数学八年级下暑假培优专题训练（18）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（18），共44页。试卷主要包含了一次函数存在性问题等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题十八、一次函数存在性问题
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目录
【考点一 一次函数中等腰三角形存在性】..........................1
【考点二 一次函数中平行四边形的存在性】........................3
【考点三 一次函数中面积的存在性】..............................6
【考点四 一次函数中最值问题】..................................7
【聚焦考点1】
动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
（1） 分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
（2） 画图；
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为
顶点的等腰三角形
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为
顶点的等腰三角形
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为
顶点的等腰三角形
（3） 列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
【典例剖析1】
【考点一 一次函数中等腰三角形存在性】
【典例1-1】如图：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交与，两点，直线与直线交于点．

(1)求点坐标；
(2)在轴上有一点，在的右侧，若；求点坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，点为轴正半轴上一点，且，若在轴上存在一个点，使得是等腰三角形，直接写出点坐标．
【典例1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
  
(1)求证：；
(2)如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出两个符合条件的点的坐标．
针对训练1
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
  
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
(4)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的P有________个．

【聚焦考点2】
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算．
用对角线互相平分.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
【典例剖析2】
【考点二 一次函数中平行四边形的存在性】
【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴上，点A在y轴上，在四边形中，，点B的坐标为，．
  
(1)求点C的坐标；
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，过点P作轴，垂足为H，直线交直线于点Q，设的长度为，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在坐标平面内，是否存在一点M，使得以A，B，C，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【典例2-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．

(1)点C的坐标为 　　 ；求直线的表达式；
(2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
针对训练2
【变式2-1】如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为．

(1)求点坐标；
(2)若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式；
(3)点是直线上的动点，点是y轴上的动点，当B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【变式2-2】如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线折叠，点落在边上的处，、分别在、上，直线解析式为，点的坐标是．

(1)求出的值；
(2)若直线平行于直线，交轴于点，求直线的解析式；
(3)点在轴上，直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【聚焦考点3】
采用割补法可以求出平面直角坐标系中三角形的面积公式为：

其中AD是铅锤高，h1+h2是水平宽，且h1+h2很好算，为C点横坐标减B点横坐标(xc-xb)。
【典例剖析3】
【考点三一次函数中面积的存在性】
【典例3-1】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 的坐标为 ，直线 与 轴交于点 ．
  
(1)求直线 的解析式．
(2)求 的面积．
【典例3-2】直线经过点与
  
(1)求一次函数的解析式
(2)若直线与轴、轴分别交于A、B两点，点在轴上，且，求的面积．
针对训练3
【变式3-1】如图，直线与x轴y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为．点是第二象限内的直线上的一个动点

(1)求k的值
(2)当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
(3)探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，的面积为，并说明理由
【变式3-2】已知直线，与轴相交于点，与直线相交于点，若的面积为，则点的坐标为______．
【典例剖析4】
【考点四 一次函数中最值问题】
【典例4-1】如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【典例4-2】直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．
  
(1)求A，B两点的坐标；
(2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值；
(3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
针对训练4
【变式4-1】为了方便同学们练习排球，学校将操场的一处靠墙空地进行了改造，计划用21米长的网布围出一个如图所示的矩形场地，其中边为墙壁，剩余三条边为网布所围．设边为x米，边为y米．

(1)写出y与x的函数表达式；
(2)已知墙长7米，且距离墙8米处有障碍物，排球练习场地必须安排在墙壁与障碍物之间的空地处，则边长度的最小值为多少？
【变式4-2】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴负半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点，连接．

(1)线段的长；
(2)①证明：四边形是平行四边形；
②当m取何值时，四边形是菱形；
(3)若点坐标为，当时，记（其中示线段的长度），求的最大值．

















数学八年级下暑假培优专题训练
专题十八、一次函数存在性问题（解析版）
【考点一 一次函数中等腰三角形存在性】
【典例1-1】如图：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交与，两点，直线与直线交于点．

(1)求点坐标；
(2)在轴上有一点，在的右侧，若；求点坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，点为轴正半轴上一点，且，若在轴上存在一个点，使得是等腰三角形，直接写出点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）联立直线和，解方程组即可得出点的坐标；
（2）设点的横坐标为，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可得出结论；
（3）作交于，作轴于，证明，根据全等三角形的性质可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，设，分三种情况，根据勾股定理及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：联立直线和得，
解得，
；
（2）解：设点的横坐标为，如图，

