数学必修 第二册7.3* 复数的三角表示教学设计

第七章 复数

7.3* 复数的三角表示

7.3.1 复数的三角表示式

教学设计

一、教学目标

1.   通过复数的几何意义，了解复数的三角表示。
2.   了解复数的代数表示与三角表示之间的关系。
3.   了解辐角、辐角的主值等概念。

二、教学重难点

1.   教学重点

复数的三角表示。

2.   教学难点

复数的代数表示与三角表示之间的关系。

三、教学过程

1. 新课导入

前面我们研究了复数a+bi及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示。它可以帮助我们进一步认识复数，同时能给复数的运算带来便利。

2. 探索新知

我们知道，复数可以用a+bi（a,b∈R）的形式来表示，复数a+bi与复平面内的点Z (a,b)是一一对应的，与平面向量也是一一对应的。借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？

向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向。

记向量的模，由图可得，.所以，其中，，。

这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示了复数z。

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成的形式。其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍。例如，复数i的辐角是，其中k可以取任何整数。对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值。通常记作argz，即.

复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式。我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化。学习课本P84-85例1例2.

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。

3. 课堂练习

4. 小结作业

小结：本节课学习了复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解了辐角、辐角的主值等概念。

作业：完成本节课课后习题。

四、板书设计

7.3.1复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成的形式。其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。

我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值。通常记作argz，即.