数学八年级下暑假培优专题训练（13）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（13），共31页。试卷主要包含了函数的图像获取信息等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题十三、函数的图像获取信息
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目录
【考点一 从图像中获取信息】..........................................1
【考点二 根据函数图像做判断】.......................................4
【考点三 动点问题的函数图像】........................................6

【聚焦考点1】
利用函数图像信息解答函数问题，就是由图像给出数据信息，探求两个变量的关系，再综合运用有关函数的知识，以达到分析与解答一类实际问题的题型，解答这类问题的关键是读懂图像所提供的信息，正确理解各变量的关系。
2.解决这类问题的一般方法：
(1)看图形坐标系上所表示的数字意义，两条坐标轴代表的意义；
(2)看图形的发展趋势；
(3)看关键点(如起点、终点、折点、交点)
利用函数图像信息解决实际问题，正确获取信息是解题的关键。解题时要根据图像及其数量关系进行分析，要抓图像中的转折点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或数量关系发生改变的地方。对于有实际意义的函数关系，再确定自变量的取值范围时，要注意实际问题中变量的实际意义。
【典例剖析1】
【考点一 从图像中获取信息】
【典例1-1】甲、乙两人跑步，已知甲先跑2秒以后乙再出发，结果乙先到达终点并休息，甲随后赶到．甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示，则乙出发（    ）秒后追上甲．
  
A．8 B．10 C．12 D．14
【典例1-2】某天早晨，小明从家出发步行上学，小明爸爸发现若小明按目前步行速度每分钟100米的速度上学则要迟到，于是立即骑上自行车从家出发追赶小明，追上小明后带着小明一起到学校，结果比小明步行到达学校少用3分钟，假设步行和骑车的速度均为匀速，如图表示小明爸爸出发时间x（分钟）与离家距离y（米）的函数图像，则小明家到学校的距离是（    ）米．
  
A．500 B．600 C．1500 D．1600
【典例1-3】小张骑摩托车从A地去B地，小王驾车从B地去A地再返回B地．两人同时出发，小张骑摩托车的速度为，小王去A地用了，返回时速度有所提高，小张、小王两人离A地的路程y（单位：km）与小张出发的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．
  
(1)A，B两地之间的路程为___________；
(2)求出小王返回追上小张时，他们离B地的距离；
(3)直接写出小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间．
针对训练1
【变式1-1】某校雇用甲、乙两车从学校出发送学生去科技园参观，出发时甲车司机在给水箱加水，乙车先走，可是中途乙车出现故障，学生下车步行，甲车把学生送到后，按原速返回接乘乙车的学生，乘甲车的学生及乘乙车的学生距学校的路程（单位：）与甲车出发的时间（单位：）的函数关系如图所示．
  
(1)直接写出甲、乙两车的速度及学生步行的速度；
(2)求两车相遇时距学校的路程；
(3)求乘乙车的学生到达科技园所用的时间是多少分钟？
【变式1-2】某校组织学生“徒步”行走3600米的研学活动，联络员甲接到通知，留校等待命令，其他同学从学校出发5分钟后，联络员从学校出发，先到达目的地者就地休息． 在整个步行过程中速度不变，学生队伍长度忽略不计，联络员和学生队伍之间的距离与学生步行的时间关系如图所示，根据图象信息，回答下列问题：

(1)甲步行的速度是 米/分， 分；
(2)B点表示的实际意义 ；
(3)求联络员离学校的距离与学生步行的时间之间的关系．（不用写出x的取值范围）
【变式1-3】在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）甲车的行驶速度为 　 　km/h，乙车的行驶速度为 　 　km/h；
（2）当1≤t≤4时，求乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）当乙车出发 　 小时，两车相遇．

【聚焦考点2】
由两条坐标轴代表的意义，看图形的发展趋势，由关键点(如起点、终点、折点、交点)做出判断。

【典例剖析2】
【考点二 根据函数图像做判断】
【典例2-1】甲骑自行车从地到地，乙骑电动车从地到地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，设甲、乙两人间的距离为（单位：），甲行驶的时间为（单位：），与之间的关系如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）
  
A．出发时，甲、乙同时到达终点
B．出发时，乙比甲多行驶了
C．出发时，甲、乙在途中相遇
D．乙的速度是甲的速度的两倍
【典例2-2】在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
  
(1)情境a，b所对应的函数图像分别为______，______；（填写序号）
(2)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．
针对训练2
【变式2-1】已知小明家、体育场、学校在同一直线上，如图的图象反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．根据图象回答下列问题：
  