直线与坐标轴交与，两点，
，，
，
，
解得，
点的坐标为；
（3）解：如图，作交于，作轴于，

，，
，
，
，，
，
，
，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
点的坐标为，
设，
，，。
是等腰三角形，分三种情况：
①当时，，
，
解得或，
点的坐标为或；
②当时，，
，
解得或3（与重合，舍去），
点的坐标为；
③当时，，
，
解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查的一次函数的性质、三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是运用分类思想，画出图形，利用等腰三角形的腰长相等列方程求解．
【典例1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
  
(1)求证：；
(2)如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出两个符合条件的点的坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）由“”即可证明；
（2）首先利用待定系数法求出直线的解析式为，然后设，得到，代入得到，，然后得到直线的解析式为，直线的解析式为，最后利用求解即可；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
在和中，

；
（2）解：设直线解析式为，把、代入上式得，
解得，
故直线的解析式为，
由得：，设，
而，

点在直线上，把代入上式并解得，
，，
∴直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
，
；
（3）解：存在，理由：
设点的坐标为，
而点、的坐标分别为、，
由点、、的坐标得：，，，
当时，则，解得，
当时，则，解得：，
当时，则，解得（舍去）或5，
故点的坐标为，或，或，或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形全等等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
针对训练1
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
  
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
(4)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点B坐标为，点C坐标为
(3)
(4)存在，点P坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求出m，n的值即可；
（2）令，分别求出相应的函数值和自变量，即可得出结果；
（3）结合图象法，即可得出结论；
（4）分三边两两相等，三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）正比例函数的图象过点．
，
．
又一次函数的图象过点
，
．
（2）解：由（1）可得，一次函数的解析式为，
令，则        
，
点B坐标为，
令，则，
点C坐标为；
（3）解：由图象可知：在A点右侧，函数的值小于函数的值；
故；
（4）存在，点P坐标为或或或．
点，
，
当时，且点P在x轴上，
则点或；
当时，如图，过点A作于E，
则点，
，，
，
点；
当时，
，
，
点，
综上所述：点P坐标为或或或．
  
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【变式1-2】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的P有________个．

【答案】3
【分析】分类进行讨论，当时，时，时，分别画出图形，即可得出答案．
【详解】解：当时，点P有1个，如图所示：

  
当时，点P有1个，如图所示：
  
当时，点P有1个，如图所示：
  
综上分析可知，符合条件的P有3个点．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
【考点二 一次函数中平行四边形的存在性】
【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴上，点A在y轴上，在四边形中，，点B的坐标为，．
  
(1)求点C的坐标；
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，过点P作轴，垂足为H，直线交直线于点Q，设的长度为，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在坐标平面内，是否存在一点M，使得以A，B，C，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当点P在线段AB上时，；当点P在的延长线上时，
(3)存在．点M的坐标分别为，，
【分析】（1）过点B作轴于点N，然后根据所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论：当点P在线段上时；点P在的延长线上时；分别进行计算即可；
（3）根据平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】（1）如图，过点B作轴于点N．
  
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点P在线段上时，，，
∴，
当点P在的延长线上时，，，
∴；
（3）如图所示：
  
当点位于点图示、位置时，
由平行四边形的性质可知，
∴点，，
当点位于点图示位置时，
∴，
∴点，
综上所述：点M的坐标分别为，，．
【点睛】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，灵活运用所学知识点解题是本题的关键．
【典例2-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．

(1)点C的坐标为 　　 ；求直线的表达式；
(2)若点E为线段上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)．
(3)存在，或或．
【分析】（1）令和可确定点A和B的坐标，得，，作辅助线构建全等三角形，证明，可得点C的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式；
（2）如图2，过点E作轴于F，根据四边形的面积，代入计算可得结论；
（3）分三种情况：分别根据平移的性质可解答．
【详解】（1）解：直线中，当时，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，，
如图1，过点C作轴于G，

由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线BC的解析式为：，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：；
故答案为：；
（2）解：如图2，过点E作轴于F，

∵点E为线段上一点，
∴设点E的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：分三种情况：
①如图3，四边形ABEP是平行四边形，

