人教版4.3.1 角课时训练

专题训练(九)　角的计算

类型1　利用角度的和、差关系

找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．

1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．

解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，

所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.

又因为∠BOD＝75°，

所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.

2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)

(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；

(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．

解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠BAD，

所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.

所以∠DAC＝4×18°＝72°.

因为∠DAE＝90°，

所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.

(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，

所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.

解得∠BCD＝15°.

所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.

类型2　利用角平分线的性质

角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．

3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．

解：因为∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，

所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.

又因为∠AOB＝40°，

所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.

4．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．

(1)如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；

(2)如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．

解：(1)因为∠AOB与∠BOC互补，

所以∠AOB＋∠BOC＝180°.

又因为∠AOB＝40°，

所以∠BOC＝180°－40°＝140°.

因为OD是∠BOC的平分线，

所以∠COD＝∠BOC＝70°.

(2)因为∠AOB与∠BOC互余，

所以∠AOB＋∠BOC＝90°.

又因为∠AOB＝40°，

所以∠BOC＝90°－40°＝50°.

因为OD是∠BOC的平分线，

所以∠COD＝∠BOC＝25°.

类型3　利用方程思想求解

在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．

5．一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角的度数．

解：设这个角的度数为x°，根据题意，得

90－x＝(180－x)－40.

解得x＝30.

所以这个角的度数是30°.

6．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．

解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°.

因为OB平分∠AOC，

所以∠AOB＝3x°.

所以2x＋3x＋3x＋20＝180.

解得x＝20.

所以∠BOC＝3×20°＝60°.

7．如图，已知∠AOB＝∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．

解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.

因为∠AOB＝∠BOC，

所以∠BOC＝2x°.

所以3x＋3x＋2x＋x＝360.

解得x＝40.

所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.

类型4　利用分类讨论思想求解

在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．

8．已知∠AOB＝75°，∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC，求∠BOD的大小．

解：因为∠AOB＝75°，∠AOC＝∠AOB，

所以∠AOC＝×75°＝50°.

因为OD平分∠AOC，

所以∠AOD＝∠COD＝25°.

如图1，∠BOD＝75°＋25°＝100°；

如图2，∠BOD＝75°－25°＝50°.

9．已知：如图，OC是∠AOB的平分线．

(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；

(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；

(3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示)

解：(1)因为OC是∠AOB的平分线，

所以∠AOC＝∠AOB.

因为∠AOB＝60°，

所以∠AOC＝30°.

(2)如图1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；

如图2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.

(3)90°＋ 或90°－.