(1)填空：体育场离小明家________，小明从家到体育场用了________；
(2)填空：小明在体育场锻炼用时为________，在家吃早餐用了________；
(3)小明步行的平均速度、骑自行车的平均速度分别是多少？
【变式2-2】甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发后步行的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
  
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了22.5分钟；
③乙用9分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有250米．
其中正确的结论有_________．（填序号）
【变式2-3】周末的早晨王老师从家出发去燕山公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回到家．如图线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（公里）与行走时间t（分钟）之间的函数关系．则下列图形中可以大致描述王老师行走的路线是（　　）

A． B． C． D．
【聚焦考点3】
分析清楚运动状态，抓住运动状态发生改变或数量关系发生改变的地方解决问题.
【典例剖析3】
【考点三 动点问题的函数图像】
【典例3-1】如图1，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图象如图2，则的面积为（    ）
    
A．30 B．25 C．24 D．20
【典例3-2】如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（    ）
  
A．5 B．4 C．3 D．2
【典例3-3】如图1，在中，，，分别是，的中点，连接，，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，点运动的路程为，图2是点运动时，的面积随变化的图象，则的值为（　　）
  
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【典例3-4】已知：如图，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系式图象如图，则下列结论正确的有；；当时，为等腰三角形；当时，．（    ）

A． B． C． D．
针对训练3
【变式3-1】如图1，点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图1的边运动，运动路径为，相应的的面积关于运动时间的图象如图2，若，则下列结论正确的有__________（填写序号）．
  　　  
①图1中长；
②图1中的长是；
③图2中点表示7秒时值为；
④图2中点表示12秒时值为．
【变式3-2】如图1，在中，，点在边上，以为边在的右侧作正方形．点以的速度由点出发，沿的路径运动，连接，，的面积与运动时间之间的图象关系如图2所示．

根据相关信息，解答下列问题：
(1)判断的长度；
(2)求，的值；
(3)当时，连接，此时与的有怎样的数量关系，请说明理由．
【变式3-3】已知图形的相邻两边垂直，．当动点M以的速度沿图①的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：

(1)图②中的自变量是 ，因变量是 ；
(2)题目中的a是 ，的长度是 ；
(3)当t为何值时，的面积．





























数学八年级下暑假培优专题训练
专题十三、函数的图像获取信息（解析版）
【考点一 从图像中获取信息】
【典例1-1】甲、乙两人跑步，已知甲先跑2秒以后乙再出发，结果乙先到达终点并休息，甲随后赶到．甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示，则乙出发（    ）秒后追上甲．
  
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】根据图像分析可得甲的速度为，求得总长为，即可求出乙的速度为，设乙出发a秒后追上甲，列方程求解即可．
【详解】根据图像可知，当乙开始的时候，甲乙两人之间距离变小
故甲的速度为
根据乙先到达终点并休息，甲随后赶到，可知甲所用的时间为120秒
故总长为
乙所用的时间为秒
即乙的速度为
设乙出发a秒后追上甲

解得
故选：B．
【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，根据图像得到相关信息是解题的关键．

【典例1-2】某天早晨，小明从家出发步行上学，小明爸爸发现若小明按目前步行速度每分钟100米的速度上学则要迟到，于是立即骑上自行车从家出发追赶小明，追上小明后带着小明一起到学校，结果比小明步行到达学校少用3分钟，假设步行和骑车的速度均为匀速，如图表示小明爸爸出发时间x（分钟）与离家距离y（米）的函数图像，则小明家到学校的距离是（    ）米．
  
A．500 B．600 C．1500 D．1600
【答案】D
【分析】由图象可得：开始时小明与爸爸的距离为500米，经过5分钟后，两人相遇，此时小明走过的路程为：（米），可爸爸的速度为每分钟：（米），由爸爸送小明到学校的时间比小明步行的时间快3分钟，设爸爸送小明上学的时间为x分钟，再建立方程求解即可．
【详解】解：由图象可得：开始时小明与爸爸的距离为500米，经过5分钟后，两人相遇，
此时小明走过的路程为：（米），
∴爸爸的速度为每分钟：（米），
∵爸爸送小明到学校的时间比小明步行的时间快3分钟，设爸爸送小明上学的时间为x分钟，则
，
解得：，
∴小明家到学校的距离是（米）．
故选D
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解图象上点的坐标含义是解本题的关键．
【典例1-3】小张骑摩托车从A地去B地，小王驾车从B地去A地再返回B地．两人同时出发，小张骑摩托车的速度为，小王去A地用了，返回时速度有所提高，小张、小王两人离A地的路程y（单位：km）与小张出发的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．
  