∵，
∴由平移得：；
②如图4，四边形是平行四边形，

由平移得：；
③如图5，四边形是平行四边形，

由平移得：；
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】此题是一道函数综合题，主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移性质，平行四边形的性质和判定等知识，熟练运用平移的性质和分类讨论思想是解决本题的关键．
针对训练2
【变式2-1】如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为．

(1)求点坐标；
(2)若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式；
(3)点是直线上的动点，点是y轴上的动点，当B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)（0，1）
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设直线 与 轴的交点为 ，交 轴于 ．利用勾股定理构建方程求出点 、 两点坐标即可解决问题；
（3）分三种情形讨论求解：①如图2中，当 为对角线时；②如图3中，当 为边时且点 在点 的上方；③如图4中，当 为边，点 在点 下方时，设 ；
【详解】（1）解：把代入，得到，
解得，
直线的解析式为，
令，得到，
．
（2）解：如图1中，设直线与轴的交点为，交轴于．

设，连接，则．
在中，，
，
解得，
，，同法可得，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
（3）解：①如图2中，当为对角线时，

四边形是平行四边形，
，，
点与点的横坐标相同，可得，
，
点坐标为．
②如图3中，当为边时且点在点的上方，

由①可知，，
，
．
③如图4中，当为边，点在点下方时，设，

点向上平移1个单位，向左平移3个单位得到，
点向上平移1个单位，向左平移3个单位得到，
把代入，得到，
，
综上所述，满足条件的点坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

【变式2-2】如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线折叠，点落在边上的处，、分别在、上，直线解析式为，点的坐标是．

(1)求出的值；
(2)若直线平行于直线，交轴于点，求直线的解析式；
(3)点在轴上，直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）将点的坐标代入直线解析，即可得出结论；
（2）根据直线平行于直线，可设直线解析式，利用折叠的性质和勾股定理确定，再代入即可；
（3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为、均为动点，只有已经确定，所以可从此入手，按照为平行四边形的一边、为平行四边形的对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得点的纵坐标，再利用直线解析式求出点的横坐标，从而求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线解析式为，点的坐标是，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴的值为．
（2）∵点坐标是，点的坐标是，
∴，，，
∵矩形沿直线折叠，点落在边上的处，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵直线平行于直线，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为．
（3）若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
①如图1所示，为平行四边形的一边，且点在轴正半轴上，
过点作轴于点，延长交轴于点，设，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的纵坐标：，
∵直线解析式为，
∴点的横坐标：，
∴；

②如图1所示，为平行四边形的一边，且点在轴负半轴上，
过点作轴于点，延长交轴于点，设，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的纵坐标：，
∵直线解析式为，
∴点的横坐标：，
∴；

③如图3所示，为平行四边形的对角线，
过点作延长线的垂线，垂足为，设，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为：，
∵直线解析式为，
∴点的横坐标为：，
∴；
综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．

【点睛】本题考查直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，待定系数法求一次函数（直线）解析式，矩形，平行四边形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等知识点．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
【考点三一次函数中面积的存在性】
【典例3-1】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 的坐标为 ，直线 与 轴交于点 ．
  
(1)求直线 的解析式．
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线的解析式为，用待定系数法将，，的坐标代入即可；
（2）由直线与轴的交点为，得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
解得
故直线 的解析式为：；
（2）解： 直线 的解析式为：，
当 时，，即 ，
，
的面积 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，正确的解出直线的解析式是解题的关键．
【典例3-2】直线经过点与
  
(1)求一次函数的解析式
(2)若直线与轴、轴分别交于A、B两点，点在轴上，且，求的面积．
【答案】．(1)
(2)4或12
【分析】（1）根据待定系数法，即可解答；
（2）分类讨论，P点可以在y轴的正半轴或者负半轴，逐一解答即可．
【详解】（1）解：把点与代入，可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）当时，可得，解得，
，
，点在轴上，

如图，当P点在y轴正半轴时，，
，
；
当P点在y轴负半轴时，，
，
，
综上，的面积为4或12．
  
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，熟练求出一次函数的图象，考虑到点位置的多种情况是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】如图，直线与x轴y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为．点是第二象限内的直线上的一个动点

(1)求k的值
(2)当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
(3)探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，的面积为，并说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)当点P运动到时，的面积为，理由见解析

