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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示表格教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示表格教案，共7页。
《函数的概念》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课引入
回顾初中学习的函数概念，分析教材第60页问题1，思考：有人说“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350
km.”你认为这个说法正确吗？
师：提出问题：
（1）初中学过的函数概念是什么？
（2）学过哪几类函数？
（3）思考：“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？
生：思考，回忆初中学习的函数概念及类型，回答教师的问题.
师生：不能判断列车以350
km/h运行半小时后的情况，因为没有关注到的变化范围.
通过回顾初中学习的函数概念，结合问题1的思考题，引起学生的学习兴趣，同时给学生一种潜意识：函数问题首先要考虑自变量的取值范围（即定义域），为下面进一步认识函数的概念做铺垫.
合作探究
教材第60页问题1
某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为什么？
教材第61页问题2
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？
教材第61～62页问题3和问题4.
师：问题1中和的变化范围是什么？你能用集合表示出来吗？
生：的变化范围是数集
，的变化范围是数集.
师：与之间满足什么关系？
生：.
师：你能用集合与对应的语言来表示问题1中与的对应关系吗？
生：思考、尝试回答.
师生：列车行进的路程与运行时间的对应关系是：①.
其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集.对于数集中的任意时刻，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程和它对应.
师：分析问题2，引导学生用集合和对应的语言来描述和之间的依赖关系.
生：工资与一周工作天数的对应关系是：.②
其中，的变化范围是数集
，的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资和它对应.
师：问题1和问题2中的函数有什么异同点？
生：相同的对应关系，但两个变量的范围不一样.
师：你认为它们是同一个函数吗？为什么？
生：不是，因为相应的变量的范围不一样.
师：布置任务：仿照问题1、2，描述问题3、4中两变量间的关系.
生：学生探讨交流，教师巡查、指导.
师：提出问题：通过对4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点与共同点吗？
师生：学生认真思考并口答教师提出的问题，在教师的启发、点拨下，学生一般能归纳出以下一些特点：
不同点：问题1.2是用解析式刻画两变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画变量之间的对应关系.
共同点：①都有两个非空的实数集：②两个实数集之间都有一种确定的对应关系.
教师板书学生提出的这两条共同点，指出解析式、图象、表格都是一种对应关系.
通过具体数学实例，提高学生的参与程度，着重向学生渗透集合与对应的观点，启发学生用集合和对应的语言描述两个变量之间的依赖关系，突破难点，提升学生数学抽象素养.
概念形成
函数的概念：
设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作
，.
其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然值域是集合的子集.
师：通过对前面4个问题的分析，鼓励学生自己概括出函数的定义.
生：认真体会4个问题的共同点，然后归纳概括出函数的定义并在全班进行交流.
师：（1）板书函数的定义；
（2）强调：①对的理解：作为一个整体，它是一种符号，它可以是解析式（如问题1、2），也可以是图象（如问题3），也可以是表格（如问题4）.②定义中，是非空的实数集.③对于的每一个值，按照某种确定的对应关系，都有唯一的值和它对应.
利用前面的分析，进行必要的抽象概括，得到函数的定义，培养学生的归纳、概括能力，提升数学抽象素养.同时剖析概念，使学生抓住概念本质，便于理解记忆.
应用举例
1.一次函数的定义域为，值域也为，对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
2.二次函数的定义域为，值域是.当时，；当时，
.对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
3.反比例函数的定义域为，值域为，对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
4.例 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映了两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.
试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是.对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
师：想一想，初中我们学过了哪些函数？
生：一次函数、二次函数和反比例函数.
师：你能说一说，这三个函数的定义域、值域和对应关系分别是什么吗？
生：思考，回答，其他同学补充.
师：试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.如果再对的取值范围作出限制，比如呢？
生：尝试构建一些问题情境，然后相互交流、讨论.
师：针对学生的回答进行点评.
引导学生用函数的定义去理解学过的一次函数、二次函数和反比例函数，比较描述性定义与对应语言刻画的定义，加深对函数概念的理解.
引导学生探讨从具体问题情境中抽象出数学模型，以及通过函数解析式去构建问题情境，加深对函数概念的理解.提升学生数学抽象及数学建模素养.
归纳小结
1.函数的概念.
2.三要素.
学生思考、回答，其他同学补充，教师记录、点评.
布置作业
1.教材第63页练习：第1题.
2.教材第64页练习：第4题.
板书设计
第1课时 函数的概念
1.函数的概念
2.函数三要素
定义域
对应关系
值域
问题1
问题2
问题3
问题4
例
小结
1.函数的概念
2.三要素
作业
教学研讨
教材通过集合语言和对应关系刻画函数概念，并建立完整的函数概念，为什么要强调函数是非零实数集合之间的对应关系呢？这个问题有没有必要跟学生解释清楚呢？如果有必要，那什么时候解析比较恰当呢？这些都是值得课后继续探讨的问题.
