天津市滨海新区2023届高三三模数学试题 Word版含解析

这是一份天津市滨海新区2023届高三三模数学试题 Word版含解析，共23页。


2023年滨海新区普通高考模拟检测卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第I卷1至3页，第II卷3至7页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
球的表面积、体积公式：，，为球的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出并化简集合B，利用集合的补集和交集运算即可得出答案.
【详解】由已知得，，所以，从而A正确；
故选：A
2. 已知，是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得：，
对两边同时平方可得，所以，
所以”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特值排除即可.
【详解】因为，故A、C错误；
又因为，故B错误；
故选：D.
4. 为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）

A. 频率分布直方图中的
B. 估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400
C. 估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55
D. 估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为
【答案】D
【解析】
【分析】由频率之和为1可判断A；求出学生每天体育活动不少于一个小时的概率即可估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数可判断B；由众数的定义可判断C；有百分位数的定义可判断D.
【详解】由频率之和为1得：，解得，故A正确；
学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，
则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故B正确；
由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55，故C正确；
由，，
故第25百分位数位于内，
则第25百分位数为.
可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故D不正确.
故选：D.
5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.
【详解】，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
因为，，，
且在上单调递减，
所以，
即.
故选：A.
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，




，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
7. 已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.
【详解】抛物线：焦点为，准线为：，令交于点，即有，

由，直线的倾斜角为，得，则，，
又，则为正三角形，，因此点，
双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
8. 某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（ ）

A. B. C. D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】补全图形为长方体求解即可.
【详解】
将几何体补全为长方体，如图所示，
，
,
所以则该包装盒的容积为：
,
，
，
.
故选：A.
9. 记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：
①；
②；
③在上单调递增；
④为了得到的图象，只要把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，由求出可判断①；由的图象的一条对称轴为求出，求的值可判断②；令，求出的单调增区间可判断③；由三角函数的平移变换可判断④.
【详解】因为，
由可得：，解得：，故①不正确；
的图象的一条对称轴为，
所以，解得：,
因为，所以，所以，
，故②正确；
令，解得：，
令，，所以在上单调递增，③正确；
把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得，
再向左平移个单位长度，则，
故④正确
故选：C.
第II卷
注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数虚部为______.
【答案】
【解析】
【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数，进而即得.
【详解】因为，
所以，
则，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
11. 的展开式中项的系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出二项展开式的通项，令x的指数为1，求出参数的值，再代入通项即可得解．
【详解】的展开式的通项中，令，得，即得的展开式中项的系数为．
故答案为：-35．
12. 已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解.
【详解】圆的方程为，即①，
又圆：②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆的圆心到直线的距离，
所以．
故答案为: .
13. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式和条件概率，即可求出所求概率.
【详解】设A=“甲调配出绿色”，B=“乙调配出紫色”，
因为等量的黄色加蓝色调配出绿色，且等量的红、黄色、蓝彩色颜料各两瓶共6瓶，
所以，
因为甲调配出绿色时已经用掉1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，
则颜料剩余红色2瓶，黄色1瓶，蓝色1瓶共4瓶，
因为等量的红色加蓝色调配出紫色，所以.
故答案为：，
14. 在平面四边形中，，，向量在向量上投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值.
【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量，
由题意知点为线段的中点，所以，
所以，又为锐角，故.
以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，.
因为，所以.
因为点为线段上的动点，所以设，故点.

，.
当时，取到最小值.
故答案为：；.

15. 已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，
因为恰有三个不同的零点，
函数在上恰有三个不同的零点，即有三个解，
而无解，故.
当时，函数在上恰有三个不同的零点，
即，即与的图象有三个交点，如下图，
当时，与必有1个交点，
所以当时，有2个交点，
即，即令在内有两个实数解，
，

当时，函数在上恰有三个不同的零点，
即，即与的图象有三个交点，如下图，

当时，必有1个交点，
当时，与有2个交点，
所以，即在上有根，
令
故，解得：.
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理计算可得；
（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
由余弦定理知，，
所以，即，
解得或（舍负），所以．
【小问2详解】
由正弦定理知，，
所以，
所以．
【小问3详解】
由余弦定理知，，
所以，，
所以
.
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证、，即可由线线垂直证线面垂直；
（2）以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；
（3）设，，求出，可得，整理得，由，方程无解，即可得不存在这样的点M
小问1详解】
证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以.
又因为平面，平面，所以.
，AD，平面，所以面.
【小问2详解】
如图，以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
又平面的法向量，
所以.
所以平面与平面所成角为.
【小问3详解】
假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面所成角为，则直线GM与平面法向量所成的夹角为，
设，，，，
所以，
所以，
整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点M.
18. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得，再由离心率可求得，从而求得，即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据题意，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出的坐标，再由直线的方程表示出点的坐标，再由等量关系，即可得到结果.
【小问1详解】
由题设得，所以，
又离心率为，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
因为，所以设直线的方程为，且，
联立，整理可得：，
则，故，
则，所以，
又直线的方程，联立，整理可得：，
所以，则，且满足.
则直线的方程为.
19. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，
（1）求，的通项公式；
（2）记为的前项和，求证：；
（3）若，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出d，q，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列前项和公式求出，求出，得证；
（3）利用错位相减法和裂项相消法分奇偶项两组求和即可.
【小问1详解】
解：由已知可得，
，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，；
【小问2详解】
，
，，
则
，
所以；
【小问3详解】

，
令
，
则，
，得
，
令

，
.
20. 已知定义域均为的两个函数，．
（1）若函数，且在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若函数，讨论函数的单调性和极值；
（3）设，是两个不相等的正数，且，证明：．
【答案】（1）；
（2）在(−∞,0),(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,的极小值为，无极大值；
（3）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）根据导数与函数单调性的关系，确定单调性进而可得极值；
（3）根据同构和函数的单调性以及二次求导即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
又在处的切线与轴平行，
所以，
所以，
所以，
即，
所以；
【小问2详解】
因为,
所以的定义域为 ,
，令,得,
当 变化时 的关系如下表:


0

1



无意义

0
+


无意义

极小值

所以在(−∞,0),(0,1) 上单调递减; 在 (1,+∞)上单调递增.
所以的极小值为，为极大值；
【小问3详解】
证明：要证,
只需证，根据,
只需证，又，是两个不相等的正数，不妨设 ,
由得,
两边取指数,, 化简得: ，
令，所以
，
根据（2）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示),

由于在上单调递减,在上单调递增,
要使且相等,
则必有 , 即,
由得.
要证, 只需证,
由于在上单调递增, 要证,
只需证,
又, 只需证,
只需证，
只需证，
只需证,
只需证，即证,
令
,
只需证,

则
所以在 上单调递减,
所以,
所以，所以在上单调递减,
所以，所以,
所以: .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.