(1)A，B两地之间的路程为___________；
(2)求出小王返回追上小张时，他们离B地的距离；
(3)直接写出小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据小张从A到B用了4小时，结合小张的速度即可得到答案．
（2）设小王返回追上小张时，小张所用的时间为，先求出小王返回时的速度，再根据路程速度时间列出方程求解即可；
（3）设小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间为t，然后分当小王没有追上小张时，当小王追上小张后，两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，
∴A，B两地之间的路程为，
故答案为：；
（2）解：设小王返回追上小张时，小张所用的时间为．
小王返回时的速度为．
∴．
解得．
．
答：小王返回追上小张时，他们离B地的距离为．
（3）解：设小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间为t，
当小王没有追上小张时，由题意得，，
解得；
当小王追上小张后，由题意得，，
解得，
综上所述，小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间为或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】某校雇用甲、乙两车从学校出发送学生去科技园参观，出发时甲车司机在给水箱加水，乙车先走，可是中途乙车出现故障，学生下车步行，甲车把学生送到后，按原速返回接乘乙车的学生，乘甲车的学生及乘乙车的学生距学校的路程（单位：）与甲车出发的时间（单位：）的函数关系如图所示．
  
(1)直接写出甲、乙两车的速度及学生步行的速度；
(2)求两车相遇时距学校的路程；
(3)求乘乙车的学生到达科技园所用的时间是多少分钟？
【答案】(1)甲车的速度为；乙车的速度为；学生步行的速度为
(2)
(3)120分钟
【分析】（1）先分清两个函数图像的对应关系，再根据图中的路程和时间关系分别计算；
（2）设甲车出发x时，两车相遇，列出方程，求出相遇时间，再利用甲车的速度求出结果；
（3）先求出甲车从科技园返回直到接到学生需要的时间，再求出期间学生的路程，得到甲车接到学生时还需走的路程，可得时间，再计算总时间即可．
【详解】（1）解：由图可知：
乙车的速度为：；
甲车的速度为：；
学生步行的速度为：；
（2）设甲车出发x时，两车相遇，
∴，
解得：，
∴此时距学校的路程为；
（3）由题意可得：，
即甲车从科技园返回直到接到学生共需，
此时距离科技园还有，
∴甲车接到学生后，还需才能到达科技园，
故乘乙车的学生到达科技园共需，即为120分钟．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是读懂图像，找到各个关键时间点所对应的实际意义．
【变式1-2】某校组织学生“徒步”行走3600米的研学活动，联络员甲接到通知，留校等待命令，其他同学从学校出发5分钟后，联络员从学校出发，先到达目的地者就地休息． 在整个步行过程中速度不变，学生队伍长度忽略不计，联络员和学生队伍之间的距离与学生步行的时间关系如图所示，根据图象信息，回答下列问题：

(1)甲步行的速度是 米/分， 分；
(2)B点表示的实际意义 ；
(3)求联络员离学校的距离与学生步行的时间之间的关系．（不用写出x的取值范围）
【答案】(1)90，60
(2)甲到达了目的地
(3)
【分析】（1）根据点A的意义可求出学生步行的速度，然后列方程求出甲步行的速度，再根据时间=路程÷速度即可求出m的值；
（2）根据纵轴的意义解答即可；
（3）根据路程=速度乘以时间计算即可．
【详解】（1）学生步行的速度是：米/分，
设甲步行的速度是n米/分，由题意得
，
解得，
∴甲步行的速度是90米/分，
分．
故答案为：90，60；
（2）由图象可知，B点后甲和其他同学的距离开始缩小，
∴B点表示甲到达了目的地.
故答案为：甲到达了目的地；
（3）．
【点睛】本题考查了由函数图象获取信息，列函数解析式，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
【变式1-3】在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）甲车的行驶速度为 　 　km/h，乙车的行驶速度为 　 　km/h；
（2）当1≤t≤4时，求乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）当乙车出发 　 小时，两车相遇．

【答案】197
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）根据待定系数法分类讨论求解乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程＝200+240列方程求解即可；
解：（1）甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（72−1）＝80（km/h），
∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
故答案为60，80．
（2）当0＜t＜1时，
y2＝200；
当1＜t≤72时，设y2＝kt+b，
∵图象过点（1，200），（72，0），

