数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式表格教学设计

这是一份数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式表格教学设计，共5页。

《不等式的性质》教学设计

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图





情景引入
提出问题
活动：
请班上最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”“矮的同学站在桌面上”“高的同学站到下一层楼”三种不同的情况下比较高矮.
师：同学们思考一下，怎样比较才公平？
生：两人“同时站在地面上”比较才公平.
师：为什么呢？
生：两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，才不会改变“高的同学仍然高，矮的同学仍然矮”这个事实.


让学生对自己能参与的活动感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减.





合作探究
1.等式的基本性质：
性质1：如果，那么；
性质2：如果，，那么；
性质3：如果，
那么；
性质4：如果，那么； 性质5：如果，，
那么.
2.不等式的性质：
（1）对称性：.
（2）传递性：，.
证明：由可知，由
可知，从而，即.
（3）可加性：.
推论：若，则.
（4）可乘性：①，；②，.
说明：注意的正负会导致不等号方向是否改变问题！
（5）同向可加性：
，.
证明：因为，，（可加性）
所以，
所以.（传递性）
（6）同向同正可乘性：
，.
证明：因为，，，，（可乘性）
所以，
所以.（传递性）
注意：只有同向同正才具有可乘性.
（7）可乘方性：
.
注意：只有对称性和可加性是可逆的，其他均不可逆.
师：以提问的方式引导学生梳理等式的基本性质.
生：回答等式的五条基本性质.
教师引导学生观察、发现前两条性质反映的是相等关系的自身的特性，后三条性质反映的是等式在运算中保持的不变性.
师：以提问的方式鼓励学生通过等式的性质1，2类比、猜想相应的不等式的性质，并给出证明.
生：类比、猜想，得到不等式的对称性和传递性.
师：以数轴为载体，引导学生观察数轴上两个点的同向移动得出两点左右位置关系的不变性，并尝试让学生用文字语言来叙述所得的性质3，同时推导得出不等式可以变号进行移项.
生：观察数轴，并类比等式的性质3，理解不等式的可加性.
师：通过所得性质引导学生继续得到余下的性质，并尝试让学生进行证明，教师巡视、指出学生出现的问题.
生：通过已知性质尝试推导得出余下的性质.
实际上，性质5可以由性质2和3推导得出，你能试试吗？
师：教师通过提问、举反例等方式帮助学生理解后两条性质.
生：通过交流、发现后两条性质的限制条件（均为正数）.


通过复习回顾等式的基本性质，为下面学习不等式的性质做好准备.








给出证明，验证猜想的结论，通过学生的思考、证明，提升学生逻辑推理与数学运算素养.

应用举例
例 已知，，求证：
.
分析：要证明，因为，所以可以先证明.利用和性质3，即可证明.
证明：因为，所以，
，
于是，即，
由可知.



师：在学生板演、学生检查后，对结果进行点评.
生：一名学生板演，其他学生检查.
教师在这里可以对例题进行引申：如果，你能得出什么结论呢？能证明吗？





利用不等式的基本性质证明不等式，提升学生逻辑推理的素养.

归纳小结
1.内容：不等式的七大基本性质.
2.核心素养：直观想象、逻辑推理.
学生总结收获，并与其他同学交流，教师适当帮助学生组织、提炼语言.
提升学生的知识归纳能力.

布置作业
教材第42页习题2.1第5题；教材第43页第7题.
教师布置作业，学生课后独立完成.
巩固新知.
板书设计
第2课时 不等式的性质
不等式的性质
（1）对称性
（2）传递性
（3）可加性
（4）可乘性
（5）同向可加性
（6）同向同正可乘性
（7）可乘方性
例
小结
不等式的七大基本性质

作业
教学研讨
该案例思路清晰，重点突出，学生动手、展示的机会较多，课堂利用率高，相信学生的学习积极性能得到提升.不等式的七大基本性质是后续学习的基础，所以要尽可能引导学生对性质的理解要深刻、透彻.在理解不等式的性质这一块还可以做得更丰富、细致一些，比如，可以在得到性质后，立马根据易混淆或易错点给出几道相应的习题帮助学生理解、掌握性质，同时还可以考虑从充分条件与必要条件的角度出题帮助学生理解基本性质等.