数学八年级下暑假培优专题训练（20）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（20），共28页。试卷主要包含了数学思想方法等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题二十、数学思想方法
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目录
【考点一 方程与函数思想】........................................1
【考点二 数形结合的思想方法】.....................................2
【考点三 分类的思想方法】..........................................5
【考点四 化归的思想方法】..........................................6
【考点五 整体思想方法】............................................7
【聚焦考点1】
方程思想和函数思想
方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想,在解决一般数学问题中具有重大的意义。在初中数学中,方程与函数是极为重要的内容,对各类方程和简单函数都作较为系统的学习研究。对一个较为复杂的问题,常常只须寻找等量关系,列出一个或几个方程(方程组)或函数关系式,就能很好地得到解决。
【典例剖析1】
【考点一 方程与函数思想】
【典例1-1】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺．

A．26 B．24 C．13 D．12
【典例1-2】如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）

A．3：4 B．63：97 C．13：26 D．23：13
针对训练1
【变式1-1】定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　 ；
（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
【变式1-2】某班40名学生的某次数学测验的平均成绩是69分，成绩统计表如下：
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
人数（人）
2
x
10
y
4
2
（1）求x和y的值；
（2）设此班40名学生成绩的众数为a，中位数为b，求代数式（a﹣b）2的值．
【聚焦考点2】
数形结合思想方法
　　数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具,同时也使许多代数问题具有了显明的直观性。数形结合是初中数学中十分重要的思想,在数学问题的解决中具有数学独特的策略指导与调节作用。
【典例剖析2】
【考点二 数形结合的思想方法】
【典例2-1】平面直角坐标系中两点间距离公式：A（x1，y1）、B（x2，y2），AB=
如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论：
①线段AB的长为；
②在，若，则的面积是5；
③当时，点P的坐标为；
④设点P的坐标为，则的最小值为．
其中正确的结论有______．

【典例2-2】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．

针对训练2
【变式2-1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并直接写出代数式的最小值．

【变式2-2】如图，一只蚂蚁从B点沿数轴向右爬行2个单位长度到达A点，若点B表示的数为−3，设点A所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|1﹣m|+3（m+6）+4的值．

【变式2-3】如图，直线y1=−13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3．
（1）直接写出b值：　4　；
（2）当x取何值时，0＜y1≤y2？
（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=−13x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．

【聚焦考点3】
分类思想方法
　　分类思想方法是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。
【典例剖析3】
【考点三 分类的思想方法】
【典例3-1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例3-2】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．


针对训练3
【变式3-1】在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 ．
【变式3-2】已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，则此等腰三角形的面积为____．

【聚焦考点4】
化归思想方法
　　化归思想方法是通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化、直到化为已经解决或容易解决的问题。
【典例剖析4】
【考点四 化归的思想方法】
【典例4-1】已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是_________
【典例4-2】已知y＝5+3−x−x−3，则yx＝　　．
针对训练4
【变式4-1】如图是某区部分街道示意图，其中AB⊥AF，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，BC∥FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度．

【变式4-2】如图17-1-41，在平面直角坐标中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．

【聚焦考点5】
整体思想
将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方法和策略。
【典例剖析5】
【考点五 整体思想方法】
【典例5-1】如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE＝2，BF＝3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为 　 ．

【典例5-2】在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　）

A．a+b+c B．a+c
C．a+2b+c D．a﹣b+c


















数学八年级下暑假培优专题训练
专题二十、数学思想方法
【考点一 方程与函数思想】
【典例1-1】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺．

A．26 B．24 C．13 D．12
【答案】D.
【解析】解：由题意可知：BC=×10=5（尺）
设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
由勾股定理得：52+x2=（x+1）2
解得：x=12，
∴这个水池的深度是12尺．
故答案为：D．
【点睛】本题利用勾股定理把实际问题转化为方程问题。体现了方程的数学思想.
【典例1-2】如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）

A．3：4 B．63：97 C．13：26 D．23：13
【答案】B
【分析】连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，根据题意可得△ADF的面积＝△DEC的面积=12平行四边形ABCD的面积，从而可得DPDQ=CEAF，然后设AB＝4a，BC＝3a，分别表示出AN，FN，EM，CM的长，再利用勾股定理求出AF，CE，进行计算即可解答．
解：连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，

