积．
【详解】（1）证明：连接，

∵，点是的中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，均为等腰直角三角形．
∴．
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线．
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
（2）由（1）知，，，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、中位线定理，熟练运用其性质求解是解题的关键．
【考点5 利用三角形的中位线求最值】
【典例5-1】如图，在中，，将平移4个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．
  
【答案】，
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据是平移得到的，故，；根据中位线的性质，可得，根据三角形三边关系可得， 即可求得的取值范围．
【详解】解：取的中点，的中点，连接，，，，如图：
  
∵是平移4个单位长度得到的，
∴，
∵点，分别是，的中点
∴
且满足：
故
即
的最小值等于，最大值等于．
【点睛】本题考查了平移的性质，中位线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平移的性质进行求证．
【典例5-2】已知，等腰直角中，，，为边上的一点，连接，以为斜边向右侧作直角，连接并延长交的延长线于点．

(1)如图1，当，，时，求线段的长；
(2)如图2，当时，求证：点为线段的中点；
(3)如图3，点与点重合，，为边上一点，为边上一点，连接，当取最大值时，请直接写出三角形周长的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)

【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形性质可得出，，运用勾股定理可得出，再运用含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求出答案；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，在上截取，连接，先证明是等腰直角三角形，再证明，即可证得结论；
（3）延长至点，使，延长至点，使，连接，取中点，连接，，利用轴对称性质和三角形中位线定理可求得，要使最大，必须最大，运用两点间距离及三角形三边关系可得的最大值，即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，

，，
，
，，，
，
，
，
，，
；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，
在上截取，连接，

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点；
（3）如图3，延长至点，使，延长至点，使，连接，取中点，连接，，

∵AB=4，∠ACB=90°，AC=BC，
，
点是中点，
，
，
，点是中点，
，
的最大值为，
，，
，
，，
、关于对称，、关于对称，
三角形周长的最小值为的长，
，，，
，
，
，
要使最大，必须最大，的最大值为，
三角形周长的最小值为的长，即
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，三角形中位线定理等，解题关键是熟练掌握轴对称性质、等腰直角三角形性质等相关知识，合理添加辅助线构造全等三角形，通过轴对称性质解决线段的最值问题．
针对训练4
【变式5-1】在和中，，，如图（1），以为边作平行四边形，以为边作平行四边形，点F，G分别是的中点，当绕点C旋转时，

(1)证明：；
(2)①求的面积（用含a，b的代数式表示）；
②直接写出的长度的最大值为（用含a，b的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②

【分析】（1）先证得，结合得到，从而得到，最后得证；
（2）①过点A作于点K，延长交于点H，则，由得，由得，然后证，进而得证，利用全等三角形的性质得到，再设，用含有a、b、x的式子表示，进而由点F、G是的中点表示出，最后求得的面积；
②连接交于点O，连接，取的中点P，连接，先由点F是平行四边形的对角线的中点得到经过点F，即A、F、E三点在同一条直线上，且F是的中点，然后由得证，进而证明，再利用全等三角形的性质得到，再证明，，然后通过是以为斜边的等腰直角三角形，得到，即可得到当的长度最大时，的长度有最大值，最后得到的长度的最大值．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：①如图1，过点A作于点K，延长交于点H，则，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵点F、G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴
，
∴的面积为．
②如图2，连接交于点O，连接，取的中点P，连接，设与的交点为点Q，

∵点F是平行四边形的对角线的中点，
∴经过点F，即A、F、E三点在同一条直线上，且F是的中点，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P是的中点，F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∵，
∴，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴当的长度最大时，的长度有最大值，
∵，
∴的最大值是，
此时，的长度有最大值为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线，解题的关键是熟练应用勾股定理表示线段的长度．
【变式5-2】如图1，在中，点D在的延长线上，且，分别过点D作交的延长线于点E，连接，交于点G，

(1)求的长，并证明；
(2)如图1，在射线上只用圆规作一点Q，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别取的中点M、N，动点H在上运动，求的最小值
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由两个垂直条件及，可证明，则有，由勾股定理建立方程即可求得；再由线段垂直平分线的判定定理即可得；
（2）由及，可得，则可得也是等腰三角形，且腰长为8，于是以A为圆心，为半径画弧交射线于点Q，则点Q满足条件；
（3）取的中点P，连接，则当点N在线段上时，的值最小，利用中位线定理即可求得最小值．
【详解】（1）解：由题意知：，，
又，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
，
是线段的垂直平分线，
；
（2）解：满足条件的点Q如下图所求，且；
，，
，
，
，
，
，
，
所以是等腰三角形，且腰长为8，
于是以A为圆心，为半径画弧交射线于点Q，则有

（3）解：取的中点P，连接，如图所求，
，，
平分，
N、P分别为的中点，
，
,
当点N在线段上时，的值最小，最小值为线段的长；
在中，由勾股定理得，
，
，
；
在中，由勾股定理得，
，
分别为的中点，
，
即的值最小为．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定定理，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是关键．