∴k+b=20072k+b=0，
∴k=−80b=280，
∴y2＝﹣80t+280；
当72＜t≤4时，
∵（4−72）×80＝40（km），
∴图象过点（4，40），
设y2＝kt+b，
∵图象过点（4，40），（72，0），
∴4k+b=4072k+b=0，
∴k=80b=−280，
∴y2＝80t﹣280．
∴y2=−80t+280(1＜t＜72)200(0＜t＜1)80t−280(72t＜4)；
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
80m+60（m+1）＝200+240，
解得：m=197．
∴乙车出发197小时，两车相遇．
故答案为：197．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图象中获取有效信息，熟练运用待定系数法求解一次函数的关系式是解题的关键．
【考点二 根据函数图像做判断】
【典例2-1】甲骑自行车从地到地，乙骑电动车从地到地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，设甲、乙两人间的距离为（单位：），甲行驶的时间为（单位：），与之间的关系如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）
  
A．出发时，甲、乙同时到达终点
B．出发时，乙比甲多行驶了
C．出发时，甲、乙在途中相遇
D．乙的速度是甲的速度的两倍
【答案】．A
【分析】由点与点的含义可判断A， 当分钟时，乙行驶，甲行驶了，可判断B， 由的含义可判断C， 再分别求解甲、乙的速度可判断D，从而可得答案．
【详解】解：由点， 可得，两地相距，
再由点， 结合图象，可得乙花15分钟到达目的地，由，可得甲花30分钟到达目的地，故A符合题意；
当分钟时，乙行驶，甲行驶了，则乙比甲多行驶，故B不符合题意；
由分钟时，， 所以出发10分钟时，甲、乙在途中相遇，故C不符合题意；
甲的速度为：（米/分钟），乙的速度为：（米/分钟），
所以乙的速度是甲的速度的2倍，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是从图象中获取信息，同时考查利用图象解决行程问题，掌握点的坐标的实际含义是解题的关键．
【典例2-2】在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
  
(1)情境a，b所对应的函数图像分别为______，______；（填写序号）
(2)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．
【答案】(1)③；①
(2)小芳离开家出去散步，休息了一会儿后，又走回家．（答案不唯一）

【分析】（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；
（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合， 发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合， 又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，
∴只有③符合情境a；
∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，
∴只有①符合b．
（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．
【点睛】主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
针对训练2
【变式2-1】已知小明家、体育场、学校在同一直线上，如图的图象反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．根据图象回答下列问题：
  
(1)填空：体育场离小明家________，小明从家到体育场用了________；
(2)填空：小明在体育场锻炼用时为________，在家吃早餐用了________；
(3)小明步行的平均速度、骑自行车的平均速度分别是多少？
【答案】(1)2.5；15
(2)15；20
(3)步行的平均速度是； 骑自行车的平均速度是

【分析】（1）利用图象中的折线中的第一段求解；
（2）利用图象中的折线中的第二段和图象中的折线中的第四段求解；
（3）利用图象中的折线中的第三段和图象中的折线中的第五段求解．
【详解】（1）解：由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场，
小明从家到体育场用了；
（2）解：由图象中的折线中的第二段可知：王强从第开始锻炼，第结束，
王强锻炼的时间为：，
由图象中的折线中的第四段可知：王强从第开始吃早餐，第结束，
王强吃早餐用时：，
（3）解：由图象中的折线中的第三段可知：王强从第中开始回家，第到家；
步行时间为：
小明步行的平均速度为：；
由图象中的折线中的第五段可知：王强从第开始骑车去往外的学校，第到达学校，
王强骑自行车用的时间是：，
王强骑自行车的平均速度是：
【点睛】本题主要考查了函数的图象，从函数的图象中正确的获取信息是解题的关键
【变式2-2】甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发后步行的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
  
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了22.5分钟；
③乙用9分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有250米．
其中正确的结论有_________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据题意和函数图像中的数据判断各结论是否正确即可．
【详解】解：由图可得，
甲步行的速度为：米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：（分钟），故②正确，
乙追上甲用的时间为：（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：米，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式2-3】周末的早晨王老师从家出发去燕山公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回到家．如图线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（公里）与行走时间t（分钟）之间的函数关系．则下列图形中可以大致描述王老师行走的路线是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间王老师绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．
解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段王老师离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述王老师行走的路线是A．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
【考点三 动点问题的函数图像】
【典例3-1】如图1，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图象如图2，则的面积为（    ）
    
A．30 B．25 C．24 D．20
【答案】C
【分析】由图象可知，时，点在点，点在点，时，点在点，可得，再根据勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由图象可知，时，点在点，点在点，时，点在点，
，，
在矩形中，，，
，
在中，，
∴的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程，突破点在于正确判断出
【典例3-2】如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（    ）
  