由题意得：
△ADF的面积＝△DEC的面积=12平行四边形ABCD的面积，
∴AF•DP＝CE•DQ，
∴DPDQ=CEAF，
∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4a，BC＝3a，
∵AE：EB＝1：3，
∴AE＝a，EB＝3a，
∵F是BC的中点，
∴BF=12BC=32a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CBM＝60°，
∴∠BFN＝∠BCM＝30°，
在Rt△BFN和Rt△BCM中，
∴BN=12BF=34a，BM=12BC=32a，
CM=3BM=332a，FN=3BN=334a，
∴AN＝AB+BN=194a，EM＝EB+BM=92a，
在Rt△ANF和Rt△ECM中，根据勾股定理得：
AF=AN2+FN2=(194a)2+(334a)2=972a，
CE=EM2+CM2=(92a)2+(332a)2=33a，
∴CEAF=33a972a=6397，
∴DP：DQ＝63：97，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　 ；
（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
【答案】（1）y＝﹣bx+2 （2）x＝1 （3）6或﹣10
【分析】（1）由题意可以写出一次函数y＝2x﹣b的交换函数；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标；
（3）根据题意和（1）、（2）的结果，可以计算出b的值．
解：（1）由题意可得，
一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y﹣bx+2，
故答案为：y＝﹣bx+2；
（2）由题意可得，
当2x﹣b＝﹣bx+2时，解得x＝1，
即当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）函数y＝2x﹣b与y轴的交点是（0，﹣b），函数y＝﹣bx+2与y轴的交点为（0，2），
由（2）知，当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
∵（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，
∴|−b−2|×12=4，
解得b＝6或b＝﹣10，
即b的值是6或﹣10．
【点睛】本题考查一次函数的性质、三角形的面积、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和新定义解答．
【变式1-2】某班40名学生的某次数学测验的平均成绩是69分，成绩统计表如下：
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
人数（人）
2
x
10
y
4
2
（1）求x和y的值；
（2）设此班40名学生成绩的众数为a，中位数为b，求代数式（a﹣b）2的值．
【答案】（1）x=18y=4 （2）25
【分析】（1）根据题意可得两个方程
①50×2+60x+70×10+80y+90×4+100×2＝69×40；②x+y+2+10+4+2＝40，解方程组可得x、y的值；（2）根据中位数以及众数的定义分别得出，再代入计算即可．
解：（1）依题意
，解得x=18y=4．
（2）因为60出现次数最多，故众数a＝60分；40个数据中最中间的是第20，21个数据，第20个数据为60，第21个数据为：70，
故中位数b＝（60+70）÷2＝65（分）．则（a﹣b）2＝（60﹣65）2＝25．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及中位数和众数的定义，学会运用方程的思想是解决问题的关键．
【考点二 数形结合的思想方法】
【典例2-1】平面直角坐标系中两点间距离公式：A（x1，y1）、B（x2，y2），AB=
如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论：
①线段AB的长为；
②在，若，则的面积是5；
③当时，点P的坐标为；
④设点P的坐标为，则的最小值为．
其中正确的结论有______．

【答案】①②④.
【解析】解：①根据两点间距离的坐标公式可知，AB=，故①正确；
②在Rt△AOP中，AP=，OA=3，OP=1
∴P（1,0）
∴BP=
在△ABP中，AP2+BP2=AB2，故△ABP为直角三角形，
△ABP的面积为：5，故②正确.
∵S△ABO=6，
∴S△ABP=3
过点B作BD⊥x轴于D，则BD=1，OD=4，

设P（m，0），则×（3+1）×4=×3m+×1（4-m）+3，
解得：m=3，即点P的坐标为(3，0)，故③错误.
作A点关于x轴的对称点M，连接BM交x轴于点P，

此时PA=PM，
∵P点坐标为(x，0)，
∴AP=PM=，BP=
∴+=AP+BP=PM+BP≥BM
当且仅当B、P、M三点共线时，代数式取最小值，最小值即为线段BM的长度，
∵M(0，-3)，B(4，1)
∴BM=，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题利用平面直角坐标系把求式子的最值问题转化为几何两点之间线段最短，完美地利用数形结合思想解决问题。
【典例2-2】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．

【答案】小鸟至少飞行10m
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解析】如图，设大树高为AB＝12m，
小树高为CD＝6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，
在Rt△AEC中，AC10m，
故小鸟至少飞行10m．
【点睛】勾股定理本身就是数形结合的一个典范,它把直角三角形有一个直角的“形“的特点,转化为三边"数"的关系。利用勾股定理解决实际问题,关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型.
针对训练2
【变式2-1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并直接写出代数式的最小值．

