人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案设计，共6页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

6.2.4 向量的数量积教学设计
第一课时 向量的数量积的物理背景和数量积

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

课程目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
数学学科素养
1.数学抽象：数量积相关概念的理解；
2.逻辑推理：有关数量积的运算；
3.数学运算：求数量积或投影；
4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.

重点：平面向量数量积的含义与物理意义；
难点：平面向量数量积的概念.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。

一、 情景导入
问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题
1、怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
2、向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
3、向量数量积的性质有哪些？
4、向量数量积的运算律有哪些？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、向量的夹角：
已知两个非零向量a与b，作=a，=b，∠AOB= θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角。
当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；
当θ=90°时，a与b垂直，记作a⊥b。
规定：零向量可与任一向量垂直。
2、射影的概念
叫作向量b在a方向上的射影。
注意：射影也是一个数量，不是向量。
3、数量积的定义：
已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱·︱b︱叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱
注意 a∙b不能写成a×b或ab的形式
数量积的几何意义：数量积a∙b等于a的长度︱a︱与b在a方向上投影的乘积，或b的长度b与a在b方向上投影的乘积。
数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积
4、向量数量积的性质
1e是单位向量，a∙e=e∙a=acosθ;
2θ=90°⟺a⊥b⟺a∙b=0;
3a//b⟺a∙b=±|a||b|;
特别地：a∙a=a2或a=a2;
4cosθ=a∙ba|b|,a|b|≠0
5|a∙b|≤a|b|(当且仅当a//b时等号成立)
5、运算定律：
已知向量a、 b、c和实数λ，则：
(1).交换律：a·b= b·a
(2).数乘结合律：（）·b=λ（a·b)= a·（）
(3).分配律： （a + b）·c=a·c +b ·c
四、典例分析、举一反三
题型一 数量积的基本运算
例1 　已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.
【答案】①a·b=－10. ②a·b＝0. ③a·b＝5.
【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.
若a与b反向，则它们的夹角为180°.
∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°.
∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.
③当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×＝5.
解题技巧（向量数量积的运算方法）
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．
 跟踪训练一
1、已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
【答案】－25．
【解析】如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，

∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cosC－15cosA
＝－20×－15×＝－25.
题型二 数量积的几何意义
例2　已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在e方向上的投影，并画图说明．
【答案】　见解析
【解析】如下图所示，当θ＝45°时，a在e方向上的正投影的数量为3；
当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为0；
当θ＝135°时，a在e方向上的投影的数量为－3.

∴|a|·cos45°＝3，|a|·cos90°＝0，
|a|·cos135°＝－3.
解题技巧： (向量投影的注意事项)
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
跟踪训练二
1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.
(1)向量a在向量b方向上的投影为________．
(1)向量b在向量a方向上的投影为________．
2、在边长为2的正三角形ABC中，在方向上的投影为______．

【答案】1、(1)－ 32 　(2)－2.　2、－1.
【解析】1、（1）a∙bb=-32,  2 a∙ba=-2.          
2、ABcos120°=2×-12=-1.
题型三 向量的混合运算
例3　(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a-3b)=_____________．
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
【答案】（1）-72. （2）2.
【解析】(1)(a＋2b)·(a-3b)＝a·a-a·b-6b·b＝|a|2-a·b-6|b|2＝|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2＝62-6×4×cos 60°-6×42＝-72.
（2）　·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2.
解题技巧（向量混合运算注意事项）
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　
跟踪训练三
1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.
【答案】1、-6. 2、2．
【解析】1、由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.
2、因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，
又因为|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为60°，所以t＋1－t＝0，所以t＝2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.2.4 向量的加法运算
第一课时 向量的数量积的物理背景和数量积
1.向量的夹角 例1 例2 例3
2、射影
3.数量积定义
4、数量积的性质
5. 数量积运算律

七、作业
课本20页练习.

通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.