《函数的概念》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课引入
回顾初中学习的函数概念，分析教材第60页问题1，思考：有人说“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350
km.”你认为这个说法正确吗？
师：提出问题：
（1）初中学过的函数概念是什么？
（2）学过哪几类函数？
（3）思考：“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？
生：思考，回忆初中学习的函数概念及类型，回答教师的问题.
师生：不能判断列车以350
km/h运行半小时后的情况，因为没有关注到的变化范围.
通过回顾初中学习的函数概念，结合问题1的思考题，引起学生的学习兴趣，同时给学生一种潜意识：函数问题首先要考虑自变量的取值范围（即定义域），为下面进一步认识函数的概念做铺垫.
合作探究
教材第60页问题1
某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为什么？
教材第61页问题2
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？
教材第61～62页问题3和问题4.
师：问题1中和的变化范围是什么？你能用集合表示出来吗？
生：的变化范围是数集
，的变化范围是数集.
师：与之间满足什么关系？
生：.
师：你能用集合与对应的语言来表示问题1中与的对应关系吗？
生：思考、尝试回答.
师生：列车行进的路程与运行时间的对应关系是：①.
其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集.对于数集中的任意时刻，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程和它对应.
师：分析问题2，引导学生用集合和对应的语言来描述和之间的依赖关系.
生：工资与一周工作天数的对应关系是：.②
其中，的变化范围是数集
，的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资和它对应.
师：问题1和问题2中的函数有什么异同点？
生：相同的对应关系，但两个变量的范围不一样.
师：你认为它们是同一个函数吗？为什么？
生：不是，因为相应的变量的范围不一样.
师：布置任务：仿照问题1、2，描述问题3、4中两变量间的关系.
生：学生探讨交流，教师巡查、指导.
师：提出问题：通过对4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点与共同点吗？
师生：学生认真思考并口答教师提出的问题，在教师的启发、点拨下，学生一般能归纳出以下一些特点：
不同点：问题1.2是用解析式刻画两变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画变量之间的对应关系.
共同点：①都有两个非空的实数集：②两个实数集之间都有一种确定的对应关系.
教师板书学生提出的这两条共同点，指出解析式、图象、表格都是一种对应关系.
通过具体数学实例，提高学生的参与程度，着重向学生渗透集合与对应的观点，启发学生用集合和对应的语言描述两个变量之间的依赖关系，突破难点，提升学生数学抽象素养.
概念形成
函数的概念：
设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作
，.
其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然值域是集合的子集.
师：通过对前面4个问题的分析，鼓励学生自己概括出函数的定义.
生：认真体会4个问题的共同点，然后归纳概括出函数的定义并在全班进行交流.
师：（1）板书函数的定义；
（2）强调：①对的理解：作为一个整体，它是一种符号，它可以是解析式（如问题1、2），也可以是图象（如问题3），也可以是表格（如问题4）.②定义中，是非空的实数集.③对于的每一个值，按照某种确定的对应关系，都有唯一的值和它对应.
利用前面的分析，进行必要的抽象概括，得到函数的定义，培养学生的归纳、概括能力，提升数学抽象素养.同时剖析概念，使学生抓住概念本质，便于理解记忆.
应用举例
1.一次函数的定义域为，值域也为，对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
2.二次函数的定义域为，值域是.当时，；当时，
.对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
3.反比例函数的定义域为，值域为，对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
4.例 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映了两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.
试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是.对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
师：想一想，初中我们学过了哪些函数？
生：一次函数、二次函数和反比例函数.
师：你能说一说，这三个函数的定义域、值域和对应关系分别是什么吗？
生：思考，回答，其他同学补充.
师：试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.如果再对的取值范围作出限制，比如呢？
生：尝试构建一些问题情境，然后相互交流、讨论.
师：针对学生的回答进行点评.
引导学生用函数的定义去理解学过的一次函数、二次函数和反比例函数，比较描述性定义与对应语言刻画的定义，加深对函数概念的理解.
引导学生探讨从具体问题情境中抽象出数学模型，以及通过函数解析式去构建问题情境，加深对函数概念的理解.提升学生数学抽象及数学建模素养.
归纳小结
1.函数的概念.
2.三要素.
学生思考、回答，其他同学补充，教师记录、点评.
布置作业
1.教材第63页练习：第1题.
2.教材第64页练习：第4题.
板书设计
第1课时 函数的概念
1.函数的概念
2.函数三要素
定义域
对应关系
值域
问题1
问题2
问题3
问题4
例
小结
1.函数的概念
2.三要素
作业
教学研讨
教材通过集合语言和对应关系刻画函数概念，并建立完整的函数概念，为什么要强调函数是非零实数集合之间的对应关系呢？这个问题有没有必要跟学生解释清楚呢？如果有必要，那什么时候解析比较恰当呢？这些都是值得课后继续探讨的问题.
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