高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案及反思，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程，课堂练习，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。

6.4.3 正弦定理
一、教学目标
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题
3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学核心素养
二、教学重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题
教学难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明
三、 1、教材分析
本节课是教材第一一章<解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到- -般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。
2、学情分析
对于高一的学生来说，己学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一-定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系理解、应用有一-定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法- -向量法，本节课没有涉及到。根据以.上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
四、教学过程
1、情境引入
情景1：设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能解决这个问题吗？（课上自己手画图）

问题1：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边角关系的准确量化关系呢？

2、探索新知
探究1：直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a， b，c表示，怎样用a， b，c表示角A，B，C的正弦？
答：


追问1：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？
猜想：对于任意的斜三角形，也存在以下边角数量关系：
探究2：如何证明：在三角形中，角与所对的边满足关系
答：我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究
在锐角三角形中，
即
同理过C点做得
所以在锐角三角形中

那么，钝角三角形的证明可以课后自己证明一下（作业）

3、 总结新知

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

注意：使用正弦定理解三角形的条件：①已知两角及任一边，求其他两边和一角
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
4、例题解析

【例1】（开头情景1）如下图所示，在△ABC中，BC=24，∠B=45°，∠C=60°，求AB
解：依题意得∠A=180°-45°-60°=75°
由正弦定理得
即
【例2】在中，已知解这个三角形
解：由三角形内角和定理，得
由正弦定理，得



【例3】在中，已知，解这个三角形
解：由正弦定理，得
因为，所以
于是
（1）当时，
此时


（2）当时，
此时


总结方法规律：这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值
②用三角形内角和定理求出第三个角
③根据正弦定理求出第三条边
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值
五、课堂练习
1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形
解　因为B＝30°，C＝105°
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°
由正弦定理，得＝＝
解得a＝＝4，c＝＝2(＋)
2、在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形
解　∵＝，∴sin C＝＝＝
∵0° 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°
六、课堂小结
正弦定理：
应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角
（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
七、课后作业
习题6.4和钝角三角形中正弦定理的证明。