数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案设计

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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
教学设计
一、 教学目标
1. 掌握用坐标表示平面向量的数乘运算；
2. 理解用坐标表示两个向量共线的条件；
3. 明确中点坐标公式的推导过程及其应用.
二、 教学重难点
1. 教学重点
平面向量数乘运算的坐标表示.
2. 教学难点
对用坐标表示两个向量共线的条件的理解与运用.
三、 教学过程
（一） 新课导入
复习：平面向量加、减运算的坐标表示：已知，，
，.
（二） 探索新知
问题1 已知，怎样计算的坐标？
，
即 .
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

例6 已知，，求的坐标.
解：


问题2 复习：向量与共线的充要条件：
存在唯一一个实数，使.

问题3 如何用坐标表示两个向量共线的条件？
设，，用坐标表示与共线，可写为
，
即
消去，得.
这就是说，向量，共线的充要条件是.

例7 已知，，且，求y.
解：因为，所以.解得.

例8 已知，判断A，B，C三点之间的位置关系.
解：如图，在平面直角坐标系中作出A，B，C三点.
因为，
，
又，所以.
又直线AB，直线AC有公共点A，
所以A，B，C三点共线.

例9 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是，.
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）如图，由向量的线性运算可知.
所以，点P的坐标是.

中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为，，线段P1P2的中点P的坐标为，则

（2）如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果，如图（1），那么

即点P的坐标是.
同理，如果，如图（2），那么点P的坐标是.


问题4 如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是，，点P是直线P1P2上的一点.当时，点P的坐标是什么？

解：设点P是线段P1P2上的一点，P1(x1 ，y1)，P2(x2 ，y2)，P(x ，y)，
那么OP=OP1+P1P=OP1+λPP2=OP1+λ(OP2 -OP).
于是1+λOP=OP1+λOP2.
即1+λ(x ，y)=x1 ，y1+λx2 ，y2=(x1+λx2，y1+λy2)，
所以点P的坐标为.
（三）课堂练习
1. 已知向量，则向量等于（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵，∴，故选D.
2. 下列各组向量中，共线的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：若与共线，
则存在实数使得，
经过验证，只有B满足条件，故选B.
3. 已知，若，则的坐标为__________.
答案：
解析：因为，
所以，
故，所以.
（四） 小结作业
小结：
1. 平面向量数乘运算的坐标表示；
2. 用坐标表示向量共线的条件；
3. 中点坐标公式的推导与应用.
作业：
四、 板书设计
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1. 平面向量数乘运算的坐标表示；
2. 用坐标表示向量共线；
3. 中点坐标公式.