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据矩形性质可知，点P在上时面积不变，再根据图象和三角形的面积公式求得，，进而利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由图象知，当时，，
∵点为矩形中边的中点，
∴点P在上时面积不变，，，
由图象可知，经过a秒后，点P从点A运动到E，，
则，
解得，
又由图象知，当时，经过5秒后，点P从点E运动到点B，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答的关键是弄清不同时间段，图形和图象的对应关系．

【典例3-3】如图1，在中，，，分别是，的中点，连接，，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，点运动的路程为，图2是点运动时，的面积随变化的图象，则的值为（　　）
  
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【分析】由三角形中位线定理及直角三角形斜边中线等于斜边一半可知且，，，再根据动点的运动情况分三段分别分析即可得出答案．
【详解】解：∵，，分别是，的中点，
∴且，，则，
由图象，结合图形可知：当时，随增大而减小，
则此时点从向运动，
∴，
当时，随增大而增大，
则此时点从向运动，
∴，则，
当点运动到是，，
∴，则，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半及直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键．

【典例3-4】已知：如图，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系式图象如图，则下列结论正确的有；；当时，为等腰三角形；当时，．（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时找到点位置计算面积即可判断的值．
【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为，
．
，
．
则，
当点从点到点时，所用时间为：，
，故正确；
点运动完整个过程需要时间为：，即，故错误；

当时，，
又，两直线平行，内错角相等，
，
，
，
是等腰三角形，故正确；
当时，点运动的路程为：，此时，
面积为：，故错误．
正确的结论有．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点一般是函数图象的折点，对应数据转化为图形中的线段长度．
针对训练3
【变式3-1】如图1，点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图1的边运动，运动路径为，相应的的面积关于运动时间的图象如图2，若，则下列结论正确的有__________（填写序号）．
  　　  
①图1中长；
②图1中的长是；
③图2中点表示7秒时值为；
④图2中点表示12秒时值为．
【答案】②④
【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【详解】解：由图象可得：0～2秒，点在上运动，则cm，
点是中点，
cm，
故①不合题意；
由图象可得：4～7秒，点在上运动，则cm，
故②符合题意；
第7秒时，点在处，，
故③不符合题意；
由图象可得：当第12秒时，点在处，
cm，
s，
cm，
，
故④符合题意，
正确的是②④，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.
【变式3-2】如图1，在中，，点在边上，以为边在的右侧作正方形．点以的速度由点出发，沿的路径运动，连接，，的面积与运动时间之间的图象关系如图2所示．

根据相关信息，解答下列问题：
(1)判断的长度；
(2)求，的值；
(3)当时，连接，此时与的有怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析

【分析】（1）根据图2可得点P从点F到点E用了5秒，再根据路程=速度×时间，即可求解；
（2）根据四边形是正方形，得出，即可求出a的值，再由图2可知，点P从点D到点A用了，即可求出，进而得出，最后根据三角形的面积公式求出b即可；
（3）当时，如图，点P和点D重合，证明，得到，则．
【详解】（1）解：由图2可知，点P从点F到点E用了5秒，
∴．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由图2可知，点P从点D到点A用了，
∴，
∴，
∴，
当点P在上时，，
∴，
综上：；
（3）解：当时，如图，点P和点D重合，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点P和点D重合，
∴．

【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，明确点P的运动路径，根据函数图象得出需要的信息，以及掌握全等三角形的判定定理和性质．
【变式3-3】已知图形的相邻两边垂直，．当动点M以的速度沿图①的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：

(1)图②中的自变量是 ，因变量是 ；
(2)题目中的a是 ，的长度是 ；
(3)当t为何值时，的面积．
【答案】(1)时间t；的面积S；
(2)；；
(3)2或．
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可得到答案；
（2）由函数图像得当时，点M和点C重合，即可求得a，由图像可知时，点M在上运动，进而即可求解；
（3）延长交于点G，根据图形得到各边的长以及的值，分段讨论与的关系，求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由图②可知，自变量是时间t，因变量是的面积S，
故答案为：时间t；的面积S；
（2）解：由函数图像得：当时，点M和点C重合，即，
，
由图像可知时，点M在上运动，
，
故答案为：；；
（3）解：延长交于点G，则，
图形的相邻两边垂直，
，，，
，，，
由（2）得：，，
，
点M在上运动的时间为：，
，
，
，
①当点M在上运动时，，
，解得：；
②当点M在上运动时，，不符合题意；
③当点M在上运动时，，
，
，
，解得：；

④当点M在上运动时，，符合题意，
⑤当点M在上运动时，，不符合题意，
综上所述，当的面积时，t的值为2或．
【点睛】本题考查了函数的基本定义，函数图象获取信息，利用数形结合和分类讨论的思想，通过图象找出对应图形的线段长以及运动时间是解题关键．