【答案】（1）；（2）10；（3）13．
【解析】解：（1）∵AC=，，
∴；
（2）连接AE，
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，即AC+CE的最小值为AE的长，即C为AE与BD的交点，
作EF⊥AB于F，则BF=DE=1，EF=BD=8，AF=5+1=6，
在Rt△AEF中，AE==10
即AC+CE最小值为10；

（3）如图，AB=3，DE=2，BD=12，

设CD=x，
代数式的最小值为AE的长，
∴AE==13，
即代数式最小值为13．
【点睛】本题利用平面直角坐标系把求式子的最值问题转化为几何两点之间线段最短，完美地利用数形结合思想解决问题。
【变式2-2】如图，一只蚂蚁从B点沿数轴向右爬行2个单位长度到达A点，若点B表示的数为−3，设点A所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|1﹣m|+3（m+6）+4的值．

【答案】（1）m＝2−3 （2）93
【分析】（1）直接利用数轴上两点之间的距离求法得出答案；
（2）利用二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解析】（1）∵点B表示的数为−3，一只蚂蚁从B点沿数轴向右爬行2个单位长度到达A点∴m＝2−3；
（2）|1﹣m|+3（m+6）+4
＝1﹣（2−3）+3（2−3+6）+4
＝1﹣2+3+83−3+4
＝93．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确得出m的值是解题关键．
【变式2-3】如图，直线y1=−13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3．
（1）直接写出b值：　4　；
（2）当x取何值时，0＜y1≤y2？
（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=−13x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．


【答案】（1）4 （2）3≤x＜12（3）m的值为﹣3或9
【分析】（1）先求出E点坐标，再代入求出b的值，
（2）求出直线y1=−13x+b与x轴交于点A坐标，根据函数的图象可以直接得出，当0＜y1≤y2时x的取值范围；
（3）由点B的坐标，可求出OB的长，进而求出CD的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得CD的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案．
解：（1）点E在直线y2＝x上，点E的横坐标为3．
∴E（3，3）代入直线y1=−13x+b得，b＝4，
故答案为：4．
（2）直线y1=−13x+4得与x轴交点A的坐标为（12，0），
由图象可知：当0＜y1≤y2时，相应的x的值为：3≤x＜12
（3）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），即：OB＝4，
∴CD＝2OB＝8，
∵点C在直线y1=−13x+4上，点D在直线y2＝x上，
∴（−13x+4 ）﹣x＝8或x﹣（−13x+4 ）＝8，
解得：x＝﹣3或x＝9，
即：m＝﹣3或m＝9．
答：m的值为﹣3或9．
题眼直击：数形结合是解决问题的关键和法宝．
【点睛】考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键和法宝．

【考点三 分类的思想方法】
【典例3-1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C.
【解析】解：当Q在CB延长线上时，

在Rt△ACQ中，CQ=，
∴BQ=CQ-BC=；
当Q在BC延长线上时，

在Rt△ACQ中，CQ=，
∴BQ=CQ+BC=；
∴BQ的长为或．
故答案为：C.
【点睛】点的位置不确定时，需分类讨论。根据点Q本题位置分类是解题的关键。
【典例3-2】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．


【答案】（1）B（﹣2，2）（2）y=13x+4（3）a的值为143．
【分析】（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，可得B（﹣2，2），求出直线AB的解析式，即可解决问题；
（2）过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，再由EQ+FQ＝6，求出a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，再由EQ+FQ＝6，可求a=143．
【解析】（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E，

∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），
∴OC＝2，OA＝4，
∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
∠BEC=∠AOC∠CBE=∠ACOBC=AC，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，
∴B（﹣2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（﹣2，2），
∴4k+b=0−2k+b=2，
∴k=−13b=43，
∴直线AB的解析式为y=−13x+43，
∵AB与y轴交点D，
∴D（0，43）；

（2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，

∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4），
∴CD＝2，BD＝4，
∴C（﹣6，2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴−6k+b=2b=4，
解得k=13b=4，
∴y=13x+4；

（3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，

由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，
∴AE＝FQ，EQ＝PF，
∵B（6，4），
∴OA＝4，CO＝6，
∵点Q（a，2a﹣4），
∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+8﹣2a＝6，
解得a＝2，
∴Q（2，0），
∵Q点在第一象限，
∴a＝2（舍）；
当Q点在AB上方时，如图5，