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，，再根据进行求解即可；
（3）把代入（2）所求，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴；
（2）解：由（1）得一次函数解析式为，
∵点是第二象限内的直线上的一个动点
∴，且，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当点P运动到时，的面积为，理由如下：
当时，解得，
∴，
∴，
∴当点P运动到时，的面积为．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
【变式3-2】已知直线，与轴相交于点，与直线相交于点，若的面积为，则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】由直线与轴相交于点，可知，即的底为，即的底为，再设点的坐标为，即的高为，结合的面积为，求出，即可得到点的坐标．
【详解】解：∵直线与轴相交于点，
∴，
∵点是直线与直线的交点，设：点的坐标为，
∴，
∴，即或，
∴点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式、交点坐标，将点的坐标设为并结合三角形面积计算公式求出是解答本题的关键．
【考点四 一次函数中最值问题】
【典例4-1】如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析四边形的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可求解．
【详解】解： 四边形的周长
，
是定值，
所以四边形的周长最小，则最小，
如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则
则

作关于轴的对称点 则
连接交轴于 则
所以当重合时，最小，即最小，
设的解析式为：
解得：
所以的解析式为：
令 则 则 即

故选C
【点睛】本题考查的是利用轴对称的性质求解四边形的周长的最小值时点的坐标，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握的位置使周长最小是解本题的关键.
【典例4-2】直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．
  
(1)求A，B两点的坐标；
(2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值；
(3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案(1)，
(2)秒和秒
(3)存在，
【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解；
（2）确定出正方形右移只有，两点会落在直线上，直线与交于点，求出，距离，又已知速度是1，即可求出时间；
（3）定点，到动点距离和的最小值问题，找出“河岸“的中垂线，然后作出关于的中垂线的对称点，连接，与交于点，即存在，只需要求出移动距离就可以求出时间．
【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于，两点，
当时，，
当时，，
，；
（2）正方形只有点，，在直线左侧，
设直线与直线相交于点，
点，
点，
，
，
，
①，
点右移到上时，
（秒），
②，
点右移上时，
（秒），
答：在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线上，所求的值为秒和秒．
（3）存在实数，使得有最小值，
  
理由如下：
由正方形对称性可得，
点的横坐标与的中点的横坐标一样，
点的纵坐标与的中点的纵坐标一样，
未移动时的点的坐标，令为，
点向右移动所在的直线：，设为直线，
作点关于直线对称点，则，
连接，交于直线于点，
此时最小，
，，
直线，
与直线联立解得点，即新点坐标，
如图，
（秒），
答：存在实数，使得有最小值，此时为秒．
【点睛】本题考查一次函数与正方形性质的相结合及运用，难点在于根据“河岸“问题确定出满足最小值的点．
针对训练4
【变式4-1】为了方便同学们练习排球，学校将操场的一处靠墙空地进行了改造，计划用21米长的网布围出一个如图所示的矩形场地，其中边为墙壁，剩余三条边为网布所围．设边为x米，边为y米．

(1)写出y与x的函数表达式；
(2)已知墙长7米，且距离墙8米处有障碍物，排球练习场地必须安排在墙壁与障碍物之间的空地处，则边长度的最小值为多少？
【答案】．(1)
(2)5米
【分析】（1）根据题意，可知且有，进而写出y关于x的函数关系式，从而可以解答本题；
（2）根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题意得
∵四边形为矩形，
∴．
（2）由题意得，
∴．
∵，y随x的增大而减小，
∴当时，y最小值米
∴至少为5米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键在于求一次函数最值的灵活掌握，另外还应特别注意实际问题实际分析．
【变式4-2】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴负半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点，连接．

(1)线段的长；
(2)①证明：四边形是平行四边形；
②当m取何值时，四边形是菱形；
(3)若点坐标为，当时，记（其中示线段的长度），求的最大值．
【答案】(1)5
(2)①见解析；②
(3)10
【分析】（1）先求得点和点的坐标，然后依据点是线段的中点得出点的坐标，即可求解；
（2）①证明，根据全等三角形的性质得，根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线的解析式为，可得，则，，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：，当时，，
当时，，
解得，
，，
点是线段的中点，
点，
；
（2）①证明：，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②解：当时，平行四边形是菱形，
点为轴负半轴上一动点，点的横坐标记作，
，，
，，
，，
，解得，
当时，四边形是菱形；
（3）解：设直线的解析式为，
，，，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
，
随的增大而增大，
，
当时，的最大值为．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．