数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案

这是一份数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案，共6页。

第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3平面与平面平行
教学设计
一、 教学目标
1. 理解平面与平面平行的判定定理；
2. 理解平面与平面平行的性质定理；
3. 能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
二、 教学重难点
1. 教学重点
平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用.
2. 教学难点
两个定理的应用.
三、 教学过程
（一） 新课导入
我们学过，两个平行平面没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.这个定义给出了两个平面平行的充要条件，所以，如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
问题1 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？
（二） 探索新知
问题2 根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面.那么，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？
问题3 如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？

如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行.如图8.5-12，在平面A'ADD'内画一条与A'A平行的直线EF，显然A'A与EF都平行于平面D'DCC'，但这两条平行直线所在的平面A'ADD'与平面D'DCC'相交.

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的.如图8.5-13的长方体模型中，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A'B'C'D'内两条相交直线A'C'，B'D'平行.由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC，BD都与平面A'B'C'D'平行.此时，平面ABCD平行于平面A'B'C'D'.

平面与平面平行的判定定理（图8.5-14）：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a//α，b//α⇒β//α.

由定理可知，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行.
例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1（如图），求证：平面AB1D1//平面BC1D.
证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴，.
∴.
∴四边形D1C1BA为平行四边形.
∴D1A//C1B.
又D1A⊄平面BC1D，C1B⊂平面BC1D，
∴D1A//平面BC1D.
同理，D1B1//平面BC1D.
又D1A∩D1B1=D1，
∴平面AB1D1//平面BC1D.

问题4 探究两个平行平面内的直线的位置关系.
如图，B'D'所在的平面A'C'与平面AC平行，所以B'D'与平面AC没有公共点.也就是说，B'D'与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B'D'与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.

问题5 分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？
如果α//β，a⊂α，b⊂β，且a//b，那么过a，b有且只有一个平面γ.把直线a，b看成是平面γ与平面α，β的交线.于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
下面，来证明这个结论.
如图，平面α//β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b.
∵α∩γ=a，β∩γ=b，
∴a⊂α，b⊂β.
又α//β，
∴a，b没有公共点.
又a，b同在平面γ内，
∴a//b.
由此得到两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图，α//β，AB//CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证AB=CD.
证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD .
∵α//β，
∴BD//AC.
又AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD.

由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.

（三）课堂练习
1. 下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案：C
解析：根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
2. 下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)

答案：B
解析：在B中，
如图，连接MN，PN，
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.故选B.
3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是____________.
答案：平行
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1，
平面ABCD∩平面A1C1B=l，
∴l∥A1C1.
4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
（2）平面MAN∥平面EFDB.

证明：（1）连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面.
（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF=A1D1.
∴MF∥AD，MF=AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
又∵AM∩MN=M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
（四） 小结作业
小结：
1. 平面与平面平行的判定定理；
2. 平面与平面平行的性质定理.
作业：
四、 板书设计
8.5.3平面与平面平行
1. 平面与平面平行的判定定理；
符号表示；
2. 平面与平面平行的性质定理.