同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+2a﹣8＝6，
解得a=143．
综上所述：a的值为143．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题
针对训练3
【变式3-1】在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 ．
【答案】10或14
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．


【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明AF＝AB＝8，DE＝DC＝8是解题的关键．
【变式3-2】已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，则此等腰三角形的面积为____．
【答案】或.
【解析】解：由二次根式非负性可知：，
解得：，
①当a是腰时，三边分别为2、2、3，
设底边上的高为h，

则h==
∴此等腰三角形的面积为=；
②当b是腰时，三边分别为3、3、2，
设底边上的高为h，

则h==
∴此等腰三角形的面积为=；
故答案为：或．
【点睛】等腰三角形底腰不确定时需分类讨论。本题的关键是按底腰不同情况分类。
【考点四 化归的思想方法】
【典例4-1】已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是_________．

【答案】.
【解析】解：如图，

过P作PE⊥AC于点E，连接BP，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴PE=AP，
当B、P、E三点共线时，AP+BP取最小值，最小值为△ABC边上的高，
即6，
故答案为：6．
【点睛】本题利用直角三角形性质，等边三角形性质把最值问题转化成两点之间线段最短的基本模型。
【典例4-2】已知y＝5+3−x−x−3，则yx＝　125　．
【答案】125
【分析】：直接利用二次根式有意义的条件分析得出x，y的值，进而得出答案．
【解析】∵y＝5+3−x−x−3，
∴x＝3，y＝5，故yx＝53＝125．故答案为：125．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
针对训练4
【变式4-1】如图是某区部分街道示意图，其中AB⊥AF，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，BC∥FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度．

【答案】5
【分析】连接CF，证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证明四边形BCFD为平行四边形，可得CF＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝DA，进而可求解．
【解析】连接CF，

∵E、D分别是FA和FG的中点，
∴DE∥AB，FD＝DG，
∵BC∥DF，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝CB．
∴FD＝CB，
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF＝BD，
∵AB⊥AF，
∴CE⊥AF，
∴CE垂直平分AF，
∴FD＝DA，
∴BC＝DA，
∵路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，
∴BD+AD+AE＝5（公里）
∴路线2的长度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式4-2】如图17-1-41，在平面直角坐标中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【分析】作点A 关于OB的对称点D ，连接AD交OB于点M，连接CD交OB于点P，连接AP，过点D作DN⊥OA于点N，则此时PA＋PC的值最小．
【解析】作点A 关于OB的对称点D ，连接AD交OB于点M，连接CD交OB于点P，连接AP，过点D作DN⊥OA于点N，如图17-1-42．则此时PA＋PC的值最小．
∵DP＝PA，∴PA＋PC＝DP＋PC＝CD，∵B（3，），∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得OB＝2，由三角形面积公式得×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3．
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°．∵∠BAO＝90°，∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°．
∴AN＝AD＝，由勾股定理得DN＝．∵（，0），∴CN＝3－－＝1．
在Rt△DNC中，由勾股定理得DC＝＝，即PA＋PC的最小值是．故答案选B．
【考点五 整体思想方法】
【典例5-1】如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE＝2，BF＝3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为 　 ．

【答案】12
【分析】根据平行四边形的周长求出AD+CD，再利用面积列式求出AD、CD的关系，然后求出AD的长，再利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】∵▱ABCD的周长为20，
∴2（AD+CD）＝20，
∴AD+CD＝10①，
∵S▱ABCD＝AD•BE＝CD•BF，
∴2AD＝3CD②，
联立①、②解得AD＝6，
∴▱ABCD的面积＝AD•BE＝6×2＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，根据面积的两种表示求出2AD＝3CD是解题的关键，也是本题的难点．
【典例5-2】在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　）

A．a+b+c B．a+c
C．a+2b+c D．a﹣b+c
【答案】B
【分析】本题不能求出S1，S2，S3，S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1+S2＝a， S3+S4＝c，所以S3+S4+S1+S2＝a+c．
【解析】
∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠BAC，∵AC＝CE，∠ABC＝∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE，在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即，AB2+DE2＝AC2，∵S3＝AB2，S4＝DE2
∴S3+S4＝c同理S1+S2＝a故可得S1+S2+S3+S4＝a+c，故选：B．
【点睛】化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养我们的创造性思维.