辽宁省沈阳市二十中学2022-2023学年高三上学期三模考试 数学试卷及参考答案

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沈阳市第二十中学2023届高三三模考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
2. 已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）
A. B. C. D.
3. “，使得成立”是“恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）

A. B. C. D.
5. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则（ ）

A. B. C. D.
7. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. e
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式不恒成立的是（ ）
A B.
C D.
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 椭圆上的点到直线的最大距离为
B. 已知圆C：，点P直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m＝4
D. 圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1
11. 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上.平面ABC，在底面中，，，，若球O的体积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 球O的半径为 B.
C. 底面外接圆的面积为 D.
12. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最大值为
C. 在单调递减
D. 在单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，且，则____________．
14. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________.
15. 对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数在上存在1级“平移点”，则实数的最小值为___________.
16. 已知复数，对于数列，定义为“优值”．若某数列的“优值”，则数列的通项公式______；若不等式对于恒成立，则k的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）从下列条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
（1）求C的方程；
（2）求证：为定值，并求出该定值．
19. 正项数列的前项和满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20. 如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.

（1）证明：平面平面；
（2）在棱上有一点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.
21. 已知椭圆经过点，左焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.
22. 已知．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）判断函数的零点个数；
（3）证明：当时，．