数学必修 第二册6.4 平面向量的应用第二课时教案设计

第六章 平面向量及其应用

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第二课时）正弦定理

教学设计

一、教学目标

1.   借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。
2.   掌握正弦定理。
3.   能用正弦定理解决简单的实际问题。

二、教学重难点

1.   教学重点

正弦定理及其应用。

2.   教学难点

正弦定理的应用。

三、教学过程

1. 新课导入

余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

2. 探索新知

在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论。实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系。从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系。如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题。

根据课本P45-46的推理证明，我们得到：

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系。利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。

3. 课堂练习

1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)

A．4∶1∶1  B．2∶1∶1

C.∶1∶1   D.∶1∶1

答案：D[∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝∶∶＝∶1∶1.故选D.]

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝60°，则tanB等于(　　)

A．1  B.  C.  D.

答案：B[由正弦定理，得sinB＝·sinA＝×＝，根据题意，得b<a，故B<A＝60°，因此B为锐角．于是cosB＝＝，故tanB＝＝.]

3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)

A．a＝7，b＝14，A＝30°   B．a＝30，b＝25，A＝150°

C．a＝6，b＝9，A＝45°   D．a＝30，b＝40，A＝30°

答案：D[在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝>6＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA<a<b，故△ABC有两解．]

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)

A．120°  B．105°  C．90°  D．75°

答案：A[∵c＝a，

∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)

＝sin(30°＋C)＝，

即sinC＝－cosC.

∴tanC＝－.

又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.]

5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.

答案：[∵cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝.

∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.

又∵sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝，

由正弦定理，得＝，∴c＝＝.]

6．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.

答案：30°[∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，

∴sin(A＋60°)＝2sinA，

即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，

化简得sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.]

7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且＝，则角B的大小为________．

答案：60°[∵＝，根据正弦定理，得＝＝.

化简为2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，

∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．

在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝.

∵0°<B<180°，∴B＝60°.]

4. 小结作业

小结：本节课学习了正弦定理。

作业：完成本节课课后习题。

四、板书设计

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第二课时）

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即